【中考12年】江苏省镇江市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

2022-2022年江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022江苏镇江3分）如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线a：x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图像为【】【答案】D。【考点】二次函数的图象。【分析】由直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，知直线a：x=t截此三角形所得的阴影部分也为等腰直角三角形，所以。则S与t之间的函数关系的图像为D。故选D。2.（2022江苏镇江3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为【】A、　　B、　　C、　　D、　　【答案】C。【考点】正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理。62\n【分析】连接BD，∵由正方形的性质∠DCB=90°，∴BD是直径。∵⊙O的半径为，∴BD=。∴根据正方形的性质和勾股定理得BC=DC=2。∵E为DC的中点，∴DE=CE=1。∴根据勾股定理得BE=。由相交弦定理得。∴BF=BE＋EF=。故选C。3.（2022江苏镇江3分）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为【】A、2B、C、D、【答案】D。【考点】矩形和正方形的性质【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF＋S△BFG）×2+S四边形EFGH，即：，解得（a＞0）。∴矩形的面积=3a×5a=。故选D。4.（2022江苏镇江3分）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是【　　】62\n（A）（B）（C）（D）【答案】D。【考点】折叠对称的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵根据轴对称的性质可得AE=ED。在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC，∴ED=ECsin∠C=EC。∴CE+ED=（1+）EC=5。解得CE=20－10。故选D。5.（2022江苏镇江3分）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．给出下列对应：（1）：（a）--（e）（2）：（b）--（f）（3）：（c）--h（4）：（d）--（g）其中正确的是【】A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（1）和（3）D．（3）和（4）【答案】B。【考点】跨学科问题，函数的图象【分析】根据容器的形状，判断对应的函数图象，再对题中的每一种结论进行判断：在只有容器不同的情况下，容器中水高度随滴水时间变化的图象与容器的形状有关。正确对应为：（a）--（g），∴（1）错误；（b）--（f），∴（2）正确；（c）--（h），∴（3）正确；（d）--（e），∴（4）错误。正确的是（2）（3）。故选B。6.（2022江苏镇江2分）已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的△ABP的面积关62\n于运动时间的函数图像如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有【】①图1中的BC长是8②图2中的M点表示第4秒时的值为24③图1中的CD长是4④图2中的N点表示第12秒时的值为18A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】根据函数图象可以知：从0到2，随的增大而增大，经过了2秒，由动点P以每秒2cm的速度运动得，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，从而CD=4cm，面积cm2，即图2中的M点表示第4秒时的值为24cm2；图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2。∴四个结论都正确。故选D。7.（2022江苏镇江3分）在直角坐标系中有两条直线l1、l2，直线l1所对应的函数关系式为，如果将坐标纸折叠，使l1与l2重合，此时点（－1，0）与点（0，－1）也重合，则直线l2所对应的函数关系式为【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】折叠变换，一次函数图象。待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵将坐标纸折叠，使l1与l2重合，此时点（－1，0）与点（0，－1）也重合，∴折叠是沿直线y=x进行了。∵直线l1与直线y=x平行，折叠后l1与l2重合，则l2也与直线y=x平行。62\n∴设直线l2的函数关系式为y=x+k，∵y=x－2过点（0，－2），该点折叠后的对应点为（－2，0），∴直线l2过点（－2，0）。∴0=－2+k，。∴k=2。∴直线l2所对应的函数关系式为：y=x+2。故选B。8.（2022江苏镇江3分）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2－x＋m（m为常数）的图象如下图，如果x=a时，y＜0；那么x=a－1时，函数值是多少．参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是【】A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m【答案】C。【考点】抛物线与x轴的交点问题。【分析】把x=a代入函数y=x2－x＋m中求出函数a、a－1与0的关系，从而确定x=a－1时，函数y=x2－x＋m的值：把x=a代入函数y=x2－x＋m中得：y=a2－a＋m=a（a－1）+m。∵x=a时，y＜0，∴a（a－1）+m＜0。由图象可知：m＞0，∴a（a－1）＜0。62\n又∵x=a时，y＜0，∴a＞0。∴a－1＜0。由图象可知：x=0时，y=m。又∵x＜时y随x的增大而减小，∴x=a－1时，y＞m。故选C。9.（2022江苏省3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；第2个数：；第3个数：；按此规律，第个数：；第个数：。62\n∵，∴越大，第个数越小，所以选A。10.（2022江苏镇江3分）小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下：小明看了说明书后，和爸爸讨论：小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是【】A．9.5千公里B．千公里C．9.9千公里D．10千公里【答案】C。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】可设走了x公里后前后轮调换使用，最长路程为y公里，依题意可列方程组：，此两方程相加得，解得y＝9.9。∴这对轮胎能行驶的最长路程是9.9千公里。故选C。11.（2022江苏镇江2分）已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足【】A．＞0、＞0B．＜0、＜0C．＜0、＞0D．＞0、＜0【答案】B．【考点】二次函数，不等式。62\n故选B。12.（2022江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。∴AG=AH=。又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。∴GH=AG=AH=。EF=GH－GE－FH=。∴第2个等边三角形的边长为。62\n同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，∴第6个正六边形的边长是。故选A。