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江苏省扬州市宝应县2022届九年级中考数学网上阅卷适应性调研(二模)试题(解析版)
江苏省扬州市宝应县2022届九年级中考数学网上阅卷适应性调研(二模)试题(解析版)
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2022年江苏省扬州市宝应县中考数学二模试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.每题所给的四个选项,只有一个符合题意,请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中)1.(3分)(2022•包头)9的算术平方根是( ) A.±3B.3C.﹣3D.考点:算术平方根.专题:计算题.分析:根据算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根.所以结果必须为正数,由此即可求出9的算术平方根.解答:解:∵32=9,∴9的算术平方根是3.故选B.点评:此题主要考查了算术平方根的定义,易错点正确区别算术平方根与平方根的定义. 2.(3分)(2022•江苏)如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是( ) A.a+b>0B.ab>0C.a﹣b>0D.|a|﹣|b|>0考点:实数与数轴.分析:本题要先观察a,b在数轴上的位置,得b<﹣1<0<a<1,然后对四个选项逐一分析.解答:解:A、∵b<﹣1<0<a<1,∴|b|>|a|,∴a+b<0,故选项A错误;B、∵b<﹣1<0<a<1,∴ab<0,故选项错误;C、∵b<﹣1<0<a<1,∴a﹣b>0,故选项正确;D、∵b<﹣1<0<a<1,∴|a|﹣|b|<0,故选项错误.故选C.点评:本题考查了实数与数轴的对应关系,数轴上右边的数总是大于左边的数. 3.(3分)(2022•无锡)使有意义的x的取值范围是( ) A.B.C.D.考点:二次根式有意义的条件.分析:根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,解不等式即可.解答:解:根据题意得:3x﹣1≥0,解得x≥.故选C.点评:本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 4.(3分)(2022•兰州)如图,正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )19\n A.2B.C.D.3考点:三角形的内切圆与内心;锐角三角函数的定义.专题:压轴题.分析:欲求三角形的边长,已知内切圆半径,可过内心向正三角形的一边作垂线,连接顶点与内切圆心,构造直角三角形求解.解答:解:过O点作OD⊥AB,则OD=1;∵O是△ABC的内心,∴∠OAD=30°;Rt△OAD中,∠OAD=30°,OD=1,∴AD=OD•cot30°=,∴AB=2AD=2.故选B.点评:解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线,则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形,解这个直角三角形,可求出相关的边长或角的度数. 5.(3分)(2022•宝应县二模)如图是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的全面积是( ) A.15πB.24πC.20πD.10π考点:圆锥的计算;由三视图判断几何体.专题:计算题.分析:根据三视图可得到该几何体为圆锥,并且圆锥的高为4,母线长为5,圆锥底面圆的直径为6,先计算出圆锥的底面圆的面积=9π,圆锥的底面圆的周长为6π,根据扇形的面积公式得到×5×π×6=15π,然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积.解答:解:根据三视图得到该几何体为圆锥,其中圆锥的高为4,母线长为5,圆锥底面圆的直径为6,所以圆锥的底面圆的面积=π×()2=9π,19\n圆锥的侧面积=×5×π×6=15π,所以圆锥的全面积=9π+15π=24π.故选B.点评:本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长.也考查了三视图. 6.(3分)(2022•河池)五箱苹果的质量分别为(单位:千克):18,20,21,22,19.则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为( ) A.19和20B.20和19C.20和20D.20和21考点:中位数;算术平均数.专题:应用题;压轴题.分析:要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.解答:解:根据平均数定义可知:平均数=(18+20+21+22+19)=20;根据中位数的概念可知,排序后第3个数为中位数,即20.故选C.点评:本题考查平均数和中位数的定义.平均数只要求出数据之和再除以总个数;一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关,因此求一组数据的中位数时,先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列,然后根据数据的个数确定中位数:当数据个数为奇数时,则中间的一个数即为这组数据的中位数;当数据个数为偶数时,则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数. 7.(3分)(2022•武汉)(人教版)如图,直线y=x与双曲线y=(k>0)的一个交点为A,且OA=2,则k的值为( ) A.1B.2C.D.2考点:反比例函数与一次函数的交点问题.专题:数形结合.分析:A在直线y=x上,且OA=2,可求得A点坐标为(,)把已知点的坐标代入解析式可得,k=2.解答:解:设A(x,y),则,19\n解得k=2.故选B.点评:此题主要考查一次函数、反比例函数的图象与性质,是数形结合题. 8.