广东省深圳市2022年中考数学二模试卷（解析版） 新人教版

广东省深圳市2022年中考数学二模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，没小题给出4个选项其中只有一个是正确的）．1．（3分）（2022•深圳二模）4的算术平方根是（　　）　A．﹣2B．2C．±2D．16考点：算术平方根分析：根据算术平方根的定义进行解答即可．解答：解：∵22=4，∴4的算术平方根是2．故选B．点评：本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．　2．（3分）（2022•深圳二模）截止2022年10月份，深圳市总人口达1550多万，将1550万用科学记数法表示为（　　）　A．1550×104B．1.55×106C．1.55×107D．0.155×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将1550万用科学记数法表示为：1.55×107．故选：C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　3．（3分）（2022•深圳二模）下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（　　）　A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：找到从正面看所得到的图形比较即可．解答：解：A、主视图为长方形；B、主视图为长方形；C、主视图为两个相邻的三角形；D、主视图为长方形；故选C．19\n点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．　4．（3分）（2022•深圳二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．　5．（3分）（2022•深圳二模）在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　）　A．10B．15C．5D．3考点：概率公式分析：等量关系为：红球数：总球数=，把相关数值代入即可求解．解答：解：设红球有x个，根据题意得：，解得：x=5．故选C．点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　6．（3分）（2022•深圳二模）函数y=的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（　　）　A．B．C．D．考点：一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征专题：待定系数法．19\n分析：先根据函数y=的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数y=kx﹣2的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答．解答：解：∵图象经过（1，﹣1），∴k=xy=﹣1，∴函数解析式为y=﹣x﹣2，所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）．故选A．点评：主要考查一次函数y=kx+b的图象．当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．　7．（3分）（2022•深圳二模）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形共有★的个数是（　　）　A．6040B．6034C．4022D．4023考点：规律型：图形的变化类专题：规律型．分析：观察图形可到这样一个规律，第二个图形比第一个图形多3个，第三个图形比第二个图形多3个…第一个图形是4个，则第二个是7，第三个是10，…不难发现得到一个首项是4，公差是3的等差数列．解答：解：通过观察，第一个图形有4个第二个图形有7个第三个图形有10个…依次是4，7，10…得到一个首项是4，公差是3的等差数列．所以第2022个图形有4+（2022﹣1）×3=6040（个）．故选A．点评：此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律，此题是得到一个首项是4，公差是3的等差数列．　8．（3分）（2022•深圳二模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（　　）19\n　A．m≤3B．m＜3C．m＞3D．m=3考点：解一元一次不等式组分析：先求出第一个不等式的解集，再根据同大取大确定m的取值范围．解答：解：由x+8＜4x﹣1得，x﹣4x＜﹣1﹣8，﹣x＜﹣9，x＞3，∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选A．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．　9．（3分）（2022•深圳二模）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD=3，BC=9，则GO：BG=（　　）　A．1：2B．1：3C．2：3D．11：20考点：梯形分析：根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到DO：BO的值，再利用G是BD的中点即可求出题目的结果．解答：解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴DO：BO=AD：BC=3：9，∴DO=BD，BO=BD，∵G是BD的中点，∴BG=GD=BD，∴GO=DG﹣OD=BD﹣BD=BD，∴GO：BG=1：2．故选A．点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．　19\n10．（3分）（2022•深圳二模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（　　）　A．B．C．D．考点：相切两圆的性质；锐角三角函数的定义专题：压轴题．分析：两圆相外切，则圆心距等于两圆半径的和．利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．解答：解：设正方形的边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（y+x）2=y2+（y﹣x）2，化简得，y=4x，∴sin∠EAB==．故选D．点评：本题综合性较强，要把有关圆的知识联系起来使用．　11．（3分）（2022•深圳二模）如图，为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣＜x＜3；⑥a+b+c＞0其中“正确”的有（　　）　A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数的关系专题：数形结合．分析：根据抛物线开口方向得a＞0，根据抛物线对称轴在y轴右侧得b＜0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点坐标对②进行判断；观察函数图象当x=2和x=1时，函数值都小于0，则4a+2b+c＜0，a+b+c＜0，于是可对③和⑥进行判断；根据抛物线与x轴的交点坐标可得到对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质可对④进行判断；观察函数图象当x＜﹣1或x＞3时，函数图象都在x轴上方，则可对⑤进行判断．19\n解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线对称轴方程x=﹣＞0，∴b＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，所以③正确；∵点（﹣1，0）和点（3，0）关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，所以④正确；当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，所以⑤错误；当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以⑥错误．