二、填空题1.（2022江苏镇江2分）老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；　　　　　乙：函数图像经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；　　丁：当x<2时，y＞0.已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：▲.【答案】。【考点】待定系数法求函数解析式，一、二次函数的性质。【分析】根据条件，可以构造一次函数或二次函数。如构造二次函数：∵当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y＞0，∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以。∵函数的图象不经过第三象限，∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方。设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件。如，答案不唯一。2.（2022江苏镇江2分）如图1，点C、F在BE上，∠C＝∠F，BC＝EF，请补充条件：▲（写一个即可），使△ABC≌△DEF。如图2，∠1＝∠2，请补充条件：▲_(写一个即可)，使△ABC∽△ADE。62\n【答案】∠B＝∠E；∠B＝∠D。（答案不唯一）【考点】开放型，全等、相似三角形的判定。【分析】如图1，由∠C＝∠F，BC＝EF，则补充条件∠B＝∠E，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；补充条件∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DEF；补充条件AC＝DF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF。如图2，由∠1＝∠2，则补充条件∠B＝∠D或∠C＝∠E或，可判定△ABC∽△ADE。3.（2022江苏镇江2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为菱形。【答案】AB=CD；AB=AD（答案不唯一）。【考点】开放型，平行四边形和菱形的判定。【分析】根据平行四边形的判定，可补充AB=CD，使得四边形ABCD为平行四边形；根据菱形的判定，可补充AB=AD，使得四边形ABCD为菱形。（答案不唯一）4.（2022江苏镇江2分）写出一个一次函数的解析式，使它的图象与x轴的夹角为.这个一次函数的解析式是：▲.【答案】y=x（答案不唯一）。【考点】开放型，分类思想，一次函数的性质。【分析】一、三象限角平分线与x轴的夹角等于45°，此时y=x；二四象限角平分线与x轴的夹角等于45°，此时y=－x；把这两条直线平移后，与x轴的夹角依然是45°，此时k不变，b变化。所以这个一次函数的解析式是y=±x+b（b可取任意实数），如y=x（答案不唯一）。5.（2022江苏镇江2分）如图①，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件▲，使△ABC≌△DCB；如图②，∠1=∠2，请补充一个条件▲，使△ABC∽△ADE．62\n【答案】∠A=∠D；∠C=∠AED。（答案不唯一）【考点】开放型，全等三角形的判定，相似三角形的判定。【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．图①中有一组边BC=CB（公共）和角相等∠ABC=∠DCB，只要再加一条件即可：补充∠A=∠D可由AAS判定△ABC≌△DCB；补充∠ACB=∠DBC可由ASA判定△ABC≌△DCB；补充AB=DC可由SAS判定△ABC≌△DCB。图②由∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC，因此要△ABC∽△ADE只要补充∠C=∠AED或∠B=∠D或即可。本题答案不唯一。6.（2022江苏镇江1分）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了▲米。【答案】120。【考点】平角定义，多边形内角和定理。【分析】根据题意，小亮这样走法形成一个正多边形，由平角定义，知正多边形的每个内角等于1500。∴根据多边形内角和定理，得，解得。∴照这样法，他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120米。7.（2022江苏镇江2分）在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为▲。【答案】230°。【考点】多边形内角和外角性质。【分析】根据三角形的内角和定理，一张三角形纸片中一个角是50°，则另两个角的和是180°－50°=130°。62\n剪去50°的角后变成四边形，根据四边形的内角和定理，得∠1＋∠2=360°＋130°=230°。8.（2022江苏镇江2分）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2022厘米后停下，则这只蚂蚁停在▲点．【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形的性质。【分析】根据题意分析可得：一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，即每8厘米一个循环，分别停在B、C、D、E、F、C、G、A点。∵2022÷8=251，∴行走2022厘米即循环251次后停下，则这只蚂蚁停在A点。9.（2022江苏省3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．62\n11.（2022江苏镇江2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为▲。【答案】24．【考点】图形的拼接。【分析】（思路1）棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。29个正方体从小到大的体积分别为1,1,1，.....1,(1+7)......一共29个，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64-29=35，要分别给棱长为2或者3的组合。（1）若只有棱长2的，多出来的体积35=7+7+7+7+7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的。（2）若有棱长为3的，多出来的体积35-26=9，后面不能被整除，无解。所以只有一种可能，24个棱长为1的，5个棱长为2的。（思路2）情况1：设棱长为3的正方体的个数为，棱长为2的正方体的个数为，则棱长为1的正方体的个数为。依题意有62\n所以不存在使为正整数。情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为2的正方体的个数为。依题意有。情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为3的正方体的个数为。依题意有无整数解。12.（2022江苏镇江2分）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB过点A（－4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为▲。【答案】。【考点】坐标和图形，切线的性质，矩形的判定和性质，垂直线段的性质，三角形边角关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过点O作OP1⊥AB，过点P1作⊙O的切线交⊙O于点Q1，连接OQ，OQ1。当PQ⊥AB时，易得四边形P1PQO是矩形，即PQ=P1O。∵P1Q1是⊙O的切线，∴∠OQ1P1=900。∴在Rt△OP1Q1中，P1Q1＜P1O，∴P1Q1即是切线长PQ的最小值。∵A（－4，0），B（0，4），∴OA=OB=4。∴△OAB是等腰直角三角形。∴△AOP1是等腰直角三角形。62\n根据勾股定理，得OP1=。∵⊙O的半径为1，∴OQ1=1。根据勾股定理，得P1Q1=。