高三物理第二轮复习第二十讲带电粒子在有界磁场中的运动

物理总复习（第二轮）第二十讲带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在有界磁场中的运动问题进行了专题复习，探究解题方法，取得了良好的教学效果。带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析。1、一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间（1）圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据Fv画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。（2）半径的确定和计算：qvB=m，R=或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。并注意以下两个重要几何特点：①粒子速度的偏向角（φ）等于回旋角（α），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图所示），即φ=α=2θ=ωt。②相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ′）互补，即θ+θ′=180°。vrvOR（3）粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式，或。可求出粒子在磁场中的运动时间。2、一个重要结论如右图，带电粒子以速度v指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心3、一个重要方法vv)θθ(A对于一些可向各个方向发射的带电粒子进入有边界的匀强磁场后出射问题，可以用假设移动圆法：假设磁场是足够大的，则粒子的运动轨迹是一个完整的圆，当粒子的入射速度方向改变时，相当于移动这个圆。当带电粒子在足够大的磁场中以速度v向某一方向射出时，其运动轨迹都是一个圆；若射出粒子的初速度方向转过θ角时，其运动轨迹相当于以入射点为轴，直径转动θ得到的圆的轨迹，如图所示；用这种方法可以解决：a.带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题。b.粒子在不同的边界射出的问题。【例1】在以坐标原点O为圆心，半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速率v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；16\n（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？点拔：（1）粒子进入磁场后受哪些力？做什么性质的运动？（2）如何确定粒子在磁场中运动的半径、圆心？【例2】匀强磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v,方向沿x轴正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O点的距离为L，如图所示，不计重力的影响，求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。点拔：（1）粒子做圆周运动的圆心位置大体在哪里？P点在磁场里还是在磁场外？能否在磁场边界上？（2）粒子离开磁场后做什么运动？该运动轨迹与粒子在磁场中的圆周运动轨迹有什么几何关系？A1A3A4A230º60ºⅠⅡ带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动【例3】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。16\n【例4】半径为的匀强磁场区域边界在轴右边跟轴相切于坐标原点O，磁感强度，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子．已知粒子质量，电量，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角．带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动匀强磁场的边界是矩形带电粒子以初速度v0垂直于磁感线射入匀强磁场时，v0和磁场边界可能垂直，也可能不垂直（如图1、如图2），匀强磁场的磁感线垂直于纸面，匀强磁场仅存在于矩形区域ABCD内。　　1、v0和边界垂直．如图1所示，v0垂直于边界AD．只讨论两种特殊情况．　　（1）带电粒子从CD边垂直射出磁场，如图1（a）应满足：AB＞r，MD=r．带电粒子在磁场中的运动轨道为四分之一圆周，在磁场中运动了四分之一周期．　　（2）带电粒子从AD边垂直射出磁场，如图1（b）应满足：AB＞r，MD＞2r．带电粒子在磁场中的运动轨道为半个圆周，在磁场中运行了半个周期．　　2、v0和边界不垂直：图2中，两个质量为m、带电量为q、初速度大小为v0的完全相同的带电粒子，从同一点M分别沿着与边界AD夹α、β（=π－α）角的方向射入匀强磁场，也只讨论两种特殊情况．　　（1）带电粒子从CD边垂直射出磁场，如图2（a）．应满足：AB＞r（1＋cosα）、AM＞r（1－sinα）、MD=rsinα．以AD为=2r，据此可求带电粒子在磁场中的轨道半径及两粒子在磁场中运动的时间和（半个周期）。　　（2）带电粒子从AD边射出磁场，如图2（b）所示，应满足：AB＞r(1＋cosα），AD＞2r，且需AM＞r（1－sinα），MD＞r（1+sinα）．由几何知识可知，两带电粒子从同一点进入磁场，在磁场中沿不的时间和等于它们做匀速圆周运动的周期．16\n【例5】如图3，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件。图３带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动图5【例6】在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场，有一带正电，质量为的粒子从距Ａ点的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动图8【例7】据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径、外径的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比，磁场的磁感应强度，不计带电粒子重力．（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度的大小与它在磁场中运动的轨道半径有关，试导出与的关系式．（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．16\n（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动图11【例8】如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度，已知电子的质量，电子电量，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围。带电粒子在“单边磁场区域”中的运动图14【例9】如图14所示，在真空中坐标平面的区域内，有磁感强度的匀强磁场，方向与平面垂直，在轴上的点，有一放射源，在平面内向各个方向发射速率的带正电的粒子，粒子的质量为，电量为，求带电粒子能打到轴上的范围．【例10】如图所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。（1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径；（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。16\n带电粒子在“反向磁场区域”中的运动x荧光屏OBBMNKddS2【例11】如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴。M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。⑴当两板间电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子的速度v0。⑵求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上。