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，在对称轴右侧，y随x值的增大而增大；⑤；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．　12．（3分）（2022•深圳二模）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）　A．2B．4C．2D．4考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质专题：压轴题；探究型．分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解答：解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，19\n∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2．故选C．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．　二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2022•深圳二模）分解因式：2m2n﹣8n3=　2n（m+2n）（m﹣2n）　．考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：首先提取公因式2n，再用平方差公式进行二次分解．解答：解：2m2n﹣8n3=2n（m2﹣4n2）=2n（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：2n（m+2n）（m﹣2n）．点评：此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，关键是首先提取公因式，然后再考虑公式法，注意分解要彻底．　14．（3分）（2022•深圳二模）某校九年级二班50名学生的年龄情况如表所示：年龄14岁15岁16岁17岁人数720167．则该班学生年龄的中位数为　15　岁．考点：中位数分析：计算出总人数为50人，则最中间两个数的平均数即为数据的中位数．解答：解：由题意知，总人数=7+20+16+7=50人，则中位数应为第25、26人的年龄的平均数，而14岁的有7人，15岁的有20人，故中位数为15．故填15．点评：19\n本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．　15．（3分）（2022•深圳二模）如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠A=30°，∠ACB＞90°，BC=2，过点B作⊙O的切线BP于点D，则由弧BC、线段BD和CD所围成的图形（图中阴影部分）的面积为　2﹣π　．考点：切线的性质；扇形面积的计算分析：首先连接OB，由切线的性质，易得△OBD是直角三角形，由圆周角定理可得∠BOC=60°，继而可得△OBC是等边三角形，则可求得⊙O的半径，则由S阴影=SRt△OBD﹣S扇形OBC，可求得答案．解答：解：连接OB，∵BP是⊙O的切线，∴OB⊥BD，即∠OBD=90°，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，∴BD=OB•tan60°=2，∴S阴影=SRt△OBD﹣S扇形OBC=×2×2﹣×π×22=2﹣π．故答案为：2﹣π．点评：19\n此题考查了切线的性质、扇形的面积公式、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．　16．（3分）（2022•深圳二模）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为　（+1，﹣1）．　．考点：反比例函数综合题1专题：综合题；压轴题．分析：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．解答：解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，设P1（a，），则CP1=a，OC=，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1=P1C=A1D=a，∴OA1=B1C=P2D=﹣a，∴OD=a+﹣a=，∴P2的坐标为（，﹣a），把P2的坐标代入y=（x＞0），得到（﹣a）•=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，∴P2（2，1），19\n设P3的坐标为（b，），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，∴P3E=P3F=DE=，∴OE=OD+DE=2+，∴2+=b，解得b=1﹣（舍），b=1+，∴==﹣1，∴点P3的坐标为（+1，﹣1）．故答案为：（+1，﹣1）．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．　三、解答题：（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）（2022•深圳二模）计算：﹣12022+（π﹣3.14）0×（﹣）﹣3﹣|﹣3tan60°|+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、立方根、乘方等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=﹣1+1×﹣3×+3=﹣1﹣8﹣3+3=﹣6﹣3．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、立方根、乘方等考点的运算．　19\n18．（6分）（2022•深圳二模）化简分式（﹣）÷（﹣1），然后选一个你喜欢的实数代入求值．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a=1代入计算即可求出值．解答：解：原式=[﹣]÷=•=•=，当a=1时，原式=1．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．　19．（7分）（2022•深圳二模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）若EF=6，求梯形ABCD的面积．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形专题：计算题；压轴题．分析：19\n（1）由三角形ADF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AF=AD，∠FAD=60°，再由∠FAD+∠EAD求出∠EEAF的度数，由∠DAB﹣∠EAD求出∠BAE的度数，得到∠FAE=∠BAE，再由AB=AD，等量代换得到AF=AB，再由AE为公共边，利用SAS可得出三角形AEF与三角形AEB全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=EB，得证；（2）由FD=FA，DE=AE，以及公共边FE，利用SSS可得出三角形DEF与三角形AEF全等，由全等三角形的性质及等边三角形的性质得到∠DFE=∠AFE=30°，求出∠DEF为75°，在由∠FAE+∠EAD求出∠FAE为75°，可得出∠FAE=∠FEA，利用等角对等边得到FE=AF，可得出等边三角形AFD三边长为6，过C作CM垂直于AB，可得出CM=6，由∠ABC为60°，在直角三角形BCM中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出BM的长，由AB﹣BM求出AM的长，即为DC的长，利用利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°，∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB﹣∠EAD=75°，∴∠FAE=∠BAE，又AD=AB，∴AB=AF，在△FAE和△BAE中，∵，∴△FAE≌△BAE（SAS），∴EF=EB；（2）在△FAE和△FDE中，∵，∴△FAE≌△FDE（SSS），∴∠DFE=∠AFE=×60°=30°，∠DEF=∠AEF=×150°=75°，又∵∠FAE=60°+15°=75°，∴∠AEF=∠FAE，又EF=6，∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，过C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，∵tan∠ABC=，∠ABC=60°，∴BM===2，∴CD=AM=AB﹣BM=6﹣，∴S梯形ABCD=×[（6﹣2）+6]×6=36﹣6．