三、解答题1.（2022江苏镇江12分）已知抛物线y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，（1）求A、B、C各点的坐标（可用含t的代数式表示）　　　（2）设ΔABC的面积为，求抛物线的解析式，并在如图所示的直角坐标系中画出这条抛物线。　　(3)在（2）的条件下，设a为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与a在第一象限交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若ΔOAD∽ΔOEB，求a的解析式以及a与抛物线另一交点的坐标。又如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，试判断满足条件的a是否存在？若存在，直接出a的解析式；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令y=0，得(x－2)(x－2t－3)=0，解得，x＝2或x＝2t＋3。∵t>0，点A在点B的左边，∴A（2，0）,B（2t＋3，0）。在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令x=0，得y=。∴C（0，）。（2）∵ΔABC的面积为，∴.　整理得，解得（舍去）。　　　∴抛物线的解析式为y=(x－2)(x－9)＝。　　　作图如下：62\n（3）如图，设直线a与ｙ轴交于点F。当ΔOAD∽ΔOEB时，∠OBE=∠ODA=∠OCA。∴Rt△OAC∽Rt△OFB。∴。∵OA=2，OB=9，OC=3，∴,解得OF=6。∴F（0，6）。设直线a的解析式为，将B（9，0），F（0，6）代入得，解得。∴直线a的解析式为。62\n联立y=和得，整理得，解得。当时，。∴a与抛物线另一交点的坐标为（－2，）。如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，满足条件的a仍然存在，a的解析式为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）在y=(x－2)(x－2t－3)(t>0)中令y=0和x=0，即可求得A、B、C各点的坐标。（2）由ΔABC的面积为列式即可求得待定系数t，从而求得抛物线的解析式，并画出图象。（3）设直线a与ｙ轴交于点F，由ΔOAD∽ΔOEB得∠OBE=∠ODA，根据同弧所对圆周角相等的性质得∠ODA=∠OCA，即∠OBE=∠OCA，从而得到Rt△OAC∽Rt△OFB，由对应边成比例得，即可求得点F的坐标，由B、F的坐标，用待定系数法即可求得a的解析式。如果过点O的直线与a的交点E在第二或第四象限，在其他条件不变的情况下，满足条件的a仍然存在，a的解析式仍然为。如图：2.（2022江苏镇江12分）某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面如图所示）其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米，（1）设矩形的边长AB＝x（米），AM＝y（米），用含x的代数式表示y为＿＿＿＿＿＿＿＿（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域中铺设62\n花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元。①设该工程的总造价为S（元），求S关于x的函数关系式②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能请说明理由。③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方；若不能，请说明理由。【答案】解：（1）。（2）①②∵∴光靠银行贷款不能完成该工程的建设任务。③由S=235000+73000=308000，得，即　，。　由得，解得（舍去）。此时y=49。由得，解得（舍去）。此时y=17.5。故设计方案为情形一：正方形区域的边长为4m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为49m和4m，四个相同的三角形区域的直角边长均为49m；62\n情形二：正方形区域边长为10m，四个相同的矩形区域的长和宽分别为17.5m和10m，四个相同的三角形区域的直角边长为17.5m。【考点】二次函数和一元二次方程的应用。【分析】（1）根据题意，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800m2列出关系式即可。（2）①可根据等量关系：总造价=矩形区域铺花岗岩的造价+四角直角三角形中铺草坪的造价来得出关于S，x，y的等量关系式，然后根据①中y，x的关系式用x替换掉y，即可得出S，x的函数关系式。②根据①的函数的性质即可得出S的最小值是多少，如果S的最小值大于银行贷款的数额，那么只靠银行贷款就不能完成此项目，反之则能。③可将银行贷款与追加的金额的和（即S的值）代入①的函数式中即可求出x的值．进而可根据x，y即AB，AM的长来设计方案。3.（2022江苏镇江10分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4，试写出y0的取值范围。（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S。①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围；②求S取得最大值时点P的坐标；③设四边形OBMC的面积S/,判断是否存在点P，使得S＝S/ ,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3），62\n∴，解得。∴抛物线的解析式是：。∵，∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）。（2）∵在中，当x0=1时，y0=4，当x0=4时，y0=－5，　　　且当1≤x0≤4时，y随x的增大而减小，∴当1≤x0≤4时，－5≤y0≤4。（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n，把B（3，0），M（1，4）代入得，解得。∴直线BM的解析式为：y=－2x＋6。∴P点的坐标为：（t，－2t＋6）。∴。又OQ=|t|=t OA=|－1|=1，OC=|3|=3，∴（1≤t＜3）。②∵，∴当t=时，S最大，。S的最大值为，这时P点坐标为（，）。③不存在。理由如下：∵，而S的最大值为，＜∴S=S′不可能。∴不存在点P，使S=S′。62\n【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）先根据抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标。（2）根据抛物线的解析式，分两种情况进行分析，当x0=1时和x0=4时y0的值，结合增减性即可求出它们的取值范围。（3）根据题意设出直线BM的解析式，再把B与M点的坐标代入，求出直线BM的解析式，从而得出P点的坐标，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的时候，S最大，得出P点的坐标，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S′，也就是不存在点P。4.（2022江苏镇江10分）某企业有员工300人，生产∠种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后，继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元。（1）调配后，企业生产∠种产品的年利润为____________万元，企业生产B种产品的年利润为_________________万元（用含x和m的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为y万元，则y关于x的函数解析式为____________.（2）若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。