山东省滨州市无棣县埕口中学2022届中考数学复习 知识点25B 梯形

25梯形一、选择题1.（2022年育才初中学业考试模拟试卷，10，3）有两个命题：①有一组对角互补的梯形是等腰梯形；②有一组邻角相等的梯形是等腰梯形．下列判断正确的是（）(A)①是真命题，②是假命题(B)①是假命题，②是真命题(C)①、②都是真命题(D)①、②都是假命题【答案】A2.（2022年苏州市中考数学模拟试卷七，5，3）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，AC，BD相交于O点，∠BCD＝60°，则下列说法错误的是()A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC＝2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB【答案】C3.（2022佛山市一中中考模拟试卷，10，3）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=,CD=6cm,AD=2cm.动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA→AD→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动的速度都是1cm/s,而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设点P运动的时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2),那么能正确表示整个运动过程中y关于t的函数关系的图像大致是（原创）（）【答案】B4.（2022郑州市中考数学模拟试卷，6，3）如图，在直角梯形中，∥，，，，AD＝2cm，动点P、Q同时从点出发，点沿BA、AD、DC运动到点68\n停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点到达点时，点正好到达点．设P点运动的时间为，的面积为．下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是（）【答案】B5.（2022江西中考预测卷，7，3）如图，有一张一个角为的直角三角形纸片沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形有()A.邻边不等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形【答案】D6.（2022济南市模拟试题，8，3）每一个三角形都有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆．下面那个四边形没有外接圆（▲）（A）正方形（B）等腰梯形（C）矩形(非正方形)（D）菱形(非正方形)【答案】B7.（2022上海市长宁区数学二模试题，6，4）已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的梯形是等腰梯形.其中真命题有(▼)A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C8.（2022深圳市数学中考摸拟试卷，10，3）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70º，∠C=40º，AD=4，BC=10，则CD的长度为A．6B．7C．8D．1068\n【答案】A9.（2022泰安市初中学业考试，13，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为A．cm2B．6cm2C．cm2D．12cm2【答案】A10．（2022綦江县初中毕业暨高中招生模拟考试，5，4）如图，以正方形的边为直径作⊙O,过点作直线切⊙O于点,交边于点.则三角形和直角梯形周长之比为()A.3:4B.4:5C.5:6D.6:7【答案】A11.（2022重庆一中九年级下期中试卷，10，4）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC＝900，BC＝CD，E为梯形内一点，∠BEC＝900，将△BEC绕C点旋转900，使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M．给出以下5个命题：①DM:MC=MF:ME；②BE⊥DF；③若sin,则；④若tan,则点D到直线CE的距离为1；⑤若M为EF中点，则点B、E、D三点在同一直线上．68\n则正确命题的个数()A.2B.3C.4D.5【答案】D12.（2022北京市怀柔区一模，5，4）将图1所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图开是（）【答案】C13.（2022北京市西城区一模，7，4）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．A．9B．12C．D．18【答案】D14.（2022东营市一模，12，3）如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积() A.32B.54C.76D.86 68\n【答案】C15.（2022南京市栖霞区一模，6，2）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（▲）A．12cm2B．24cm2C．18cm2D．30cm2【答案】B16.（2022扬州市初中毕业、升学统一考试数学模拟试题，4，3）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)【答案】D17.（2022扬州市初中毕业、升学统一考试数学模拟试题，7，3）如图，在梯形ABCD中，，，交于点E．若，，则CD的长是（）A．7B．10C．13D．1468\n【答案】A18.（2022东阳市初中学业考试数学调研测试卷，10，3）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（▲）A.2.5ABB.3ABC.3.5ABD.4AB【答案】B19.（2022长沙市初中毕业学业水平考试一模，9，3）已知梯形的两条对角线长分别为6cm、8cm，且对角线相互垂直，梯形的上底长为3cm,则梯形的下底长为A．7cmB.10cmC.13cmD.16cm【答案】A20．（2022广东省四会市一模，6，3）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．直角三角形B．等腰梯形C．菱形D．平行四边形【答案】C21.（2022江西省2022年中等学校招生统一考试数学样卷(六)，6，3）如图，在等腰梯形中，，对角线平分，则梯形的周长为（）A．8B．9C．10D．【答案】C22.（2022青岛市二模，7，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60º，CD＝2cm，则梯形ABCD的面积为（）cm2．A．B．6C．D．12【答案】C23.（2022广东实验中学一模，7，3）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB=60°，AB=AD=2cm，则梯形ABCD的周长为（*）．A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm68\n【答案】C24.（2022玉溪市中考数学样题，7，3）如图，菱形由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段的长为（）．3．6．．【答案】D二、填空题1.（2022佛山市一中中考模拟试卷，16，4）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论：①∠BCD=；②四边形EHCF为菱形；③∠ECF=;④S△BEH=S△CEH;⑤点E到CD距离是1.其中正确的结论是.（改编）【答案】①②③④2.（2022江西省中等学校招生考试，15，3）如图在梯形ABCD中,∠DCB=900;AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A愉好与点D重合,BE为折痕,那么AD的长度为________.【答案】303.（2022上海市黄浦区初三学业考试模拟考，17，4）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=2，tanA=2，则梯形ABCD的面积是_______________.【答案】668\n4.