⑶若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹。⑷求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题【例12】如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响，图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=，哪个图是正确的是（）·abs【例13】如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处，有一个点状的放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷与质量之比，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。16\n洛伦兹力的多解问题（1）带电粒子电性不确定形式多解。受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。（2）磁场方向不确定形成多解。有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。（3）临界状态不唯一形成多解。带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解。（4）运动的重复性形成多解。带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。【例14】初速为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板MN和PQ之间。离子所经空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，如图所示。（不考虑重力作用）离子荷质比（q、m分别为离子的电量与质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？　　练习1、一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.OBSVθP图1(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是。BABdVV300O图22、如图2所示，一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是()。MNO,LAO图3P3、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN16\n，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图3所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。llr1OV+qV图64、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4m；C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。图75、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图7所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。abcdSo图106、如图10所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）16\nBBELdO图127、如图12所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度d;（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.参考答案【例1】解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。如图所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径为R=r①又qvB=m②则粒子的比荷③（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60°，粒子做圆周运动的半径R′=rcot30°＝r④又R′=⑤所以B′=B粒子在磁场中飞行时间t=说明：解答有关带电粒子在磁场中运动的问题时，关键是要作好粒子在磁场中运动的轨迹，作出它的几何图示，从而通过圆周的有关知识去解决问题。其主要步骤有：①画出粒子的偏转圆弧；②确定粒子圆周运动的圆心；③适当作辅助线，建立几何关系。【例2】解析：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，则qvB=m①据此并由题意可知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外，过P点沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点，作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。A1A3A4A230º60ºⅠⅡv由图中几何关系得L=3r②由①②求得B=图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R=说明：本题不仅考查了对带电粒子在匀强磁场中运动规律掌握的熟练程度，而且考查了空间想象能力和用数学方法解决物理问题的能力。【例3】解析：设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故他在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4射出，如图2所示。用B1、B2、R1、R2、T1、T216\n分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度、轨道半径和周期，设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直于A2A4进入Ⅱ区磁场。连接A1A2，为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径圆心角，带电粒子在Ⅰ区中运动的时间为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点,即粒子在磁场Ⅱ中运动的时间为带电粒子运动的总时间为有以上各式可得【例4】解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为，由得图2虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心，半径的圆周上，如图２中虚线．由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即粒子应从磁场圆直径的A端射出．如图２，作出磁偏转角及对应轨道圆心，据几何关系得，得，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为．【例5】解析：如图４，设粒子以速率运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率小于时可不打在板上．图４设粒子以速率运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得，则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率大于时可不打在板上．综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：或．【例6】解析：如图６所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．图6由图知，在中，，，由得，解得16\n，则．又由得，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于．图7如图７所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则．又由得，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于等于．综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足．