产品CDEFGH所需资金（万元）200348240288240500年利润（万元）508020604085【答案】解：（1）（300－x）（1＋20%）m；1.54mx；y=（300－x）（1＋20%）m＋1.54mx。（2）根据题意，得62\n　　，解得。∵x为正整数，∴x可取98，99，100。∴有三种方案：①202人生产A产品，98人生产B产品；②201人生产A产品，99人生产B产品；③200人生产A产品，100人生产B产品。∵y=（300-x）（1+20%）m+1.54mx=0.34mx+360m，∴x越大，利润越大。∴200人生产A产品，100人生产B产品总利润最大。（3）当m=2，x=100时，y=788万元．由所获年利润不少于145万元，可得投资产品为F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。5.（2022江苏镇江10分）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只。62\n问：（1）该厂生产A型口罩可获利润▲万元，生产B型口罩可获利润▲_万元（2）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围（3）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大?最大利润是多少?②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数?最短时间是多少?【答案】解：（1）0.5x，0.3×（5－x）。（2）y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5。首先，1.8≤x≤5，但由于生产能力限制，不可能在8天之内全部生产A型口罩，假设最多用t天生产甲型，则（8-t）天生产乙型，依题意得：0.6t+0.8×（8-t）=5，解得t=7，故x的最大值只能是0.6×7=4.2。所以x的取值范围是1.8≤x≤4.2。（3）要使y取得最大值，由于y=0.2x+1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34（万元）。即安排生产甲型4.2万只，乙型0.8万只，使获得的总利润最大，最大利润为2.34万元如果要在最短时间内完成任务，全部生产乙型所用时间最短，但要生产甲型1.8万只，因此，除了生产甲型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产乙型，所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。【分析】本题的关键是找出总利润与生产的甲型口罩的只数之间的函数关系，那么根据总利润=生产甲型口罩的利润+生产乙型口罩的利润，然后再根据“生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只”来判断出x的取值范围，然后根据此函数的特点以及题目给出的条件来计算出利润最大和时间最短的方案。6.（2022江苏镇江10分）已知抛物线，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随着x的增大而减小62\n（1）求k的值及抛物线的解析式（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O‘的坐标（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O‘的切线？并求出此时直线BG的解析式②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？【答案】解：（1）由题意可知：，k=1。因此抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋3。（2）由－x2＋2x＋3=0解得x1=－1，x2=3。又，∴A（－1，0），B（3，0），P（1，4）。（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上。设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有：PM•MN=MA•MB。∴4•MN=2×2，即MN=1。因此PN=5，圆O′的半径为。因此O′在x轴的上方，坐标为（1，）。（4）①过B作⊙O′的切线交y轴于G，设直线BO′交y轴于E。62\n可求得直线BO′的解析式为，因此E点的坐标为（0，）。∵BG是⊙O′的切线，因此BO′⊥BG。∴BO2=EO•OG，即9=•OG。因此OG=4，即G点的坐标为（0，－4）。设直线BG的解析式为y=kx－4。∵直线过B点（3，0），∴3k－4=0，k=。因此直线BG的解析式为y=x－4。②－4＜m＜0。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理，射影定理。【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴的公式即可求出k的值，也就能求出抛物线的解析式。（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出A、B、P的坐标。（3）由于圆和抛物线都是轴对称图形，因此圆心O′必在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，因此可作出抛物线的对称轴设对称轴与x轴和圆O′的交点分别为M、N．根据相交弦定理即可求出MN的长，进而可求出圆的半径和圆心O′的坐标。62\n（4）①可先过B作圆O′的切线，交y轴于G，要求出直线BG的解析式，就必须求出G点的坐标，首先要求出OG的长，可设直线BO′交y轴于E，根据B，O′两点的坐标可求出直线BO′的解析式进而可求出E点的坐标，即OE的长，在直角三角形EBG中，根据射影定理即可求出OG的长，得出G点坐标后，可用待定系数法求出直线BG的解析式。②根据①中G点的坐标即可得出本题的结论。7.（2022江苏镇江10分）先阅读下列一段文字，然后解答问题.修建润扬大桥，途经镇江某地，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保护环境，政府决定统一规划建房小区，并且投资一部分资金用于小区建设和补偿到政府规划小区建房的搬迁农户.建房小区除建房占地外，其余部分政府每平方米投资100元进行小区建设；搬迁农户在建房小区建房，每户占地100平方米，政府每户补偿4万元，此项政策，吸引了搬迁农户到政府规划小区建房，这时建房占地面积占政府规划小区总面积的20%.政府又鼓励非搬迁户到规划小区建房，每户建房占地120平方米，但每户需向政府交纳土地使用费2.8万元，这样又有20户非搬迁户申请加入.此项政策，政府不但可以收取土地使用费，同时还可以增加小区建房占地面积，从而减少小区建设的投资费用.若这20户非搬迁户到政府规划小区建房后，此时建房占地面积占政府规划规划小区总面积的40%.（1）设到政府规划小区建房的搬迁农户为x户，政府规划小区总面积为y平方米.可得方程组__________，解得__________。（2）在20户非搬迁户加入建房前，请测算政府共需投资__________万元。在20户非搬迁户加入建房后，请测算政府将收取的土地使用费投入后，还需投资__________万元.（3）设非搬迁户申请加入建房并被政府批准的有z户，政府将收取的土地使用费投入后，还需投资p万元.①求p与z的函数关系式.②当p不高于140万元，而又使建房占地面积不超过规划小区总面积的35%时，那么政府可以批准多少户非搬迁户加入建房？【答案】解：（1）；。（2）192；112。（3）①。②由题意得，解得，13≤z≤15。∴政府可批准13、14或15户非搬迁户加入建房。【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。62\n【分析】（1）依题意可列出方程组；（2）根据题意可知非搬迁户加入前需投资：24×4+（12000-2400）×0.01=192，非搬迁户加入后投资：24×4-20×2.8+（12000-2400-2400）×0.01=112。（3）由题意列出不等式方程组解得z的取值范围。8.