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福建省建瓯二中2022届中考数学复习 三角函数 新人教版
福建省建瓯二中2022届中考数学复习 三角函数 新人教版
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福建省建瓯二中2022届九年级数学复习:三角函数新人教版1、九(一)班课题学习小组,为了了解大树生长状况,去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°,树高5m;今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°,问这棵树一年生长了多少m?2、某市正在进行商业街改造,商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处,现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处,A与B相距150m,且B在A的正东方向.为不破坏古民居的风貌,按照有关规定,在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街.若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处,则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定?如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.(1)求证:△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长.7\n【答案】(1)证明:∵△BDC′由△BDC翻折而成,∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,∴∠ABG=∠ADE。在△ABG≌△C′DG中,∵∠BAG=∠C,AB=C′D,∠ABG=∠ADC′,∴△ABG≌△C′DG(ASA)。(2)解:∵由(1)可知△ABG≌△C′DG,∴GD=GB,∴AG+GB=AD。设AG=x,则GB=8﹣x,在Rt△ABG中,∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8﹣x)2,解得x=。∴。(3)解:∵△AEF是△DEF翻折而成,∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。∵tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,∴HF是△ABD的中位线。∴HF=AB=×6=3。∴EF=EH+HF=。8.(2022湖南岳阳8分)(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?(3)深入探究:7\nⅠ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质。【分析】(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD。7\n(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB。Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′:通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等),再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′。21(.2022辽宁锦州12分)已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF.②CF=BC-CD.(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.【答案】解:(1)证明:①∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°。∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°。∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF。②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF,∵BD=BC-CD,∴CF=BC-CD。(2)CF=BC+CD。(3)①CF=CD-BC。②△AOC是等腰三角形。理由如下:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°。7\n则∠ABD=180°-45°=135°。∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°。∵∠BAD=∠DAF-∠BAF,∠CAF=∠BAC-∠BAF,∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,则△FCD为直角三角形。∵正方形ADEF中,O为DF中点,∴OC=DF。∵在正方形ADEF中,OA=AE,AE=DF,∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。【考点】动点问题,正方形的性质,等腰(直角)三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形中线的性质。【分析】(1)由已知,根据正方形和等腰直角三角形的性质,通过SAS证出△BAD≌△CAF,从而得到∠ACF=∠ABD=45°,即可证得BD⊥CF。 由△BAD≌△CAF可得BD=CF,而BD=BC-CD,从而CF=BC-CD。(2)同(1)可证△BAD≌△CAF可得BD=CF,而BD=BC+CD,从而CF=BC+CD。(3)①同(1)可证△BAD≌△CAF可得BD=CF,而BD=CD-BC,从而CF=CD-BC。②通过SAS证明△BAD≌△CAF,得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到∠FCD=90°。由三角形中线的性质得到OC=DF。由正方形ADEF中,OA=AE,AE=DF,从而得到△AOC是等腰三角形。25.(2022青海省10分)如图(*),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:证明:如图1,取AB的中点M,连接EM.∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°7\n又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC(ASA)∴AE=EF(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.【答案】解:(2)探究2,证明:在AB上截取AM=EC,连接ME,由(1)知∠EAM=∠FEC。∵AM=EC,AB=BC,∴BM=BE。∴∠BME=45°。∴∠AME=∠ECF=135°。∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°。又∵∠EAM+∠AEB=90°,∴∠EAM=∠FEC。在△AEM和△EFC中,∵∠AME=∠ECF,∠AME=∠ECF,∠EAM=∠FEC,∴△AEM≌△EFC(ASA)。∴AE=EF。(3)探究3:成立。证明如下:延长BA到M,使AM=CE,连接ME,∴BM=BE。∴∠BME=45°。∴∠BME=∠ECF。又∵AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA。又∵∠MAD=∠AEF=90°,∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF,7\n即∠MAE=∠CEF。在△MAE和△CEF中,∵∠BME=∠ECF,AM=CE,∠MAE=∠CEF,∴△MAE≌△CEF(ASA)。∴AE=EF。15.(2022浙江舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则S△AB′C′:S△ABC= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度;(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB'C',使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值;(4)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值.【答案】解:(1)3;60。7
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:01:54
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文章作者:U-336598
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