（2022上海市浦东新区中考模拟数学试卷，17，4）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，AC⊥AB，那么=．【答案】5.（2022上海市普陀区中考模拟数学试卷，17，4）等腰梯形ABCD中，，，那么梯形ABCD的周长是．【答案】6.（2022綦江县初中毕业暨高中招生模拟考试，13，3）如图，校园内有一块梯形草坪ABCD，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走步路，就踩伤了绿化我们校园的小草，这是一种很不文明的现象（“路”宽忽略不计）.【答案】47.（2022东台市二模，12，3）梯形的中位线长为3，高是2，则梯形的面积为.【答案】68.（2022常熟市一模，14，3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝2，则下底BC的长为▲．【答案】89.（2022从化市一模，15，3）如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是．【答案】10．（2022张家港市初三网上阅卷适应性考试，14，3）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠68\nBAC＝90°，AB＝2，CD＝，E是BC的中点，则DE的长为．【答案】11.（2022南京市建邺区一模，15，2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，且四边形EFGH的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】1812.（2022长沙市初中毕业学业水平考试二模，17，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O。如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC请把其中错误结论的序号填在横线上：___________。【答案】（2）13.（2022扬州市一模，17，3）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD长为半径的圆与BC相切于点M，交AB于点E，若AD=2，BC=6，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留π)．【答案】14.（2022河南中招最后20天押题试卷数学（四），14，3）如图，在梯形中，，，cm，cm，将该梯形折叠，点恰好与点重合，为折痕，那么梯形的面积为cm2．68\n【答案】38415.（2022河南省新密市一模，13，3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=6,以A为圆心，AD为半径的圆与BC边相切于点M，于AB交于点E，将扇形A-DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为________.【答案】16.（2022黄冈市路口中学一模，5，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF＝＿＿＿【答案】1017.（2022太仓市一模，18，3）如图，∠AOB＝30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则S8＝▲．【答案】18.（2022枣阳市2022年中考适应性考试，14，3）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，则AB的长度为.【答案】1868\n三、解答题1.（2022学年第二学期徐汇区初三年级数学学习能力诊断卷，25，14）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F．(1)如图，当点F在线段DE上时，设BE，DF，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求的值；(3)联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求的值。【答案】(1)过点作于点．可得，；在Rt△DEG中，∴，即∴(负值舍去)（）（2）设的中点，联结，过点作于点．；⊙与⊙外切时，，在中，，∴化简并解得⊙与⊙内切时，在中，，∴，化简并解得综上所述，当⊙与⊙相切时，或．（3）①时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，∴，即在中，=当点F在线段DE上时，由=3，解得；当点F在线段DE延长线上时，由=3，解得；68\n②时，过点F作于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ∴，=，（负值舍去）；综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，2、．2.（2022年青浦区初中学业模拟考试，24，12）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段、上有动点、，点以每秒的速度，在线段上从点B向点C匀速运动；同时点以每秒的速度，在线段上从点C向点D匀速运动．当点到达点C时，点同时停止运动．设点运动的时间为t（秒）．（1）求AD的长；（2）设四边形BFED的面积为，求y关于t的函数关系式，并写出函数定义域；（3）点、在运动过程中，如与相似，求线段的长．【答案】解：（1）∵AD∥CB,∴∠ADB=∠DBC又BD⊥DC,∠A=90o∴∠A=∠BDC=90o∴△ABD∽△DCB在∴即解得：cm(2)过点E作AB的垂线，垂足为G，在中，在中，∴∴（）（3）当，cm，当，cm68\n综上所述：cm或者cm3.（2022鄂州市初中毕业及高中阶段招生考试试题，21，8）【答案】4.（2022佛山市一中中考模拟试卷，22，10）如图,AD∥BC,∠A=,E是AB上一点，AD=BE,F是CD中点.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?如果是请说明理由;若不全等请添加一个合适条件使其全等并说明理由.(2)若Rt△ADE与Rt△BEC全等,说明△CED是直角三角形.【答案】解:（1）不全等.添加EF⊥CD,(此处不唯一)则Rt△ADE与Rt△BEC全等∵F是CD中点且EF⊥CD∴CE=DE……1分∵AD∥BC,∠A=∴∠B=∠A=90°……2分∵AD=BE，CE=DE∴Rt△ADE≌Rt△BEC……1分68\n（2）直角三角形∵Rt△ADE≌Rt△BEC∴∠AED=∠BCE……1分∵∠BCE+∠BEC=∴∠AED+∠BEC=……2分∴∠CED=……1分∴△CED是直角三角形5.（2022福州市初中毕业班质量检查，18，10）梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，DA为半径的圆经过B、C、D三点，若，，求梯形ABCD的面积。【答案】6.（2022酒泉市学校招生学业考试模拟试卷，18，9）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD。（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；68\n（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。【答案】①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；（答对三对即可）（2）以△ABP≌△DCP全等为例：证明：∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠CDA，又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，在△ABP和△DCP中，∵，∴△ABP≌△DCP。7.（2022中山市一中第一次模拟考试，22，12）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．【答案】⑴过C作CG⊥AB于G∵AB=7,CD=1∴BG=由BC=5∴CG==4S=⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB∴四边形EFNM为矩形68\n设BF为x，四边形MEFN的面积只为y∵NF∥CG,∴BFN∽BGC即∴NF=EF\7-2x∴y=（7-2x）当x=时，四边形MEFN的最大值为⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形此时正方形边长为正方形面积为.8.