（2022江苏镇江10分）已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC.（3）若过A、B、C三点，求的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由题意得：，则，解得：。经检验m=1。∴抛物线的解析式为：。由=0得x1=－5，x2=1。由x=0得y=－5。∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）。设直线BC的解析式为y=kx+b，则，∴。62\n∴直线BC的解析式为y=5x－5。（2）作图如下：（3）由题意，圆心P在AB的中垂线上，且在抛物线的对称轴直线x=－2上。设P（－2，－p）（p＞0），连接PB、PC，则。由PB2=PC2，得，解得p=2。∴P（－2，－2）。∴⊙P的半径。（4）存在。设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，），则点E的坐标为（t，5t－5）。若S△MEB：S△ENB=1：3，则ME：EN=1：3。∴EN：MN=3：4。∴，解得t1=1（不合题意舍去），t2=。∴M（）。若S△MEB：S△ENB=3：1，则ME：EN=3：1。∴EN：MN=1：4。∴，解得t3=1（不合题意舍去），t4=15。∴M（15，280）。综上所述，存在点M，点M的坐标为（（）或（15，280）。【考点】二次函数综合题，一元二次方程与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，圆的性质，勾股定理。【分析】（1）依据根与系数的关系表示出x1+x2、x1•x2的值，然后依据AB=6，即x2－x162\n=6来求出m的值，从而得出A、B两点的坐标．然后根据A、B、C的坐标用待定系数法求出抛物线和直线BC的解析式。（2）经过选点、描点、连线画出函数图象即可。（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心P必在抛物线的对称轴上，因此可设出圆心P的纵坐标（其横坐标为抛物线对称轴的值），然后用坐标系中两点间的距离公式求出PB、PC的长，因为PB、PC均为半径，因此两者相等，由此可得出关于P点纵坐标的方程，即可求出P点的坐标。（4）如果设MN与直线BC相交于E，本题要分两种情况进行讨论：①S△MEB：S△ENB=1：3；②S△MEB：S△ENB=3：1。可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后依据上面的分析的两种情况分别可得出一个关于E点坐标的方程，经过解方程即可得出E点的坐标。9.（2022江苏镇江10分）已知二次函数的图象经过（0，0），（1，－1），（－2，14）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x1，y1），（x2，y2）两点（x1≠x2）．①求t的取值范围；②设，求m与t之间的函数关系式及m的取值范围．62\n10.（2022江苏镇江10分）平面直角坐标系内有两条直线l1、l2，直线l1的解析式为，如果将坐标纸折叠，使直线l1与l2重合，此时点（－2，0）与点（0，2）也重合．（1）求直线l2的解析式；（2）设直线l1与l2相交于点M，问：是否存在这样的直线l：y=x+t，使得如果将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；（3）设直线l2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，以点C（0，）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方）62\n①在如图所示的直角坐标系中画出图形；②设OD=x，△BOD的面积为S1，△BEC的面积为S2，，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】解：（1）∵将坐标纸折叠，使直线l1与l2重合，此时点（－2，0）与点（0，2）也重合，∴折痕是直线y=－x。∵直线l1的解析式为，∴该直线与x轴交于点（，0），与y轴交于点（0，1）。又∵（，0），（0，1）关于直线y=－x的对称点为（0，－），（－1，0）。∴l2经过点（0，－），（－1，0）。设l2解析式为y=kx－，则有0=－k－，即k=－。∴l2的解析式为y=－x－。（2）存在。∵直线l1与l2相交于点M，∴，解得，。∴M（－3，3）。∵将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上，∴设M的对应点为N（a，0），则l：y=x+t过MN的中点F。∴，即a=6－2t。62\n设y=x+t与x轴交于E（－t，0），则ME=NE。∴，即。解得t=3，即l的解析式为y=x+3。（3）①画出图形如下：②∵直线l2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，∴A（－1，0），B（0，－）。∵以点C（0，）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方），∴OA=1，OB=，OC=。连接CA。∵AO2=OC•OB，∴。∵∠AOC=∠AOB=90°，∴△AOC∽△BOA。∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°。∵CA是半径，∴BA是⊙C的切线。62\n∴BA2=BD•BE。∵在Rt△AOB中，，∴。设D（a，b），∠DBO=α，则。∴。∵OB=，BC=，，∴。∵，∴。∵，∴，即。∴。∴（）。11.（2022江苏镇江8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。62\n【答案】解：本题共有4种情况：设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E，（1）如图①，当抛物线开口向上，∠CAD=600时，∵四边形ABCD是菱形，一边长为2，∴DE=1，BE=。∴点B的坐标为（，0），点C的坐标为（1，－1），∵点B、C在二次函数的图像上，∴，解得。∴此二次函数的表达式。（2）如图②，当抛物线开口向上，∠ACB=600时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，），解得∴此二次函数的表达式为。同理可得：抛物线开口向下时，此二次函数的表达式为。综上所述，符合条件的二次函数的表达式有：，，。62\n【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，菱形的性质，解直角三角形。【分析】根据题意，画出图形，可得以下四种情况：（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下。利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件，根据解直角三角形的相关知识解答。12.（2022江苏镇江10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）线段AB长度的最小值为4。理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB。取AB的中点C，则AB=2OC。当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。此时AB=4。（2）设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形62\n若OA是对角线，如图①，∵OP⊥AB，OP=OQ∴四边形APOQ为正方形。∴在Rt△OQA中，OQ=2，∠AOQ=450，∴Q点坐标为（）。若OP是对角线，如图②，∵OQ∥PA，OP⊥AB，∴∠POQ=900。又∵OP=OQ，∴∠PQO=450。∵PQ∥OA，∴轴。设轴于点H，在Rt△OHQ中，OQ=2，∠HQO=450，∴Q点坐标为（）。综上所述，符合条件的点Q的坐标为（）或（）。【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短。