广东省珠海市文园中学2022年中考数学一模试卷（解析版） 新人教版

2022年广东省珠海市文园中学中考数学一模试卷　一、选择题（本小题5分，每小题3分，共15分）1．（3分）（2022•仙桃）﹣的倒数是（　　）　A．﹣B．﹣3C．D．3考点：倒数．专题：计算题．分析：根据倒数的定义可得到﹣的倒数为﹣3．解答：解：﹣的倒数为﹣3．故选B．点评：本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．　2．（3分）（2022•龙岩）下列运算正确的是（　　）　A．2a+2a=2a2B．（a3）3=a9C．a2•a4=a8D．a6÷a3=a2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、2a+2a=4a，故本选项错误；B、（a3）3=a9，故本选项正确；C、a2•a4=a6，故本选项错误；D、a6÷a3=a3，故本选项错误．故选B．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．　3．（3分）（2022•红桥区一模）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）17\n　A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．专题：作图题；压轴题．分析：如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．解答：解：如图，俯视图为三角形，故可排除A、B．主视图以及侧视图都是矩形，可排除D，故选C．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．　4．（3分）（2022•河池）五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（　　）　A．19和20B．20和19C．20和20D．20和21考点：中位数；算术平均数．专题：应用题；压轴题．分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．解答：解：根据平均数定义可知：平均数=（18+20+21+22+19）=20；根据中位数的概念可知，排序后第3个数为中位数，即20．故选C．点评：本题考查平均数和中位数的定义．平均数只要求出数据之和再除以总个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．　5．（3分）（2022•威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）　A．AD=BCB．CD=BFC．∠A=∠CD．∠F=∠CDE考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB．17\n解答：解：∵∠F=∠CDE∴CD∥AF在△DEC与△FEB中，∠DCE=∠EBF，CE=BE（点E为BC的中点），∠CED=∠BEF∴△DEC≌△FEB∴DC=BF，∠C=∠EBF∴AB∥DC∵AB=BF∴DC=AB∴四边形ABCD为平行四边形故选D．点评：本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．　二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）6．（4分）（2022•潮阳区模拟）因式分解：3x3﹣6x2y+3xy2=　3x（x﹣y）2　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：先提公因式3x，再利用完全平方公式分解因式．解答：解：3x3﹣6x2y+3xy2，=3x（x2﹣2xy+y2），=3x（x﹣y）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　7．（4分）（2022•眉山）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=　2　．考点：平行四边形的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，∠1=∠F，然后求出∠1=∠3，∠4=∠F，再根据等角对等边的性质可得AD=DE，CE=CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．解答：解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1=∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2=∠3，∠1=∠F，又∵∠3=∠4（对顶角相等），∴∠1=∠3，∠4=∠F，∴AD=DE，CE=CF，∵AB=5，AD=3，17\n∴CE=DC﹣DE=AB﹣AD=5﹣3=2，∴CF=2．故答案为：2．点评：本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．　8．（4分）方程2x（x﹣2）=3（x﹣2）的解是　x1=2，x2=　．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．解答：解：原方程变形得，2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴x1=2，x2=．点评：根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．　9．（4分）（2022•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是　　m．（结果不取近似值）考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题；转化思想．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．17\n∴在圆锥侧面展开图中BP=m．故小猫经过的最短距离是m．故答案是：3．点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．　10．（4分）（2022•连云港）当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是　①④　．（只填写序号）①y=2x；②y=2﹣x；③；④y=x2+6x+8．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．专题：压轴题．分析：根据每一个函数的性质及﹣2＜x＜2，结合图象判断函数值y随自变量x增大而增大的函数．解答：解：①y=2x，正比例函数，∵2＞0，函数值y随自变量x增大而增大，正确；②y=2﹣x，一次函数，∵﹣1＜0，函数值y随自变量x增大而减小，错误；③，反比例函数，当﹣2＜x＜2时，增减性无法确定，错误；④y=x2+6x+8，二次函数，对称轴为x=﹣3，开口向上，当﹣2＜x＜2时，函数值y随自变量x增大而增大，正确．故填①④．点评：主要考查了函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．正比例函数中当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的怎大而减小．　三、解答题（本大题13小题，11-15题每小题6分，16-19题每小题6分，20-22题每小题6分，共85分）11．