2022年江苏宿迁中考数学真题（附答案详细解析）

2022年江苏宿迁中考数学真题（附答案详细解析）答题注意事项：1．本试卷共6页，考试时间为120分钟．2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.-2的绝对值是（）A.2B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.3.如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（）A.70°B.80°C.100°D.110°4.下列展开图中，是正方体展开图的是（）A.B.\nC.D.5.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm6.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（）A.B.C.D.7.如果，那么下列不等式正确的是（）A.B.C.D.8.如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（）A.1B.C.D.4二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.分解因式：3a2﹣12=___．10.2022年5\n月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是____．11.已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．12.满足的最大整数是_______．13.若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．14.将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．15.按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．16.甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．17.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．18.如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．\n三、简答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)19.计算：4°．20.解方程：．21.如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．22.为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：（1），；（2）补全条形统计图；\n（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．23.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．24.如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．25.如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积．26.某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．\n（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？27.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：28.如图，二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：；②求；（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．2022年江苏宿迁中考数学真题答案详细解析答题注意事项：1．本试卷共6页，考试时间为120分钟．2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5\n毫米黑色墨水签字笔，在对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.-2的绝对值是（）A.2B.C.D.【答案】A【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A．2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C符合题意；，故D不符合题意；故选：C3.如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（）\nA.70°B.80°C.100°D.110°【答案】D【详解】解：∵AB∥ED，∴∠3+∠2=180°，∵∠3=∠1，∠1=70°，∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°，故选：D．．4.下列展开图中，是正方体展开图的是（）A.B.C.D.【答案】C【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，故选：C．5.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm【答案】D【详解】解：当3是腰时，\n∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D6.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（）A.B.C.D.【答案】B详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：B．7.如果，那么下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】A\n【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；B、由x＜y可得：，故选项不成立；C、由x＜y可得：，故选项不成立；D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.8.如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（）A.1B.C.D.4【答案】C二、填空题（本大题共10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.分解因式：3a2﹣12=___．【答案】3（a+2）（a﹣2）【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．10.2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是____．\n【答案】【分析】科学记数法就是把绝对值大于1的数表示成的形式，其中n就等于原数的位数减1．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，牢记科学记数法的定义并准确求出中的n是做出本题的关键．11.已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．【答案】5【分析】根据众数的定义求解即可．【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键．12.满足的最大整数是_______．【答案】3【分析】先判断从而可得答案．【详解】解：满足的最大整数是3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．\n13.若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．【答案】【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，∴，即解得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14.将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．【答案】2【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm，∴这个圆锥底面圆的半径cm，故答案为：2．【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．15.按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．【答案】【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．\n详解】解：，，，，，…，由偶数个单项式的系数为：所以第20个单项式的系数为第1个指数为：第2个指数为：第3个指数为：指数为所以第20个单项式是：故答案为：【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．16.甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；可设函数为：又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，则函数关系式为，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．17.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．\n【答案】【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得：由正六边形是中心对称图形可得：可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得：由正六边形是中心对称图形可得：∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：为等边三角形，而则故答案为：\n【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．18.如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．【答案】##【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．\n【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∴∴当点E与点A重合时，则NF=，∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴是等腰直角三角形，∴∵BP⊥AF，∴由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，∴∠PON=90°，\n又∴，∴，∴的长为=故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．三、简答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)19.计算：4°．【答案】2【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．【详解】解：【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．20.解方程：．【答案】x＝﹣1\n【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：，2x＝x﹣2+1，x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解，则原方程的解是x＝﹣1．【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．21.如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．【答案】见详解【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；又∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE∥CF，AE=CF=AD，∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．22.为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题：\n（1），；（2）补全条形统计图；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数．【答案】（1）200，30（2）补全图形见解析（3）1600人【分析】（1）利用活动天数为2天的人数占比，可得总人数，再扇形图的信息可得n的值；（2）先求解活动3天的人数，再补全图形即可；（3）由2000乘以活动4天及以上部分所占的百分比即可得到答案．小问1详解】解：由题意可得：（人），故答案为：200，30【小问2详解】活动3天的人数为：（人），补全图形如下：【小问3详解】\n该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为：（人）．答：估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的有1600人．【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解本题的关键．23.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用例举法例举所有等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是【小问2详解】列表如下：甲乙丙丁甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙丙、丁\n丁丁、甲丁、乙丁、丙所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，所以一定有乙的概率为：【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．24.如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．【答案】（20＋20）m．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝，∴m，\n在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，∴信号塔的高度为（20＋20）m．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．25.如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；（2）若，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明从而可得结论；\n（2）如图，记BC与的交点为M，连接OM，先证明再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOM的面积，减去扇形AOM的面积即可．【小问1详解】证明：∠=45°，，即在上，为的切线．【小问2详解】如图，记BC与的交点为M，连接OM，，，，，，，．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．26.\n某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？【答案】（1）300，240（2）当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择乙超市更优惠，当时，选择甲超市更优惠．【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，可得当时，显然此时选择乙超市更优惠，当时再分三种情况讨论即可．【小问1详解】解：甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），∵乙超市全部按标价的8折售卖，∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），故答案：【小问2详解】设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得当时，显然此时选择乙超市更优惠，当时，当时，则解得：∴当时，两家超市的优惠一样，\n当时，则解得：∴当时，选择乙超市更优惠，当时，则解得：∴当时，选择甲超市更优惠．【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．27.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．（1）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：（2）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．\n【答案】（1）；见解析（2）见解析【分析】（1）取BM的中点Q，作射线OQ交于点P，点P即为所求作，利用全等三角形的判定和性质证得MO=BO，再利用等腰三角形的性质即可证明；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．【小问1详解】解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案为：；取BM的中点Q，作射线OQ交于点P，点P即为所求作；证明：在△OGM和△OHB中，OG=OH=1，∠OGM=∠OHB=90°，MG=BH=3，∴△OGM≌△OHB，∴MO=BO，∵点Q是BM的中点，∴OQ平分∠MOB，即∠POM=∠POB，∴=；\n【小问2详解】解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；证明：作直径AN，连接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28.如图，二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，顶点为\n，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：；②求；（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）（2）①证明见解析，②（3）或．【分析】（1）二次函数与轴交于(0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；②由，得到，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；\n（3）由和得到，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．【小问1详解】解：∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，∴代入(0，0)，(4，0)得，，解得：，∴二次函数的表达式为；【小问2详解】①证明：∵＝，∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，∴∠CAB＝∠COD，∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，∴△ABC≌△BC，∴∠CAB＝∠，AB＝B，∴∠COD＝∠，∵∠ODC＝∠BD，∴；\n②∵，∴，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，∵点与、点不重合，∴0＜d＜4，对于＝来说，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，∴当d＝2时，DC有最小值为，由两点间距离公式得OC＝，∴有最小值为，∴的最小值为；【小问3详解】解：∵，∴，∵，∴，∵OC＝2，∴B＝AB＝1，∴点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，\n把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），∴线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，∴＝2×－6，解得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，整理得＝1，解得p＝2或p＝，当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，设直线的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），（，）代人得，，解得，∴直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线得到，，\n解得，，∴直线与二次函数的交点横坐标为或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．\n