（2）分两种情况：如图（1），当OA是对角线时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）：如图（2），当OP是对角线时，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）。13.（2022江苏镇江8分）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数与层数之间满足关系式为整数。⑴例如，当时，则_____，_____。⑵第n层比第（n+1）层多堆放多少个仪器箱？（用含n的代数式表示）。⑶如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由。62\n⑷设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的。①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力。②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？【答案】解：（1）112；91。（2）∵，∴第n层比第（n+1）层多堆放个仪器箱。（3）∵，∴当1≤n＜16时，an随n的增大而减小。∵a12=7＞0，a13=0，∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）。（4）①由题意得，∴第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N。②当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：＜160(N)，当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：＞160(N)，∴该仪器箱最多可以堆放5层。【考点】分类归纳（图形的变化类），代数式化简，二次函数的性质。【分析】（1）把n=5，n=6分别代入计算：当n=5时，原式=25－160＋247=112，当n=6时，则原式=36－192＋247=91。（2）分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法运算即可。（3）讨论关于n的二次函数性质即可。（4）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算。62\n②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数。14.（2022江苏镇江10分）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数。图：表：n1234…an13715…⑴根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为____________________。若直线经过点、，求直线对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点都在直线上。⑵设直线：与x轴相交于点A，与直线相交于点M，双曲线经过点M，且与直线相交于另一点N。①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线、。②设H为双曲线在点M、N之间的的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为，直线MP与x轴相交于点Q，当为何值时，的面积等于的面积的2倍？又是否存在的值，使得的面积等于1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。③在y轴上是否存在点G，使得的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。62\n【答案】解：（1）。由可得a1=1，a2=3，a3=7，又直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），即（1，3），（3，7），设直线l1的解析式为y=kx+b，把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1。∴直线l1为y=2x+1。∵，，把点（，）代入y=2x+1，左式=，右式=，左式=右式。∴对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上。（2）①y=－x+4与x轴相交于点A，所以y=0，x=4，即点A的坐标为（4，0）。因为点M是l2与l1的交点，联立，解得x=1，y=3。所以点M的坐标为（1，3）。又因为双曲线y=（x＞0）经过点M，所以k=3。所以双曲线为y=（x＞0）。因为点N是双曲线与直线是l2的交点，联立，解得x=3，y=1。由此得点N的坐标为（3，1）。画图如下：②由题意，点P的坐标为，62\n当，即时，P为MQ的中点，∴，由此得，t=2。∴当t=2时，的面积等于的面积的2倍。过M作ME⊥x轴于E，则由。∵△=100－4·3·9=－8＜0，∴没有实数根。∴不存在这样的t值，使的面积为1。③由题意，点M关于y轴的对称点M’的坐标为。设在y轴上存在点G，使得的周长最小。∵MN为定值，∴要使的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点。设过M’N的直线所对应的函数关系式为，则，得。∴M’N的直线所对应的函数关系式为。∴令x=0，得y=。∴G的坐标为。【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质。62\n【分析】（1）根据图形和表格可得。先求直线l1为y=2x+1，把点（，）代入，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上。（2）①由题意，点A的坐标为（4，0），点M的坐标为（1，3）；求得双曲线为y=（x＞0），由此得点N的坐标为（3，1）。②由题意，点P的坐标为(t，)，当S△MQA=2S△MPA，即S△MPA=S△PQA时，P为MQ的中点，可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，则S△PMA=S△MEA－S△MPE－S－=，得3t2－7t＋9=0．通过此方程的解的问题可知此方程没有实数根，即不存在这样的t值，使△PMA的面积为1。③设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，MN为定值，要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，用待定系数法求出M’N的直线所对应的函数关系式即可求得G的坐标。15.（2022江苏镇江9分）理解发现：阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：。解决下列问题：（1）填空：；如果，则的取值范围为≤ｘ≤．（2）①如果，求ｘ；②根据①，你发现了结论“如果，那么（填的大小关系）”．证明你发现的结论；③运用②的结论，填空：若，则．（3）在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：的最大值为．62\n【答案】解：（1）；0，1。（2）①∵，∴，解得。∴x=1。②。证明如下：∵，∴如果，则。由得，，即。由得，。∴。∴。同理可证和的情况。∴。③。（3）作出图象如下：1。62\n【考点】新定义，特殊角的三角函数值，无理数的大小比较，解不等式组方程组，函数的图象。【分析】（1）由特殊角的三角函数值，得。∵，即；即，∴。由得，，解得0≤x≤1。（2）①根据题意可得，解出即可。②假设一个数是最小值，证明三者相等即可。③由②知，若，则，解得。∴（3）根据题意作出图象，由图象可得的最大值为1。16.（2022江苏镇江8分）探索研究：如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，－1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线有无其它公共点并说明理由．【答案】解：（1）证明：由题可知AO=CQ=1。∵∠AOH=∠QCH=900，∠AHO=∠QHC，62\n∴△AOH≌△QCH（AAS）。