（2022河南省中招第一次模拟考试试卷，21，10）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．⑴判定四边形PCFD的形状；⑵当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；⑶求四边形PCFD的周长的最小值．【答案】解：⑴；⑵，△APD∽△BCP．x:4=1:（5−x）．解得x1=1，x2=4；⑶延长DA到G，使AG=AD．当点G、P、C共线时CP+PD最小，值为GC=．所以周长的最小值为．9.（2022郑州市中考数学模拟试卷，21，10）如图，△ABC中，∠C＝900，BC＝5，AC＝12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动。设点P、Q运动的时间为t秒（），（1）当t=2时，BP＝，Q到BC的距离是；（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t的取值范围）；（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由。68\n【答案】解：（1）3，；（2）过Q作QE⊥BC于E，由△QBE∽△ABC可得QE＝，故；（3）能，或或10．（2022长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷，23，8）如图，某堤坝的横截面是梯形AB—CD，背水坡AD的坡度i(即tana)为1:1.2，坝高为5m，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽lm，形成新的背水坡EF，其坡度为1:1.4，已知堤坝总长度为4000m．(1)完成该工程需要多少土方?(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30％，乙队工作效率提高40％，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?【答案】解(1)作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．∵CD∥AB，∴EH=DG=5m，∵，∴AG=6m，∵，∴FH=7m，∴FA=FH+GH-AG=7+1-6=2(m)．68\n∴S梯形ADEF=(ED+AF)·EH=(1+2)×5=7.5(m2)，V=7.5×4000=30000(m3)．(2)设甲队原计划每天完成xm3土方，乙队原计划每天完成ym3土方．20(x+y)=30000根据题意，得15[(1+30%)x+(1+40%)y=30000．x+y=1500化简，得1.3x+1.4y=2000．x=1000解之，得y=500答：甲队原计划每天完成1000m3土方，乙队原计划每天完成500m3土方．11.（2022江门市初中毕业生学业水平调研测试，18，7）如图，梯形中，，，平分，交于．⑴求证：四边形是菱形；⑵若，，求证：．【答案】⑴∵，∴∵是角平分线，∴∴，，且，所以是平行四边形，又∵，所以是菱形．⑵作，交于点，由⑴知，是正三角形，，又由知，从而，所以，．68\n12.（2022黄冈市调研考试，24，14）【答案】68\n13.（2022江西省中等学校招生考试，23，9）如图，等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O为圆心，OC为半径作⊙O，交OA于点D，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发向点O移动，过点P作PE∥AB，交BC于点E。设P点运动的时间为t（秒）。（1）求OA的长；（2）当t为何值时，PE与⊙O相切；（3）直接写出PE与⊙O有两个公共点时t的范围，并计算，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积。【答案】（1）由等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°过O作梯形的高，得出AO=4…..3分（2）当PE与⊙O相切时，O到PE的距离为2，得出OP=,AP=4—68\n所以，当t=4—秒时⊙O与PE相切。…….6分（3）4—＜t≤4，……7分，当PE与⊙O相切时，四边形PECO与⊙O重叠部分面积，即扇形OCD的面积=14.（202255中及实验中学初三数学联合考试卷，19，12）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．求证：．【答案】证明：四边形是等腰梯形，．为的中点，OBECAD（第22题图）．．15.（2022上海市长宁区数学二模试题，23，12）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC，CB//OA，且点A在x轴正半轴上.已知C(2，4)，BC=4.(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合)，使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】解：(1)∵C(2,4),BC=4且BC//OA∴B(6,4)设抛物线为68\n将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得解得∴∴顶点对称轴：直线(2)(6分)据题意，设或将代入抛物线得解得(舍)将代入抛物线得解得(舍)∴符合条件的点和16.（2022上海市静安区中考模拟数学试卷，21，10）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．求：（1）求∠CDB的度数；（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】解：(1)∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠CBA=∠A=60º.∵BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30º，（2）在△ACD中，∵∠ADB=180º–∠A–∠ABD=90º．∴BD=ADA=2tan60º=2.过点D作DH⊥AB，垂足为H，∴AH=ADA=2sin60º=.∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30º，∴DC=BC=AD=2.∵AB=2AD=4,∴．17.（2022卢湾区初中毕业统一学业模拟考试，23，12）已知：如图，梯形中，∥，是的中点，，联结、相交于点，.68\n（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形.【答案】证明：（1）∵BD⊥CD，∴，∵是的中点，∴，∵，∴EF⊥BD，即，∴∥，∵∥，∴四边形是平行四边形，∴.（2）∵四边形是平行四边形，∴，∴=，又∥，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形.18.（2022卢湾区初中毕业统一学业模拟考试，25，14）已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x．（1）求证：；（2）当时，用含的代数式表达的长；（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.【答案】解：（1）∵BC∥AD，∴，，∵∥，，∴，∴.（2）∵，AB=8，BC=6，∴，68\n∵BC⊥AB，，∴，∵EC=x，∴，∴，∵AF=2EC，由（1）知，∴，∴，∵∥，∴，∴，∴.（3）∵，设，∴，，，当与相外切时，；，解，得，∵，即，由，得，与已知不符，∴（舍）；当与相内切时，，①，无解；②，解，得，，∵，，∴.综上所述，满足条件的的值为.19.（2022上海市闵行区中考模拟数学试卷，23，12）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，联结AF、EF．（1）求证：AD=ED；（2）如果AF//CD，求证：四边形ADEF是菱形．【答案】证明：（1）∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD．68\n∴∠ADB=∠CDB．又∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD=∠BED=90°．于是，在△ABD和△EBD中，∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，∴△ABD≌△EBD．∴AD=ED．（2）∵AF//CD，∴∠AFD=∠EDF．∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD．又∵AD=ED，∴AF=DE．于是，由AF//DE，AF=DE，得四边形ADEF是平行四边形．又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形．20．（2022上海市浦东新区中考模拟数学试卷，23，12）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．【答案】（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴．又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．∴MN∥BC．证法二：延长CD到F，使得，联结AF．∵，，∴．∵，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵，∴．∴MN∥BC．（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．68\n证明如下：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．∵∠ACB=90°，，∴．∵，∴BMDN．∴四边形BDNM是等腰梯形．21.（2022上海市松江区初中毕业生学业模拟考试，24，12）如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，点D在边OC上，CD=3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足，求点M的坐标．【答案】解：（1）∵BC∥OA，∴BC⊥CD，∵CD=CB=3，∴∠CDB=45°∵BC⊥CD，∴∠ODE=45°,∴OE=OD=1，∴E（1，0）（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0）二次函数的图象经过点B和点E．,解之得二次函数的解析式为，对称轴为直线②设对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t），68\n，（ⅰ）当点M位于线段BF上时，，∵，∴解得：，∴M（3，）（ⅱ）当点M位于线段FB延长线上时，，∵，∴解得：，∴M（3，8）22.（2022上海市杨浦区中考模拟数学试卷，22，10）已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。求证：四边形CEFG为梯形。【答案】证明：(1)∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE//AB，∴∠A=∠FDG，∠ABF=∠FGD∵F是线段AD的中点，∴AF=FD∴△ABF≌△DGF，68\n∴BF=FG∴∵E为BC中点，∴BC=EC，∴，∴∴EF//CG而GF与CE交于点A，∴四边形CEFG为梯形.23.（2022石家庄市初中毕业班调研检测，26，12）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E做EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M。动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒。（1）求DE的长；（2）设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形。【答案】解：(1)∵∠C=90°，CD=8，CE=6，∴DE=10；(2)①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，∠C=90°。又∵EF⊥AD，∴∠C=∠FEB=90°，∴tan∠DBC=，∴ME=BEtan∠DBC=5，∴MF=3，∴S△APM=×AP×MF=×3×(10-2t)=-3t+15(0≤t≤5)；②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，∵AD∥BC，且AD=BE，∴四边形ABED为平行四边形，又∵AD=DE=10，∴四边形ABED为菱形，68\n∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，∴△ABM≌△EBM；∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，∴S△APM=×AP×MA=×5×(2t-10)=5t-25(5≤t≤10)；(3)（ⅰ）当点P在DA上时，①若MA=MP，∵MF⊥AD，∴AP=2AF，又∵AM=5，FM=3，∴AF=4，∴AP=2AF=8，8=10-2t，∴t=1；②若AM=AP，∴AP=5,5=10-2t，∴t=；③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H,∵∠PHA=∠MFA=90°,∠PAH=∠MAF,∴△AHP∽△AFM，∴AH=,∴AM=2AH，，∴t=；（ⅱ）当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴2t-10=5，∴t=；综上所述，当t=1或t=或t=或t=时，△PMA为等腰三角形．24.（2022漳州市中考数学模拟试卷，25，13）如图，将Rt△BCO置于平面直角坐标系xoy中，斜边OB在y轴的正半轴上，过点B作BA∥OC交轴于点A，点C的纵坐标为8，tan∠BOC=0.5。（1）求B点坐标；（2）点P在线段OB上，OP与OB的长分别是关于的方程的两个实数根，求线段OP的长；（3）在轴上是否存在点D，使以点A、B、P、D为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，说明理由。68\n【答案】无25.（2022綦江县初中毕业暨高中招生模拟考试，24，10）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．【答案】⑴解：过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2·∵AP=x，∴PH=x－2，情况①：当AP=AD时，即x=2·情况②：当AD=PD时，则AH=PH∴2=x－2，解得x=4情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5··∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形···⑵易证：△DPH∽△PEB∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4··⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，∴不存在点P，使得PQ经过点C···当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C26.（2022綦江县初中毕业暨高中招生模拟考试，26，12）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△68\nPDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。【答案】⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为⑵存在由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y＝4－x又P点(x,y)在抛物线上，∴，即解得，，应舍去。∴.∴，即点P坐标为.②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。∴符合条件的点P坐标为或（2，3）.⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝，∴,∴∠BCD＝90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，68\n∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD＝90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）.27.（2022重庆一中九年级下期中试卷，24，10）直角梯形ABCD中，AB//CD，∠C＝900，AB＝BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC＝450，求证：AD＝AM．（2）若∠DAM＝450，AB＝7，CD＝4，求BM的值．