(3分)(2022•宝应县二模)在平面直角坐标系中,以点(3,﹣5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是( ) A.r>4B.0<r<6C.4≤r<6D.4<r<6考点:直线与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:根据题意可知,本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围,根据相离时半径小于圆心到直线的距离,相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围.解答:解:根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1,若以点(3,﹣5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,那么该圆与直线y=﹣1必须是相交的关系,与直线y=1必须是相离的关系,所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|<r<|﹣5|+1,即4<r<6.故选D.点评:解决本题要认真分析题意,理清其中的数量关系.看似求半径与x轴之间的关系,其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围. 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,计30分,请将答案写在答题纸上)9.(3分)(2022•宝应县二模)今年我县约有7278人参加中考,这个数据用科学记数法可表示为 7.278×103 .考点:科学记数法—表示较大的数.分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.解答:解:将7278用科学记数法表示为7.278×103.故答案为:7.278×103.点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 10.(3分)(2022•丹东)分解因式:x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .考点:提公因式法与公式法的综合运用.分析:先提取公因式x,再对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.解答:解:x3﹣2x2+x,=x(x2﹣2x+1),=x(x﹣1)2点评:本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键. 11.(3分)(2022•宁波)请你写出一个满足不等式2x﹣1<6的正整数x的值: 1,2,3,填一个即可 .19\n考点:一元一次不等式的整数解.专题:开放型.分析:首先确定不等式组的解集,然后再找出不等式的特殊解.解答:解:移项得:2x<6+1,系数化为1得:x≤3.5,满足不等式2x﹣1<6的正整数x的值为:1,2,3.点评:正确解不等式,求出解集是解答本题的关键,解不等式应根据不等式的基本性质.另外应掌握正整数的概念. 12.(3分)(2022•宝应县二模)已知两圆的半径分别为3cm和5cm,且两圆的圆心距为2cm,那么这两圆的位置关系是 内切 .考点:圆与圆的位置关系.分析:由两圆的半径分别为3cm和5cm,圆心距为2cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.解答:解:∵两圆的半径分别为3cm和5cm,圆心距为2cm,又∵5﹣3=2,∴两圆的位置关系是:内切.故答案为:内切.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键. 13.(3分)(2022•宝应县二模)下列事件中:①掷一枚硬币,正面朝上;②若a是实数,则|a|≥0;③两直线平行,同位角相等;④从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品.其中属于必然事件的有 ②③ (填序号).考点:随机事件.分析:必然事件就是一定发生的事件,依据定义即可判断.解答:解:①是随机事件;②是必然事件;③是必然事件;④是随机事件.故答案是:②③.点评:考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 14.(3分)(2022•宝应县二模)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,AB=2cm,CD=4cm.以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点,且∠AOD=90°,则圆心O到弦AD的距离是 cm.19\n考点:垂径定理;直角三角形全等的判定;等腰三角形的性质;等腰三角形的判定;勾股定理;矩形的判定;直角梯形.专题:压轴题.分析:本题的综合性质较强,根据全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形的性质可知.解答:解:如图,作AE⊥CD,垂足为E,OF⊥AD,垂足为F,则四边形AECB是矩形,CE=AB=2cm,DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm,∵∠AOD=90°,AO=OD,所以△AOD是等腰直角三角形,AO=OD,∠OAD=∠ADO=45°,BO=CD,∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°,∵∠ODC+∠DOC=90°,∴∠DOC=∠BAO,∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD,∴OC=AB=2cm,OB=CD=4cm,BC=BO+OC=AE=6cm,由勾股定理知,AD2=AE2+DE2,得AD=2cm,∴AO=OD=2cm,S△AOD=AO•DO=AD•OF,∴OF=cm.点评:本题利用了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形的性质求解. 15.