∴OH=CH，即H点为线段AQ的中点。（2）①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，又∵AR∥PQ，∴∠RAH=∠PQH。∴△RAH≌△PQH（ASA）。∴AR=PQ。∴四边形APQR为平行四边形。②设P（），∵PQ∥y轴，∴Q（），PQ=。过点P作PG⊥y轴于点G，在Rt△APG中，，∴平行四边形APQR为菱形。（3）除P点外，直线PH与抛物线无其它公共点。理由如下：设直线PH为，P（），由OH=CH，得H（），∴，解得。∴直线PH为。联立和得，整理得。∵△=，∴有两相同实数根，即直线PH和只有一个公共点P。【考点】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，平行的性质，平行四边形、菱形的判定，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由AAS可证△AOH≌△QCH，从而得到对应边相等：OH=CH，即H点为线段AQ的中点。（2）①由ASA可证△RAH≌△PQH，从而得到对应边相等：AR=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。②设P（），求出PQ和AP的长，即可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得证。62\n（3）用待定系数法求出直线PH的解析式，与联立，得关于x的一元二次方程，由其根的判别式等于0即可得出直线PH和只有一个公共点P的结论。17.（2022江苏省12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，62\n则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。18.（2022江苏省12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．62\n【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为。②（I）当时，过作轴，垂足为，有。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。62\n解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。19.（2022江苏镇江9分）探索发现：如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC＝CD，OD＝2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为．试解决下列问题：（1）填空：点D坐标为；（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；（3）等式BO＝BD能否成立？为什么？（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.62\n【答案】解：（1）。（2）由Rt△OAB的面积为，得B(t，)。∵BD2＝AC2＋(AB－CD)2∴。∴。（3）假设OB＝BD，则OB2＝BD2。在Rt△OAB中，OB2＝OA2＋AB2＝由（2）得，，即。∴。∵，∴此方程无解。∴OB≠BD。（4）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°，①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如图1，∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC。∴此时四边形BDCF为直角梯形。②当∠EDB=90°时，如图2，∵CF⊥OD，∴BD∥CF。又AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC。∴此时四边形BDCF为平行四边形。在△BDO中，OB2=OD2+BD2，∴。62\n∴，即。解得，，或，（因为BD在OD上方，舍去）。∴。此时BD＝CD＝。∴四边形BDCF为菱形。【考点】等腰直角三角形的性质，勾股定理，反证法，一元二次方程根的判别式，直角梯形和菱形的判定。【分析】（1）由OC＝CD知△OCD是等腰直角三角形，OD＝2，根据勾股定理求得OC＝CD＝，所以点D的坐标为。（2）由Rt△OAB的面积为，得B(t，)，再在直角梯形ACDB中，可以根据勾股定理BD2＝AC2＋(AB－CD)2得到关系式，化简即可。（3）可先假设成立，常见有以下两种方法：方法一，可由（2）中求出了BD的长（用含t的式子表示的），我们再用t表示出OB，得到关于t的方程，若该方程有解，则存在，反之则不成立。方法二，若OB＝BD，则B在CD的垂直平分线MC上，又三角形OAB的面积不变，所以B在双曲线上，所以只要求出CM的函数关系式，与联立，便可得到一个方程，同样若方程有解，则OB＝BD，反之不等。（4）在△BDE显然∠BED＝45°，所以只能是另外两个角为90°，分∠BDE或∠DBE为90°两种情况进行讨论即可。20.（2022江苏镇江9分）深化理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n为非负整数时，如果，则<x>＝n如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝（π为圆周率）；②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为；（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x≤n＋1范围内取值时，函数值y62\n为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b.求证：a＝b＝2n.【答案】解：（1）①3；②。（2）①证明：设x＝k＋b，k为x的整数部分，b为其小数部分，1）当0≤b＜0.5时，<x>＝k，m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分，<x＋m>＝m＋k，∴<x＋m>＝m＋<x>。2）当b≥0.5时，<x>＝k＋1，则m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分，<x＋m>＝m＋k＋1，∴<x＋m>＝m＋<x>综上所述：<x＋m>＝m＋<x>。②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>。∴<x>＋<y>＝<x＋y>不一定成立。（3）作的图象，如图：y＝<x>的图象与图象交于点(0，0)、、，∴x＝0，。（4）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数，当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2，即(n－)2≤y＜(n＋)2。①62\n∴n2－n＋≤y＜n2＋n＋。∵y为整数，∴y＝n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n个y。∴a＝2n②。则。∴③比较①，②，③得：a＝b＝2n。【考点】新定义，近似数，整数，二次函数的性质，不等式的整数解。【分析】（1）第一空：π≈3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3－≤2x－1＜3＋，解这个不等式组，可求得x的取值范围。（2）根据定义进行证明和举反例。（3）用图象法解，可设y＝<x>，y＝，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x的值。（4）根据在＜n≤x≤n＋1范围内y随x的增大而增大，所以可得出y的取值范围，从而求出y的整数解的个数，同样地由定义得，，把此式两边平方可得，k与y的取值范围一致，所以a＝b。21.（2022江苏镇江9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图像是直线，与轴、轴分别相交于A、B两点。直线过点且与直线垂直，其中＞0。