【答案】（1）证明：作AE⊥CD交延长线于点E.∵∠DMC＝450，∠C＝900∴CM=CD又∵∠B=∠C=∠E=900,AB＝BC68\n∴四边形ABCE为正方形∴BC＝CE∴BM＝DE在Rt△ABM和Rt△AED中∴△ABM≌△AED∴AD＝AM……5分（2）把Rt△ABM绕点A顺时针旋转900,使AB与AE重合，得Rt△AEN.∵∠DAM=450,∴∠1+∠2=450由旋转知∠1＝∠3,∴∠2+∠3＝450，即∠DAM＝∠DAN由旋转知AM＝AN，∴△ADM≌△ADN，∴DM＝DN设BM=x，∵AB＝BC＝CE＝7,∴CM＝7-x又∵CD＝4,∴DE＝3,BM＝EN＝x，∴MD＝DN＝3+x,在Rt△CDM中，(7-x)2+42=(3+x)2∴BM的值为28.（2022舟山市初中毕业生学业模拟考试试卷，22，10）如图，已知Rt△，，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，．（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．那么，构成菱形的四个顶点是▲或▲；构成等腰梯形的四个顶点是▲或▲；（2）请你各选择其中一个图形加以证明.【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G；构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F；（2）证出一个得3分68\n（ⅰ）∵垂直平分（ⅱ）∵菱形∴，∴∥∴∵∵平分∴∴∴四边形是等腰梯形．∵∴≌∴∴∴四边形是菱形．或（ⅲ）∵等腰梯形（ⅳ）∵菱形，∴∴∵∵∴∴∵∥∵∴四边形是平行四边形∴≌∵∴∴四边形是菱形．∵∥∴四边形是等腰梯形．29.（2022北京市九年级综合水平质量调研，19，5）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC中点，tanC=．求AE的长度．【答案】解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M.68\n在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，∴∠M=∠MFC，DE=CE.在△MDE和△FCE中，∠M=∠MFC，∠DEM=∠CEF，DE=CE.∴△MDE≌△FCE.∴EF=ME，DM=CF.∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=.在Rt△FCE中，tanC==，∴EF=ME=2.在Rt△AME中，AE=.30.（2022北京市昌平区一模，19，5）在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，BC=2cm.(1)求∠CBD的度数；(2)求下底AB的长.【答案】解：∵,∴.∵,∴.∵∥CD,∴.∵BC=CD,∴.∴.∴.∴梯形ABCD是等腰梯形.∴AD=BC=2.在中，，，∴AB=2AD=4.31.（2022北京市昌平区一模，15，5）68\n【答案】32.（2022北京市朝阳区一模，23，7）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.【答案】解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠ACB=∠CAD.∴tan∠ACB=tan∠CAD=.∴.∵AB=8，∴BC=6.则AC=10.过点C作CH⊥AD于点H，∴CH=AB=8,则AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12.（2）∵CA=CD,∴∠CAD=∠D.68\n∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，∴∠1=∠2.∴△AEF∽△DCE.∴，即.∴.（3）若△EFC为等腰三角形.①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2.②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在Rt△CHE中，由，解得.③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去.综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或.33.（2022北京市崇文区一模，19，5）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．（1）求cos∠CBD的值；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）∵∠A＝60°，BD⊥AD，∴∠ABD＝30°又∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°cos∠CBD=．（2）过作于点．68\n∵∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠A∴AD＝BC＝CD＝2cm在Rt△ABD中，AB＝2AD＝4cm．===．34.（2022北京市崇文区一模，25，7）在梯形中，∥,,且.对角线相交于点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上，使三角板绕点旋转。（1）如图1，当三角板旋转到点落在边上时，线段与的位置关系是，数量关系是；（2）继续旋转三角板，旋转角为.请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边与梯形对角线重合时，与相交于点P，若，求的长。【答案】解：（1）垂直，相等（2）画图如右图（答案不唯一）（1）中结论仍成立。证明如下：过A作于M,68\n则四边形ABCM为矩形.∴AM=BC=2,MC=AB=1.∵tan∠ADC=2,∴.∴DC=BC.（3）∥∽同理可求得68\n由（2）知，又∽35.（2022北京市大兴区一模，19，5）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD=8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.【答案】解：联结DG∵EF是CD的垂直平分线∴DG=CG∴∠GDC=∠C,且∠C=45°∴∠DGC=90°∵AD∥BC,∠A=90°∴∠ABC=90°∴四边形ABGD是矩形∴BG=AD=8∴∠FGC=∠BGE=∠E=45°∴BE=BG=8∴AE=AB+BE=12+8=20.68\n36.（2022北京市海淀区一模，19，5）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．【答案】解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°.∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°.∵∠B=60°,∴∠ACB=30°.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°.∴在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=，∠ADE=60°.∵∠ADC=105°，∴∠EDC=45°.∴在Rt△CDE中，CE=DE=3.∴AC=AE+CE=.∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=.37.（2022北京市门头沟区一模，24，7）在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，对角线AC和BD相交于点O．在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转．（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时，线段AF与CE的位置关系是，数量关系是；（2）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转,旋转角为（）,请你在图2中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时,三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形．①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明；68\n②若，求BM的长．