粒子从距Ａ点的间射出．图9【例7】解析：（１）设氦核质量为，电量为，以速率在磁感强度为的匀强磁场中做半径为的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛顿定律得，则．（２）所求轨迹示意图如图９所示（要与外圆相切）（３）当氦核以的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界，如图１０所示．图10由图知，又由得，在速度为时不穿出磁场外界应满足的条件是，则．图12【例8】解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由可得，代入数据解得．该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．在ＭＦＨ中，有，图13，，．电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距的范围．（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有，．解得．16\n取最大速度时，有，；取最小速度时有，．图15所以电子速度与之间应满足，且，．【例9】解析：带电粒子在磁场中运动时有，则．如图１５所示，当带电粒子打到轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到轴上方的最高点．因，，则．当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到轴下方的最低点，易得．综上，带电粒子能打到轴上的范围为：．【例10】解析：（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得，则（2）如图所示，以OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O1、O2，过O点的直径分别为OO1Q1、OO2Q2，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知，，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ粒子1的运动时间为，其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为两粒子射入的时间间隔为因为所以有上述算式可解得点评：解带电粒子在磁场中运动的题，除了运用常规的解题思路（画草图、找“圆心”、定“半径”）之外，更应侧重于运用数学知识进行分析。本题在众多的物理量和数学量中，角度是最关键的量，它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带，又是沟通几何图形与物理模型的桥梁。【例11】解析：（1）根据动能定理，得，解得ddBBxO（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有，而，可解得；（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上，运动轨迹如图所示⑷若电子在磁场区域作圆周运动的半径为r，穿过磁场区域达到荧光屏上的位置坐标为x，则由（3）中的轨迹图可得16\n，又，，所以电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为（）【例12】点拔：（1）各粒子在磁场中做匀速圆周运动的旋转方向是顺时针还是逆时针？轨道半径相同吗？（2）沿哪个方向射入的粒子能到达右侧最远处？左侧最远点的边界线是否是一个粒子的轨迹？解析：由于带电粒子从O点以相同速率射入纸面内的各个方向，射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，其运动半径是相等的。沿ON方向（临界方向）射入的粒子，恰能在磁场中做完整的圆周运动，则过O点垂直MN右侧恰为一临界半圆；若将速度方向沿ON方向逆时针偏转，则在过O点垂直MN左侧，其运动轨迹上各个点到O点的最远距离，恰好是以O为圆心，以2R为半径的圆弧。即答案为A说明：本题要改变确定单一圆弧形状的惯性思维，而是由不同圆弧轨迹叠加后，来判定带电粒子的运动轨迹，解题关键是抓住临界状态的分析。【例13】解析：粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有①由此得代入数值得可见，因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。由图中几何关系得②R2RRQSacbdMP1P2N再考虑N点的右侧，任何粒子在运动中离S点的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆。交ab于N的右侧的点，此即右侧能打到的最远点。由图中几何关系得③所求长度为　　④代入数值得　⑤【例14】解析:离子在磁场中做匀速圆周运动，作出两条边界轨迹分别作离子在T、P、Q三点所受的洛伦兹力、分别延长之后相交于Q1、Q2点，如图所示，Q1和Q2分别是TP和TQ的圆心，设R1和R2分别为相应的半径。离子经电压U加速，由动能定理得qU＝mv2①由洛伦兹力充当向心力得qvB＝②由①②式得③由图直角三角形O1CP和O2CQ可得R12=d2+(R1-)2,R1=d④R22=(2d)2+(R2-)2,R2=d⑤由③④⑤可解得≤≤16\n练习OBSVθP图2O/α1、解析：(1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得：,解得如图2所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以(2)当离子到位置P时,圆心角(见图2)：因为，所以.2、解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f⊥V，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图5中的O点，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。∴r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3V。MNO,LAO图4Rθ/2θθ/2BPO//带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量m和电量e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Be>d,即V>Bed/m.3、解析：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动，如图4所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而，,所以求得R后就可以求出O＇P了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。 由得R=，，4、解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m图8r1∴V2<BqL/4m时粒子能从左边穿出。16\n综上可得正确答案是A、B。5、解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8所示。由图中知，解得由得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。图9OO2（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9所示。由图中知由得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度6、解析：如图11所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有abcdSo图11由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;.7、解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：由以上两式，可得。可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为OO3O1O2图13600（2）在电场中，在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间，则粒子第一次回到O点的所用时间为16\n。16