(3分)(2022•宝应县二模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F、G、H是两腰上的点,AE=EF=FB,CG=GH=HD,且四边形EFGH的面积为6cm2,则梯形ABCD的面积为 18 cm2.考点:相似多边形的性质.分析:根据平行线分线段成比例定理可以得出EH=,FG=19\n,进而利用梯形的面积公式得出梯形ABCD的面积.解答:解:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F、G、H是两腰上的点,AE=EF=FB,CG=GH=HD,∴2EH=AD+FG,2FG=EH+BC,∴EH=,FG=,∵四边形EFGH的面积为6cm2,∴(EH+FG)h=6,∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为:(EH+AD)h+(BC+FG)h=12,则梯形ABCD的面积为:18.故答案为:18.点评:此题主要考查了相似多边形的性质,根据已知得出EH=,FG=,是解决问题的关键. 16.(3分)(2022•宝应县二模)如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,⊙O为△ABC的内切圆,点D是斜边AB的中点,则tan∠ODA= 2 .考点:三角形的内切圆与内心;勾股定理的逆定理;正方形的判定与性质;锐角三角函数的定义.专题:计算题.分析:根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°,连接OE、OF、OQ,证四边形CEOF是正方形,求出半径OE,求出QA,求出DQ、OQ的长度,即可求出答案.解答:解:∵AB2=100,AC2+BC2=100,∴AC2+BC2=AB2,∴∠C=90°,连接OE、OF、OQ,∵⊙O为△ABC的内切圆,∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF,BE=BQ,AQ=AF,CE=CF,∴四边形CEOF是正方形,∴CE=CF=OE=OF,∴BC﹣OE+AC﹣OE=AB,∴OE=OQ=(6+8﹣10)=2,∴AQ=AF=6﹣2=4,∵D为AB的中点,∴AD=AB=5,∴DQ=5﹣4=1,∴tan∠ODA===2.故答案为:2.19\n点评:本题主要考查对正方形的性质和判定,三角形的内切圆与内心,勾股定理的逆定理,锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握,能求出OQ、OD的长度是解此题的关键. 17.(3分)(2022•宝应县二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=45°,AB=6,点D在AB边上,点E在BC边上(不与点B、C重合).若DA=DE,则AD的取值范围是 6﹣6≤AD<3 .考点:等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:计算题;压轴题.分析:以D为圆心,AD的长为半径画圆,当圆与BC相切时,AD最小,与线段BC相交且交点为B或C时,AD最大,分别求出即可得到范围.解答:解:以D为圆心,AD的长为半径画圆①当圆与BC相切时,DE⊥BC时,∵∠ABC=45°,∴DE=BD,∵AB=6,∴设AD=DE=x,则DB=6﹣x,∴(6﹣x)=x∴x=AD=6﹣6;②当圆与BC相交时,若交点为B或C,则AD=AB=3,∴AD的取值范围是6﹣6≤AD<3.点评:本题考查了等腰三角形的判定与性质,利用边BC与圆的位置关系解答,分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键. 18.(3分)(2022•宝应县二模)如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为平行四边形,则它的面积为 2 .19\n考点:反比例函数系数k的几何意义.分析:由AB∥x轴可知,A、B两点纵坐标相等,设A(,m),B(,m),求出AB的长,再根据平行四边形的面积公式进行计算即可;解答:解:∵点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,∴设A(,m),则B(,m),∴AB==,∴S▱ABCD=•m=2,故答案为:2.点评:本题考查了反比例函数,关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等,设出点的坐标,再根据平行四边形的面积公式计算. 三、解答题(本大题共96分,请在答案纸指定区域内作答)19.(8分)(2022•宝应县二模)计算或解不等式组:(1)计算;(2)解不等式组.考点:实数的运算;解一元一次不等式组.分析:(1)本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.(2)根据不等式解集的“大小小大中间找”确定解集即可.解答:解:(1)原式=1﹣+2﹣4=﹣2;(4分)(2)解8﹣x>3x得,x<2,解得,x≥﹣2,不等式组的解集为﹣2≤x<2.点评:本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算.注意不等式组的解法. 20.(8分)(2022•宝应县二模)先化简,再求值:,其中a=﹣3.考点:分式的化简求值.专题:计算题.分析:先分解因式算乘法再计算加法,最后代值计算.19\n解答:解:原式=(3分)=((6分))将a=﹣3代入计算,得原式=(8分)点评:注意做这类题时一定要先化简再代值,化简时运算顺序是关键. 21.(8分)(2022•常州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.考点:矩形的判定;平行四边形的性质.专题:证明题.分析:已知四边形ABDE是平行四边形,只需证得它的一个内角是直角即可;在等腰△ABC中,AD是底边的中线,根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角,由此得证.解答:证明:∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BC,AB=DE,AE=BD.