【答案】解：（1）垂直，相等（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．证明：如图2，过D作于G．∵，　　　　　　∴DG∥AB.　　　　　　∵AD∥BC，∴四边形ABGD为矩形.∴AB=DG=2,AD=BG=1.∵tan∠DCB==2,∴.∴CB=AB=2.∵，∴.∴.在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE.∴.∵，，∴.∴.（3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．68\n②如图3，AD∥BC，∴△AOD∽△COB．∴．AD＝1，BC＝2，∴．在Rt△DAB中，．∴．∵,∴．∠1＋∠FBM=90°，∠2＋∠FBM=90°,．又∴△BME∽△BOA.∴∴∴38.（2022北京市平谷区一模，19，5）已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，∠C=45°，BE⊥DC于E，BC=5，AD:BC=2:5.求ED的长.【答案】解：作DF⊥BC于F,EG⊥BC于G.∵∠A=90°，AD∥BC∴四边形ABFD是矩形.∵BC=5,AD:BC=2:5.∴AD=BF=2.∴FC=3.在Rt△DFC中，68\n∵∠C=45°，∴DC=在Rt△BEC中，∴EC=∴DE=.39.（2022北京市顺义区，19，5）已知：如图，梯形ABCD中，∥，，，，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点处．（1）求的度数；（2）求△的面积．【答案】解：(1)过点D作于F.∵,,,∴四边形是正方形.∴,在Rt中，∴∵,,∴∴,∴∵∴(2)设，则，∵∴在Rt中解方程，得∴68\n40.（2022北京市通州区一模，25，7）已知梯形中，AD//BC，∠A=120°,E是AB的中点，过E点作射线EF//BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点向点B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t.（1）求线段AB、AD的长；（2）如果t>1，DP与EF相交于点N，求的面积S与时间t之间的函数关系式.（3）当t>0时，是否存在是直角三角形的情况，如果存在请求出时间t,如果不存在，说明理由.【答案】解：根据题意可知，…….……………………(1分)原方程可化为：…………………..…….…………………………(2分)(2)过点P作PMDA，交DA的延长线于M,过点D作DKEF,AD//BC且,E是AB中点，且EF//BC68\n,是AB中点，AD//EF,AB=2,=(3)根据题意可知：根据勾股定理可得：68\n①当=+解之得：（舍负）②当=+解之得：（舍负）③当,=+解之得：综上，当，，时是直角三角形.41.（2022北京市延庆县一模，19，5）已知如图：直角梯形中，，，，,求：梯形的面积；【答案】解：过点D做，CD=26在中，∴DE=24∴由勾股定理得：CE=10∴BE=CD-CE=16∵，68\n∴∵∴四边形ABED是平行四边形∴AD=BE=16∴42.（2022北京市燕山区一模，19，5）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD，若它的周长为12cm，求BC边的长.【答案】能正确画出图形，作DE∥AB交BC与E，则∠DEC=∠B=60°，又∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC.∴DE=AB=CD，且AD=BE.∴△CDE是等边三角形.又∵AB=AD，∴CE=CD=AD=BE=AB.依题意，AB+AD+CD+CE+BE=12cm，即5BE=12cm，∴BE=2.4cm∴BC边的长为4.8cm.43.（2022北京市燕山区一模，25，7）已知：如图，在梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，点E在梯形内，点F在梯形外，，∠EDC=∠FBC，且DE=BF．（1）判断△ECF的形状特点，并证明你的结论；（2）若∠BEC=135°，求∠BFE的正弦值．【答案】⑴是等腰直角三角形.证明：作AH⊥CD于H，68\n∵梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°.∴AB∥CD，AH=BC，AB=CH.又∵，即CH+DH=2AB=2CH∴DH=CH，CD=2DH.∵tan∠ADC==2，∴AH=2DH=CD=BC.在△EDC和△FBC中，又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF，∴△EDC≌△FBC.∴CE=CF,∠ECD=∠FCB.∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°,∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°.∴△ECF是等腰直角三角形.⑵∵在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°，∴∠CEF=45°，CE=EF.又∵∠BEC=135°，=0.5，∴∠BEF=90°，=.不妨设BE=，EF=4，则BF=.∴sin∠BFE===.44.（2022长春市一模，20，6）68\n【答案】解法一：过作于，得到矩形．∴．　在Rt△中，，∴．∵，∴切割下的矩形不符合要求．解法二：作∥交于．则．∵∥，∴四边形是平行四边形．∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分）∵四边形是矩形，∴．在Rt△中，，∴．∵，∴切割下的矩形不符合要求．45.（2022江苏省泰州市中考数学适应性训练试题，20，8）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD=DE．68\n【答案】(1)△BFC≌△DFC（SAS）(2)延长DF，交BC于点G证四边形ABGD为平行四边形，得AD=BG再证△BFG≌△DFE（ASA），得BG=DE得证：AD=DE46.（2022南京市一模，19，6）如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F．四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由．【答案】四边形ADFE是矩形．证明：因为四边形ABCD为梯形，所以AD∥EF．因为AE是底边BC的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°．所以，AE∥DF，所以，四边形ADFE为平行四边形．又因为∠AEF＝90°，所以四边形ADFE是矩形．47.（2022河南中招临考猜题试卷，22，10）如图，在直角梯形纸片ABCD中，∥，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为．连接EF并展开纸片．（1）判断四边形ADEF的形状,并说明理由.（2）取线段AF的中点G，连接、DG，如果∥，试说明四边形GBCE是等腰梯形．【答案】（1）证明：∵△ADF≌△EDF，∴∠DEF=∠A=90°.∵AB∥DC,∴∠ADE=90°.∴四边形ADEF为矩形68\n又∵DA=DE,∴四边形ADEF为正方形（2）∵CE∥BG，CE≠BG,∴四边形EGBC是梯形又∵DG//CB,∴四边形BGDC是平行四边形.∴BC=DG又∵AG=GF,正方形ADEF为轴对称图形.∴GE=DG∴EG=CB.∴四边形EGBC为等腰梯形48.（2022淮北市“五校”联考一模，20，10）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。【答案】（1）证明；∵BC=2AD、点F为BC中点∴CF=AD∵AD∥CF∴四边形AFCD为平行四边形∴∠FAD=∠C　∵DE∥FG∴∠DEA=∠AFG∵AF∥CD∴∠AFG=∠FGC∴∠DEA=∠FGC∴△AED≌△CGF　（2）连结DF易证四边形ADCF是平行四边形，四边形ABFD是矩形又因为点E,G分别为AF,CD的中点所以DE=EF=FG=GD即四边形DEFG是菱形49.（2022宜兴外国语学校一模，25，9）如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形中，，．对于抛物线部分，其顶点为的中点，且过两点，开口终端的连线平行且等于．（1）如图①所示，在以点为原点，直线为轴的坐标系内，点的坐标为，试求两点的坐标；68\n（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．