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河南省2022年中考数学总复习核心母题一全等在几何探究题中的应用深度练习
河南省2022年中考数学总复习核心母题一全等在几何探究题中的应用深度练习
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全等在几何探究题中的应用深度练习1.(2022·襄阳)如图①,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:的值为________;(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图②所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图③所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC=______.2.(2022·益阳)如图①,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图②).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图③),求sin∠EBG的值.5\n参考答案1.(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°.∵GE⊥BC,GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°.5\n∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°.∴EG=EC.∴四边形CEGF是正方形.②=.(2)解:如解图①,连接CG,由旋转性质可知∠BCE=∠ACG=α.在Rt△CEG和Rt△CBA中,=cos45°=,=cos45°=.∴==.∴△ACG∽△BCE.∴==.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE.(3)解:如解图②,连接DF,由(2)知△BCE∽△ACG,∴∠BEC=∠AGC.∵四边形CEGF是正方形,∴∠CEF=∠CFE=∠CGF=45°,CG⊥EF.∵∠BEC=180°-∠CEF=135°,∴∠AGC=135°.∴∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°.∴A,G,F三点在一条直线上.又∠BCD=∠ECF=90°,∴∠BCE=∠DCF.而BC=DC,EC=FC,第1题解图②∴△BEC≌△DFC(SAS).∴BE=DF,∠BEC=∠DFC.∵=,AG=6,∴BE=DF=3.∵∠BEC=135°,∠CFE=45°,∴∠BFD=∠DFC-∠CFE=135°-45°=90°.又CH⊥BF,∴CH∥DF.∴△AGH∽△AFD.∴==.5\n∴==.∴GF=3,=.设AH=2x,则AD=3x,DH=x.又由正方形ABCD和正方形CEGF,知AD=CD=3x,GC=GF=3,∴在Rt△CDH中,由DH2+CD2=CH2,得x2+(3x)2=(2+3)2,解得x1=,x2=-(不合题意,舍去).∴AD=3,即BC=3.故答案为3.2.解:(1)∵矩形ABCD,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵AE=DE,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE;(2)①∵∠AEB+∠ABE=90°,∠AEB+∠CED=90°,第2题解图∴∠ABE=∠CED,∵∠CED=∠ECB,∴∠ABE=∠ECB,∵∠BEC=∠MEN=90°,∴∠BEM=∠CEN,由(1)得BE=CE,∴△BEM≌△CEN;②由(1)得△ABE≌△DCE,∴∠BEA=∠CED,∵∠ABE=∠CED,∴∠BEA=∠ABE,∴AB=AE=DE=2,设BM=x,由①得△BEM≌△CEN,∴BM=CN=x,∴BN=4-x,∴△BMN面积=x(4-x)=-(x-2)2+2,又0≤x≤2,∴当x=2时,△BMN面积最大,最大值为2.③如解图,过点E作EH⊥FG于点H.在Rt△ABF中,∠F=30°,AB=2,∴FA=2,∴FE=FA+AE=2+2,∴EH=+1,5\n在Rt△BEH中,∵BE=2,∴sin∠EBG===.5
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:14:40
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文章作者:U-336598
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