∵D为BC中点,∴CD=BD.∴CD∥AE,CD=AE.∴四边形ADCE是平行四边形.∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形.点评:此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法. 22.(8分)(2022•宁德)某校九年级(1)班所有学生参加2022年初中毕业生升学体育测试,根据测试评分标准,将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等,并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成),请结合图中所给信息解答下列问题:(1)九年级(1)班参加体育测试的学生有 50 人;19\n(2)将条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,等级B部分所占的百分比是 40% ,等级C对应的圆心角的度数为 72° ;(4)若该校九年级学生共有850人参加体育测试,估计达到A级和B级的学生共有 595 人.考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.专题:图表型.分析:(1)由A等的人数和比例,根据总数=某等人数÷所占的比例计算;(2)根据“总数=某等人数÷所占的比例”计算出D等的人数,总数﹣其它等的人数=C等的人数;(3)由总数=某等人数÷所占的比例计算出B等的比例,由总比例为1计算出C等的比例,对应的圆心角=360°×比例;(4)用样本估计总体.解答:(1)总人数=A等人数÷A等的比例=15÷30%=50人;(2)D等的人数=总人数×D等比例=50×10%=5人,C等人数=50﹣20﹣15﹣5=10人,如图:(3)B等的比例=20÷50=40%,C等的比例=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%,C等的圆心角=360°×20%=72°;(4)估计达到A级和B级的学生数=(A等人数+B等人数)÷50×850=(15+20)÷50×850=595人.点评:本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 23.(10分)(2022•宝应县二模)有A、B两个口袋,A口袋中装有两个分别标有数字2,3的小球;B口袋中装有三个分别标有数字﹣1,4,﹣5的小球.小明先从A口袋中随机取出一个小球,用m表示所取球上的数字,再从B口袋中随机取出两个小球,用n表示所取球上的数字之和.(1)用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果;(2)求的值是整数的概率.考点:列表法与树状图法.分析:此题实际需要三步完成,所以采用树状图法比较简单.要注意不重不漏的表示出所有可能情况.列举出符合题意的各种情况的个数,再根据概率公式解答即可.解答:解:(1)用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下:19\n∴共有12种等可能的情况;(2)由树状图可知,所有可能的值分别为:,共有12种情况,且每种情况出现的可能性相同,其中的值是整数的情况有6种.所以的值是整数的概率P=(10分).点评:此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 24.(10分)(2022•宝应县二模)随着天气逐渐转暖,文峰商场准备对某品牌的羽绒衫降价促销,原价1000元的羽绒服经过两次降价后现销售价为810元,若两次降价的百分率均相同.(1)问每次降价的百分率是多少?(2)第一次降价金额比第二次降价金额多多少元?考点:一元二次方程的应用.专题:增长率问题.分析:(1)设每次降价的百分率是x,则第一次降价后的价格为1000(1﹣x)元,第二次降价后的价格为1000(1﹣x)2,根据两次降价后的价格是810元建立方程,求出其解即可;(2)分别求出第一次降价金额与第二次降价金额,再将它们相减即可.解答:解:(1)设每次降价的百分率为x,由题意,得1000(1﹣x)2=810,解得x1=0.1=10%,x2=1.9=190%.答:每次降价的百分率为10%;(2)第一次降价金额1000×10%=100元,第二次降价金额900×10%=90元,100﹣90=10元.答:第一次降价金额比第二次降价金额多10元.点评:本题考查了运用降低率问题解决实际问题的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,解答本题的关键是找到等量关系建立方程. 19\n25.(10分)(2022•宝应县二模)如图,泰州园博园中有一条人工河,河的两岸PQ、MN互相平行,河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…,某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°,然后沿河岸走了175米到达B处,测得∠CBN=45°,求这条河的宽度.(参考数据:,)考点:解直角三角形的应用-方向角问题.分析:过点A,C作出21°,45°所在的直角三角形,设出河宽,利用相应的三角函数表示出SE,BT的长,利用等量关系SC=AT,把相关数值代入即可求得河宽.解答:解:作AS⊥PQ,CT⊥MN,垂足分别为S,T.由题意知,四边形ATCS为矩形,∴AS=CT,SC=AT.设这条河的宽度为x米.在Rt△ADS中,因为,∴.(3分)在Rt△BCT中,∵∠CBT=45°,∴BT=CT=x.(5分)∵SD+DC=AB+BT,∴,(8分)解得x=75,即这条河的宽度为75米.(10分)(其它方法相应给分)点评:当题中给出一定的度数时,要充分利用这些度数构造相应的直角三角形,利用锐角三角函数知识求解. 26.(10分)(2022•宝应县二模)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,O为AB上一点,OA=,以O为圆心,OA为半径作圆.