【答案】解：（1）作，，垂足分别为．，四边形为矩形，，．又，（HL），．又，．又，．点的坐标分别为，．（2）设抛物线的函数解析式为．由点在其图象上得，解得．抛物线的函数解析式为．又，点关于轴对称，点的横坐标为15，代入得．故标志的高度为cm．（3）镀膜示意图如下：20cm30cm3cm由示意图可知，镀膜外围周长由四条线段长和四条半径为3cm的弧长构成，故．所以镀膜的外围周长为cm．50.（2022江西省高安市一模，25，10）如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶368\n（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）.探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.【答案】解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=AC=×6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB∴=，即=，∴HG=∴S△AHG=AH·HG=×4×=（2）①能为正方形∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形又CH=AC－AH=6－4=2∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE－ME=4－=∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=∴y=（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积－矩形CDH′H的面积.而S边形CBGH=S△ABC－S△AHG=×8×6－=S矩形CDH′H=2t68\n∴y=－2t（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8－t又=tan∠ABC=∴PD=DB=（8－t）∴重叠部分的面积y=S△PDB=PD·DB=·（8－t）（8－t）=（8－t）2=t2－6t+24∴重叠部分面积y与t的函数关系式：y=（0≤t≤4）－2t（4＜t≤5）t2－6t+24（5＜t≤8）51.（2022南京市白下区一模，23，7）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD是对角线．过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状并证明；（2）若AC＝DB，求证：梯形ABCD是等腰梯形．【答案】解：（1）四边形ACED是平行四边形．证明：∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）证明：由（1）知四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE．∵AC＝DB，∴DE＝DB．∴∠E＝∠DBC．∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB．∴∠ACB＝∠DBC．又∵AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．68\n∴AB＝DC（或∠ABC＝∠DCB）．∴梯形ABCD是等腰梯形．52.（2022南京市六合区一模，20，7）已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）四边形BCDE是等腰梯形.【答案】证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB边上的高∴∠ADB=∠AEC=90°．又∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABD≌△ACE；（2）由△ABD≌△ACE得AD=AE，则∠ADE=∠AED，故∠ADE=　．∵AB=AC得∠ABC=∠ACB，故∠ACB=　．∴∠ADE=∠ACB．∴DE∥BC　．又∵AB–AE=AC–AD即BE=CD，∴四边形BCDE是等腰梯形．53.（2022南京市浦口区一模，28，10）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．（1）当BO＝AD时，求BP的长；（2）在点O运动的过程中，线段BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)68\n【答案】解：（1）∵AD//BC,BO=AD∴四边形AB0D为平行四边形∴AB//OD,∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5在RtOCD中，,BO=BC-CO=3.在RtPOB中，BO=PO,∴BP=（2）不存在.如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP=MN，则△BOP≌△MON∴∠BOP=∠MON=180°-2∠B=74°ABCDOPMNEDC=AE=在RtOCD中，.BO=BC-CO=在△POB中,BP=因为AB=5,所以BP>AB.又因为P点在边AB上，即BP＜AB.所以BP与MN不可能相等.（3）当⊙O与⊙C外切，CN取值范围为0<CN<6当⊙O与⊙C内切，CN取值范围为54.（2022南京市下关区一模，19，6）如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F．四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由．【答案】四边形ADFE是矩形．证明：因为四边形ABCD为梯形，所以AD∥EF．因为AE是底边BC的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°．所以，AE∥DF，所以，四边形ADFE为平行四边形．68\n又因为∠AEF＝90°，所以四边形ADFE是矩形．55.（2022南京市玄武区一模，28，9）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1)请你求出FG的长度．(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)．【答案】(1)∵在Rt△EGF中，EG=AB=5，EF=,∴FG=(2)当0≤x≤4时，；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或．(3)当0≤x≤4时，，顶点为(10，25)，∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．56.（2022上海市长宁区2模，23，12）如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC，CB//OA，且点A在x轴正半轴上.已知C(2，4)，BC=4.(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合)，使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.68\n【答案】解：(1)∵C(2,4),BC=4且BC//OA∴B(6,4)设抛物线为将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得解得∴∴顶点对称轴：直线(2)据题意，设或将代入抛物线得解得(舍)将代入抛物线得解得(舍)∴符合条件的点和57.（2022上海市金山区一模，23，12）已知：如图，在中，°,是直角边的垂直平分线，,连接求证：(1)四边形是梯形（2）【答案】(1)证明：∵是的垂直平分线∴68\n∴∵∴∴∥∵与不平行∴四边形是梯形(2)延长交于∵∴∴∵∴∥∴四边形是平行四边形∴∴58.（2022郑州市2模，20，9）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,AE⊥BC于点E,AB的垂直平分线GF交BC于点F，交AB于点G，连接AF.已知AD=1.4,AF=5,GF=4.（1）求梯形ABCD的腰AB的长；（2）求梯形AFCD的面积.【答案】解：（1）在Rt△AGF中，AF=5，GF=4，∴AG=．又∵GF垂直平分AB，∴AB=2AG=6．（2）∵GF垂直平分AB，∴BF=AF=5．∴∠B=∠FAG．68\n由（1）知．∴．在Rt△ABE中，．．在Rt△AFE中,AF=5，AE=，可求得EF=AD=1.4.∴．梯形AFCD的面积为：．59.