（6分）（2022•深圳）计算：（）0+（）﹣1﹣﹣|﹣1|．考点：二次根式的性质与化简；绝对值；零指数幂；负整数指数幂．分析：按照实数的运算法则依次计算：（）0=1，（）﹣1=3，﹣=，﹣|﹣1|=﹣1．将其代入原式易得答案．解答：解：原式=1+3﹣﹣1=3﹣．点评：本题考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．　17\n12．（6分）（2022•黔南州）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题；压轴题．分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．解答：解：解不等式①得，x≤3解不等式②得，x＞﹣2所以原不等式组得解集为﹣2＜x≤3．用数轴表示解集如图所示：．点评：此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．　13．（6分）（2022•泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式．再求出C的坐标是（﹣4，1），利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式；（2）根据一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C即可求出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．解答：解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1∴B（﹣2，0），OA=1，∴A（0，﹣1）17\n∴∴∴y=﹣x﹣1又∵OD=4，CD⊥x轴，∴C（﹣4，y），将x=﹣4代入y=﹣x﹣1得y=1，∴C（﹣4，1）∴1=，∴m=﹣4，∴y=﹣，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集是x＜﹣4．点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函数的交点求出不等式的解集．　14．（6分）（2022•太原）如图，A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．（1）在图中作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形OABC是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定．专题：作图题．分析：（1）角平分线的作法：用圆规以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线．（2）本题可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明OABC是个平行四边形，然后证明OA=AB即可．解答：解：（1）如图，射线OB为所求作的图形．（2）证明：∵OB平分∠MON，∴∠AOB=∠BOC．17\n∵AE∥ON，∴∠ABO=∠BOC．∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．∵AD⊥OB，∴BD=OD．在△ADB和△CDO中∵∴△ADB≌△CDO，AB=OC．∵AB∥OC，∴四边形OABC是平行四边形．∵AO=AB，∴四边形OABC是菱形．点评：本题考查尺规作图、全等三角形的判定，性质及特殊四边形的判定问题，解决本题的关键是熟悉基本作图，熟悉特殊平行四边形的判定方法．　15．（6分）（2022•临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．考点：分式方程的应用．分析：设手工每小时加工产品x件，根据机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，可以得到机器每小时加工产品（2x+9）件，然后根据加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍即可列方程求解．解答：解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件，根据题意可得：×=，解方程得x=27，经检验，x=27是原方程的解，答：手工每小时加工产品27件．点评：本题考查了列分式方程解应用题，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．　16．（7分）（2022•西宁）已知一只口袋中放有x只白球和y只红球，这两种球除颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从袋中取一只球，取出白球的概率是．17\n（1）试写出y与x的函数关系式；（2）当x=3时，第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法，求两次摸到都是白球的概率．考点：列表法与树状图法．专题：压轴题．分析：（1）可看成白球占总数的是，把相应字母代入求解即可；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．解答：解：（1）由题可知：，即3x+3y=4x，所以y与x的函数关系式为y=；（2）由（1）可知，当x=3时，y=1．袋中有3只白球和1只红球．由上面列表可知：共有12种等可能的结果，其中两次都是白球的占6种，所以两次摸到都是白球的概率是．白球1白球2白球3红球白球1﹣﹣﹣﹣﹣（白1，白2）（白1，白3）（白1，红）白球2（白2，白1）﹣﹣﹣﹣﹣（白2，白3）（白2，红）白球3（白3，白1）（白3，白2）﹣﹣﹣﹣﹣（白3，红）红球（红，白1）（红，白2）（红，白3）﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　17．（7分）（2022•西藏）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）先根据垂径定理得出BE=CE，=，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；（2）先根据勾股定理得出OE的长，再连接OB，求出∠BOC的度数，再根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC计算即可．解答：解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE=CE，=，17\n又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，∴∠AOC=60°；（2）∵BC=6，∴CE=BC=3，在Rt△OCE中，OC==2，∴OE===，∵=，∴∠BOC=2∠AOC=120°，∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=×π×（2）2﹣×6×=4π﹣3（cm2）．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到圆周角定理及扇形面积的计算，勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．　18．