19\n点评：此题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，以及梯形的面积公式，是一道综合性较强的试题．　20．（8分）（2022•深圳二模）重庆国际车展依托中国西部汽车工业的个性与特色，围绕“发现汽车时尚之美“的展会主题，已成功举办了十三届．在第十三届汽车展期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？请你将两幅统计图补充完整；（2）A型车的颜色有红、白、黑、蓝四种，红色的特别畅销，当只剩两辆红色时，有四名顾客都想要红色的，经理决定用抽签的方式决定红色车的归属，请用列表法或画树状图的方法，求顾客甲、乙都抽到红色的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法分析：（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆乘以所占的百分比即可求出D型号轿车数；用总车辆数乘以C型号轿车所占的百分比以及C型号轿车销售的成交率，即可求出C型号轿车的售出量，从而补全统计图；（2）先根据要求画树状图，再根据概率公式即可求出甲乙都抽到红色的概率．解答：解：（1）∵D型号轿车的百分比为1﹣35%﹣20%﹣20%=25%，∴D型号轿车有1000×25%=250（辆），C型号轿车的售出辆数为1000×20%×50%=100（辆）．如图：19\n（2）画图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙都抽得红色结果有2种，∴甲乙都抽得红色的概率p==．点评：本题考查的是条形统计图、扇形统计图和列表法求概率，解题的关键是要读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．条形统计图能清楚地表示出各种型号车的车辆数；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　21．（8分）（2022•深圳二模）国务院总理温家宝2022年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）大货车720800小货车500650（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用专题：压轴题．分析：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共18辆，运输228吨物资，列方程组求解；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8﹣a）辆，前往甲地的小货车为（9﹣a）辆，前往乙地的小货车为[10﹣（9﹣a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；19\n（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．解答：解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得…（2分）解得答：大货车用8辆，小货车用10辆．…（1分）解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得16x+10（18﹣x）=228…（2分）解得x=8∴18﹣x=18﹣8=10（辆）答：大货车用8辆，小货车用10辆；…（1分）（2）w=720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]…（2分）=70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）…（1分）（3）16a+10（9﹣a）≥120，解得a≥5，…（1分）又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数，…（1分）∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元）…（1分）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．…（1分）点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往甲地的大货车数a的关系．　22．（9分）（2022•深圳二模）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；圆周角定理19\n专题：综合题；压轴题；数形结合．分析：（1）由圆周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD⇒⇒AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=．代入数值可求得PE的值，从而PC=PE+EC，由（1）知CD=PC，即可求出；（3）由题意知，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．有S△PCD=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，故可求解．解答：（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD=90°．而∠CAB=∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴．∴AC•CD=PC•BC；（3分）（2）解：当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，∴BC=4．∵P是的中点，∴∠PCB=45°，∴CE=BE=BC=2．又∠CAB=∠CPB，∴tan∠CPB=tan∠CAB=．∴PE===．从而PC=PE+EC=，由（1）得CD=PC=（7分）（3）解：当点P在AB上运动时，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．∴S△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；19\n而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S=×52=．（10分）点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内的圆周角，直径与圆周角的关系，以及正切的概念．　23．（9分）（2022•深圳二模）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题专题：综合题；压轴题．分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平分，可以求出点D的坐标；（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得19\n，解得．故抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）①当AO为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）；②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D3（﹣1，﹣1）故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），D3（﹣1，﹣1）；（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．19\n点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．19