（2022长沙市初中毕业学业水平考试一模，23，9）如图，某堤坝的横截面是梯形AB—CD，背水坡AD的坡度i(即tana)为1:1.2，坝高为5m，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽lm，形成新的背水坡EF，其坡度为1:1.4，已知堤坝总长度为4000m．(1)完成该工程需要多少土方?(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30％，乙队工作效率提高40％，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?【答案】解(1)作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．∵CD∥AB，∴EH=DG=5m，∵，∴AG=6m，∵，∴FH=7m，∴FA=FH+GH-AG=7+1-6=2(m)．∴S梯形ADEF=(ED+AF)·EH=(1+2)×5=7.5(m2)，V=7.5×4000=30000(m3)．(2)设甲队原计划每天完成xm3土方，乙队原计划每天完成ym3土方．20(x+y)=30000根据题意，得15[(1+30%)x+(1+40%)y=30000．x+y=150068\n化简，得1.3x+1.4y=2000．x=1000解之，得y=500答：甲队原计划每天完成1000m3土方，乙队原计划每天完成500m3土方．60.（2022长沙市初中毕业学业水平考试二模，25，10）如图：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=20cm，CD=8cm。等边三角形PMN的边长MN=20cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等边三角形PMN沿AB所在的直线匀速向右移动，直到点M与点B重合为止。（1）等边三角形PMN在整个运动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变为形，再变为形；（2）设等边三角形移动距离x（cm）时，等边三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠的部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【答案】（1）等边三角形、等腰梯形、等边三角形----------3分（2）61.（2022清远市初中毕业生学业考试二模，21，6）如图，一水坝横截面为等腰梯形，斜坡坡角为，上底宽m，下底宽m，求水坝横截面的面积．(，，)【答案】解:在等腰梯形ABCD中，过点、分别作于点，于点，∴四边形是矩形.∴，.68\n在Rt△AEB中，，tan，∴tantan.∴.∴水坝横截面的面积m2.62.（2022苏州市中考数学十模，23，6）已知．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：(1)△BFC≌△DFC．(2)AD＝DE．【答案】略63.（2022扬州市一模，23，10）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F．（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．【答案】(1)延长AD交FE的延长线于N，∵∠NDE=∠FCE=90°,∠DEN=∠FEC,又DE=EC,∴△NDE≌△FCE．∴DN=CF．又AB∥FN,AN∥BF，∴四边形ABFN是平行四边形．∴BF=AD+DN=AD+FC．(2)解:∵AB∥EF,∴∠1=∠BEF,∵∠1=∠2,∴∠2=∠BEF．∴EF=BF.∵EF=AD+CF=AD+(BC－BF)，∴EF+BF=AD+BC=1+7=8，∴EF=4．64.（2022河南中招最后20天押题试卷五，23，12）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．（1）求正方形的边长；（2）①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是；68\n②当正方形顶点移动到点时，求的值；（3）设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．【答案】（1）∵，设正方形的边长为，∴，或（舍去）．（2）先增大而减少．（3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①．可得△∽△，∴，=．∴．②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．．③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，，．=．④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．=．⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．68\n．65.（2022河南中招最后20天押题试卷六，22，10）如图,等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD，AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NP⊥BC,垂足为P，NP＝2.连接AC交NP于Q，连接MQ.若点N运动时间为t秒.求：（1）请用含t的代数式表示PC；（2）求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？【答案】解：（1）如图,过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=68\n当动点N运动t秒时，PC＝1+t.（2）∵AD∥BC，NP⊥BC∴∠ANQ=∠CPQ=90°又∵∠AQN=∠CQP∴△AQN∽△CQP∴∴∴PQ=∵点M以每秒2个单位运动，∴BM＝2t，CM＝4—2tS△CMQ＝＝……7分当t＝2时，M运动到C点，△CMQ不存在，∴t2∴t的取值范围是0≤t＜2S△CMQ＝.当S有最大值，最大值是.66.（2022河南省新密市一模，22，9）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC=2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当=3时，是.并证明你得到的结论.②当=2时，是；（不证明）③当=1时，是；（不证明）20.【答案】解：（1）证明：∵∴AD∥BC,∠OCP=∠OAE又∠COP=∠AOE,又∠COP=∠AOE,∴△COP∽△AOE（2）①等腰梯形；证明：分别过点D、E作BC的垂线，垂足为M、N.68\n∵AD∥BC，∠ABC=90°,∴AB∥EN∥DM且AB=EN=DM又∵AD:BC=2:3,设AD=3x，则BC=3x.∵E是AD的中点，∴AE=ED=BN=NM=MC=x，当K=3时，∴CP=3AE=3x.∴此时点P与点B重合.在Rt△CDM和Rt△ENB（P）中，∵DM=EN，CM=BN，∴Rt△CDM≌△RtENB.∴CD=EP∵DE∥CP,CD与EP不平形，∴四边形EDCP是等腰梯形.②直角梯形:③平行四边形：67.（2022玉溪市中考数学样题，18，9）如图，在一滑梯侧面示意图中，于点，于点，，，（1）求滑道的长（精确到0.1m）；（2）求滑梯底端与滑道底端的距离的长（精确到0.1m）.（参考数据：）【答案】解：（1）在中，1.8，（2）在中，由得又，答：长约为3.8m，约为5.6m.68.（2022楚雄州双柏县一模，19，8）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，且BE=CF．（1）求证：AF=DE．（2）判断△OAD的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明：∵BE=CF∴BF=CE又∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C且AB=DC∴△ABF≌△DCE∴AF=DE68\n（2）△OAD是等腰三角形证明：由△ABF≌△DCE知∠AFB=∠DEC∴OE=OF且AF=DE∴OA=OD∴△OAD是等腰三角形69.（2022重庆南开中学一模，24，10）如图，在梯形中，，，，在上截取，使，过点作于，交于点，连接，交于点，交于点。（1）求证：（2）已知，，求的长。【答案】70.（2022·××省××市X模，题号，分值）【答案】71.（2022·××省××市X模，题号，分值）【答案】72.（2022·××省××市X模，题号，分值）【答案】73.（2022·××省××市X模，题号，分值）【答案】68