（7分）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出AD，则可解出x的值，继而得出答案．17\n解答：解：过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，BD=x，则AD=BD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CD=120﹣x，则AD=CDcot∠CAD=（120﹣x）×，则（120﹣x）×=x，解得：x≈43.9，即热气球与高楼的水平距离为距离为43.9米．答：热气球与高楼的水平距离为距离约为43.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意掌握仰角、俯角的定义，难度一般．　19．（7分）（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB17\n，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）17\n点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰梯形性质等知识，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．　20．（9分）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是　2　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=　218　，an=　2n　；（2）如果欲求1+3+32+33+…+320的值，可令S=1+3+32+33+…+320①将①式两边同乘以3，得　3s=3+32+33+34+…+321　②由②减去①式，得S=　（321﹣1）　．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an=　an=a1qn﹣1　（用含a1，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么a1+a2+a3+…+an=　　（用含a1，q，n的代数式表示）．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a18，an的值；（2）根据题中的提示，可得S的值；（3）由（2）的方法，依次可以推出a1+a2+a3+…+an的值，注意分两种情况讨论．解答：解：（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，∴a18=218，an=2n；（2）令s=1+3+32+33+…+3203S=3+32+33+34+…+3213S﹣S=321﹣1S=；（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，∴an=a1qn﹣1，∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1①∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②②﹣①得：Sn=．17\n故答案为：2、218、2n；3+32+33+34+…+321、；a1qn﹣1、．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．本题的规律为：这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2．要注意：第（3）题要注意分两种情况讨论．　21．（9分）（2022•苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？考点：切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长；（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．解答：解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC•AB，∵PC=，AB=4，17\n∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．　22．（9分）将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）当α=　30°　时，EF∥BC；（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．考点：相似形综合题．17\n专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠MDC=∠F，再根据旋转的性质可得旋转角α=∠MDC；（2）根据旋转的性质可得∠MDC=α=45°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°，然后求出∠DMC=90°，同理可求∠DNA=90°，然后求出四边形ANDM是矩形，再根据△DMC和△BAC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DM=1，同理求出DN=2，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；（3）过点D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，根据同角的余角相等求出∠NDH=∠MDG，然后求出△NDH和△MDG相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出NH=2MG，然后表示出MG，再表示出BN，最后根据四边形ANDM的面积y=S△ABC﹣S△CDM﹣S△BDN列式整理即可得解．解答：解：（1）∵EF∥BC，∴∠MDC=∠F，∴旋转角α=30°；（2）当α=45°时，∠MDC=α=45°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∴∠DMC=180°﹣∠MDC﹣∠C=180°﹣45°﹣45°=90°，同理可求∠DNA=90°，又∵∠A=90°，∴四边形ANDM为矩形；∴DM∥AB，∴△DMC∽△BAC，∴=，∵CD：BD=1：2，∴==，∵AB=3，∴DM=1，同理可求DN=2，∴S四边形ANDM=1×2=2；（3）如图3，过点D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，∵∠NDH+∠HDM=∠EDF=90°，∠MDG+∠HDM=∠HDG=90°，∴∠NDH=∠MDG，又∵∠NHD=∠MGD=90°，∴△NDH∽△MDG，∴=，由（2）可知DH=2，DG=1，∴NH=2MG，∵DG⊥AC，∠C=45°，∴△CDG是等腰直角三角形，∴CG=DG=1，∵CM=x，∴MG=x﹣1，∴NH=2（x﹣1），∴BN=AB﹣AH﹣NH=3﹣1﹣2（x﹣1）=4﹣2x，四边形ANDM的面积y=S△ABC﹣S△CDM﹣S△BDN17\n=×3×3﹣x•1﹣×2×（4﹣2x）=x+．点评：本题考查了相似形综合题型，主要利用了平行线的性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（3）难度较大，作辅助线，构造出相似三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．　17