(1)试判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O与AC交于点另一点D,求CD的长.19\n考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质.专题:计算题.分析:(1)过点O作OE⊥BC,先根据勾股定理计算出AB=10,则OB=AB﹣OA=10﹣=,根据相似三角形的判定方法易得△BOE∽△BAC,则OE:AC=OB:AB,即OE:6=:10,可计算得OE=,由于圆的半径OA=,根据切线的判定方法得到⊙O与BC相切;(2)作OF⊥AC于F点,根据垂径定理得AF=DF,根据相似三角形的判定方法易得△AOF∽△ABC,则AF:AC=AO:AB,即AF:6=:10,可计算得AF=,则AD=2AF=,然后理由CD=AC﹣AD进行计算即可.解答:解:(1)⊙O与BC相切.理由如下:过点O作OE⊥BC,如图,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10,∴OB=AB﹣OA=10﹣=,∵∠ACB=90°,∴OE∥AC,∴△BOE∽△BAC,∴OE:AC=OB:AB,即OE:6=:10,∴OE=,∴OE=OA,而OE⊥BC∴⊙O与BC相切;(2)作OF⊥AC于F点,则AF=DF,如图,∵∠C=90°,∴OF∥BC,∴△AOF∽△ABC,∴AF:AC=AO:AB,即AF:6=:10,∴AF=,19\n∴AD=2AF=,∴CD=AC﹣AD=6﹣=.点评:本题考查了圆的切线的判定:如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线为圆的切线.也考查了勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质. 27.(12分)(2022•宝应县二模)某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地,快递车比货车多往返一趟.图表示快递车距离A地的路程y(单位:千米)与所用时间x(单位:时)的函数图象.已知货车比快递车早1小时出发,到达B地后用2小时装卸货物,然后按原路、原速返回,结果比快递车最后一次返回A地晚1小时.(1)请在图中画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象;(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案);(3)求两车最后一次相遇时,距离A地的路程和货车从A地出发了几小时?考点:一次函数的应用;分段函数.专题:压轴题.分析:(1)货车从出发到返回共10小时,所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变;(2)分别求出函数解析式解方程组即可.解答:解:(1)根据题意,图象经过(﹣1,0)、(3,200)和(5,200)、(9,0).如图:(2)4次;(3)如图,设直线EF的解析式为y=k1x+b1∵图象过(9,0),(5,200),∴,19\n∴,∴y=﹣50x+450①,设直线CD的解析式为y=k2x+b2∵图象过(8,0),(6,200),∴,∴,∴y=﹣100x+800②,解由①②组成的方程组得:,∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km,货车应从A地出发8小时.点评:本题主要考查二元一次方程组与一次函数的联系. 28.(12分)(2022•武汉)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.考点:二次函数综合题.专题:压轴题.分析:(1)分析抛物线过两点,由待定系数求出抛物线解析式;(2)根据D、E中点坐标在直线BC上,求出D点关于直线BC对称点的坐标;19\n(3)有两种方法:法一作辅助线PF⊥AB于F,DE⊥BC于E,根据几何关系,先求出tan∠PBF,再设出P点坐标,根据几何关系解出P点坐标;法二过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH⊥x轴于H.过Q点作QG⊥DH于G,由角的关系,得到△QDG≌△DBH,再求出直线BP的解析式,解出方程组从而解出P点坐标.解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=﹣m2+3m+4,即m2﹣2m﹣3=0∴m=﹣1或m=3∵点D在第一象限∴点D的坐标为(3,4)由(1)知OC=OB∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C(0,4)∴CD∥AB,且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上,且CE=CD=3∴OE=1∴E(0,1)即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1);(3)方法一:作PF⊥AB于F,DE⊥BC于E,由(1)有:OB=OC=4∴∠OBC=45°∵∠DBP=45°∴∠CBD=∠PBA∵C(0,4),D(3,4)∴CD∥OB且CD=3∴∠DCE=∠CBO=45°∴DE=CE=∵OB=OC=4∴BC=4∴BE=BC﹣CE=∴tan∠PBF=tan∠CBD=设PF=3t,则BF=5t,OF=5t﹣4∴P(﹣5t+4,3t)19\n∵P点在抛物线上∴3t=﹣(﹣5t+4)2+3(﹣5t+4)+4∴t=0(舍去)或t=∴P(,);方法二:过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH⊥x轴于H,过Q点作QG⊥DH于G,∵∠PBD=45°∴QD=DB∴∠QDG+∠BDH=90°又∵∠DQG+∠QDG=90°∴∠DQG=∠BDH∴△QDG≌△DBH∴QG=DH=4,DG=BH=1由(2)知D(3,4)∴Q(﹣1,3)∵B(4,0)∴直线BQ的解析式为y=﹣x+解方程组得∴点P的坐标为(,).19\n点评:此题考查传统的待定系数求函数解析式,第二问考查点的对称问题,作合适的辅助线,根据垂直和三角形全等来求P点坐标.19
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