点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。⑴写出A点的坐标和AB的长；⑵当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线、轴都相切，求此时的值。62\n【答案】解：（1）∵一次函数的图象直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y＝0时，x＝－4，∴A（－4，0），AO＝4，∴x＝0时，y＝3，∴B（0，3），BO＝3，∴AB＝5。∴A点坐标为（－4，0），AB的长为5。（2）由题意得：AP＝4t，AQ＝5t，又∠PAQ＝∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ＝∠AOB＝90°。∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切，①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO+OQ=4+PQ由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝6；设与⊙Q相切于E，连接QE，则∵⊙Q与和都相切，∴QE＝PQ=6。由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO—OQ=4—PQ由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝；62\n设与⊙Q相切于F，连接QF，则∵⊙Q与和都相切，∴QF＝PQ=。由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。∴。【考点】一次函数，勾股定理，相似三角形的判定的性质。圆心距和切线的关系。【分析】（1）由点在直线上，点的坐标满足方程，很易求出A和B点的坐标，应用勾股定理即可求出AB的长。（2）首先用相似三角形的判定方法得出相似三角形，再应用三角形对应边的比求出满足条件的的值。22.（2022江苏镇江10分）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。⑴若点E与点P重合，求的值；⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，∴点P（1，2）。62\n若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形∵PE⊥PF，∴∴S△PEF＝∴四边形PFGE是矩形，∴S△PEF＝S△GFE，∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE＝∵S△OEF＝2S△PEF，∴，解得k＝6或k＝2，∵k＝2时，E、F重合，舍去。∴k＝6，∴E点坐标为：（3，2）。（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H∵△FHM∽△MBE，∴∵FH＝1，EM＝PE＝1－，FM＝PF＝2－k，∴。在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，∴（1－）2＝（）2＋（）2解得k＝，此时E点坐标为（，2）。②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，。62\n∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝－1，∴＝，BM＝2在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝或0，但k＝0不符合题意，∴k＝．此时E点坐标为（，2）∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．【考点】反比例函数，矩形，一元二次方程，全等级三角形，相似三角形，勾股定理。【分析】（1）易由直线，求交点P坐标。若点E与点P重合，则点P在图象上，坐标满足函数关系式，求出。（2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF面积是PEF面积2倍的关系求出。（3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出。要注意应根据点P、E、F三点位置分k＜2和k＞2两种情况讨论。23.（2022江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为▲。（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为▲。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；62\n【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，－2）。（2）点A在抛物线E上，理由如下：将x=2代入得y=0。∴点A在抛物线E上。（3）将（－1，n）代入得。【发现】A（2，0）和B（－1，6）。【应用1】不是。∵将x=－1代入，得，∴二次函数的图象不经过点B。∴二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。62\n易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，则，即，得。∴C1（0，）。易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=。∴D1（3，）。易得△OAD2∽GAD1，则，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。∴D2（0，－1）。易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2（－3，5）。∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入得；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，－1）代入得。∴满足条件的所有t值为，，，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）。62\n（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。（3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。24.（2022江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。①若，BM=，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。解得x=或x=。②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。∵△ADM≌△APN，∴。62\n∴。如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。∴。∴。∴。∴当x=1时，S的最小值为。③连接PG，设DE交AP于点O。若∠BAD=150，∵∠DAP=600，∴∠PAG=450。∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四边形ADPE是菱形。∴DO垂直平分AP。∴GP=AG。∴∠APG=∠PAG=450。∴∠PGA=900。62\n设BG=t，在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。∴当BP=2－2时，∠BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。∵DH=AD=2a，∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。∵，，∴。∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。62\n62