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2022年四川南充中考数学真题(附答案详细解析)
2022年四川南充中考数学真题(附答案详细解析)
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2022年四川南充中考数学真题(附答案详细解析)一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分,不涂、错涂或多涂记0分.1.(4分)下列计算结果为5的是( )A.﹣(+5)B.+(﹣5)C.﹣(﹣5)D.﹣|﹣5|2.(4分)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′,点B′恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC′为( )A.90°B.60°C.45°D.30°3.(4分)下列计算结果正确的是( )A.5a﹣3a=2B.6a÷2a=3aC.a6÷a3=a2D.(2a2b3)3=8a6b94.(4分)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡有x只,可列方程为( )A.4x+2(94﹣x)=35B.4x+2(35﹣x)=94C.2x+4(94﹣x)=35D.2x+4(35﹣x)=945.(4分)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是( )A.AE=AFB.∠EAF=∠CBFC.∠F=∠EAFD.∠C=∠E6.(4分)为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\nA.平均数B.中位数C.众数D.方差7.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是( )A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=98.(4分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD为( )A.70°B.65°C.50°D.45°9.(4分)已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则(+)2÷(﹣)的值是( )A.B.﹣C.D.﹣10.(4分)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2﹣2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1<x2时,都有y1<y2,则m的取值范围为( )A.0<m≤2B.﹣2≤m<0C.m>2D.m<﹣2二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将答案填在答题卡对应的横线上.11.(4分)比较大小:2﹣2 < 30.(选填>,=,<)12.(4分)老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化,将6种生活现象制成看上去无差别卡片(如图).从中随机抽取一张卡片,抽中生活现象是物理变化的概率是 第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n .13.(4分)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10m(如图),则A,B两点的距离是 20 m.14.(4分)若为整数,x为正整数,则x的值是 4或7或8 .15.(4分)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距O点3m.那么喷头高 8 m时,水柱落点距O点4m.16.(4分)如图,正方形ABCD边长为1,点E在边AB上(不与A,B重合),将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A1处,连接A1B,将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B,连接A1A,A1C,A2C.给出下列四个结论:①△ABA1≌△CBA2;②∠ADE+∠A1CB=45°;③点P是直线DE上动点,则CP+A1P的最小值为;④当∠ADE=30°时,△A1BE的面积为第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n.其中正确的结论是 ①②③ .(填写序号)三、解答题(本大题共9个小题,共86分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(8分)先化简,再求值:(x+2)(3x﹣2)﹣2x(x+2),其中x=﹣1.18.(8分)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF.(2)ME=NF.19.(8分)为传播数学文化,激发学生学习兴趣,学校开展数学学科月活动,七年级开展了四个项目:A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n.挑战数学游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况,随机调查了部分学生,将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图),请根据图表信息解答下列问题:项目ABCD人数/人515ab(1)a= 20 ,b= 10 .(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 108 度.(3)在月末的展示活动中,“C”项目中七(1)班有3人获得一等奖,七(2)班有2人获得一等奖,现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛,请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=﹣1,求k的值.21.(10分)如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,﹣2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.(1)求直线AB与双曲线的解析式.(2)求△ABC的面积.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n22.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D是⊙O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)若CE=OA,sin∠BAC=,求tan∠CEO的值.23.(10分)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品,它们的进价和售价如下表.用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价﹣进价)种类真丝衬衣真丝围巾进价(元/件)a80售价(元/件)300100(1)求真丝衬衣进价a的值.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?24.(10分)如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.(1)判断△ABP的形状,并说明理由.(2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.(3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.25.(12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣4).(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,▱BCPQ顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上,点N在MO延长线上,OM=2ON,连接BN并延长到点D,使ND=NB.MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角,tan∠DEB=2tan∠DBE,求点M的坐标.2022年四川南充中考数学真题答案详细解析一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的.请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置.填涂正确记4分,不涂、错涂或多涂记0分.1.(4分)下列计算结果为5的是( )A.﹣(+5)B.+(﹣5)C.﹣(﹣5)D.﹣|﹣5|【分析】根据相反数判断A,B,C选项;根据绝对值判断D选项.【解答】解:A选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;B选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;C选项,原式=5,故该选项符合题意;D选项,原式=﹣5,故该选项不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了相反数,绝对值,掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.2.(4分)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′,点B′恰好落在CA第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC′为( )A.90°B.60°C.45°D.30°【分析】利用旋转不变性,三角形内角和定理和平角的意义解答即可.【解答】解:∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=60°,∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′,∴∠C′AB′=∠CAB=60°.∵点B′恰好落在CA的延长线上,∴∠BAC′=180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′=60°.故选:B.【点评】本题主要考查了图形旋转的性质,三角形的内角和定理,平角的意义,利用旋转不变性解答是解题的关键.3.(4分)下列计算结果正确的是( )A.5a﹣3a=2B.6a÷2a=3aC.a6÷a3=a2D.(2a2b3)3=8a6b9【分析】根据合并同类项判断A选项;根据单项式除以单项式判断B选项;根据同底数幂的除法判断D选项;根据积的乘方判断D选项.【解答】解:A选项,原式=2a,故该选项不符合题意;B选项,原式=3,故该选项不符合题意;C选项,原式=a3,故该选项不符合题意;D选项,原式=8a6b9,故该选项不符合题意;故选:D.【点评】本题考查了合并同类项,单项式除以单项式,同底数幂的除法,幂的乘方与积的乘方,掌握(ab)n=anbn是解题的关键.4.(4分)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡有x只,可列方程为( )A.4x+2(94﹣x)=35B.4x+2(35﹣x)=94C.2x+4(94﹣x)=35D.2x+4(35﹣x)=94【分析】由上有三十五头且鸡有x只,可得出兔有(35﹣x第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n)只,利用足的数量=2×鸡的只数+4×兔的只数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.【解答】解:∵上有三十五头,且鸡有x只,∴兔有(35﹣x)只.依题意得:2x+4(35﹣x)=94.故选:D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.5.(4分)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是( )A.AE=AFB.∠EAF=∠CBFC.∠F=∠EAFD.∠C=∠E【分析】根据正多边形定义可知,每一个内角相等,每一条边相等,再根据内角和公式求出每一个内角,根据以AB为边向内作正△ABF,得出∠FAB=∠ABF=∠F=60°,AF=AB=FB,从而选择正确选项.【解答】解:在正五边形ABCDE中内角和:180°×3=540°,∴∠C=∠D=∠E=∠EAB=∠ABC=540°÷5=108°,∴D不符合题意;∵以AB为边向内作正△ABF,∴∠FAB=∠ABF=∠F=60°,AF=AB=FB,∵AE=AB,∴AE=AF,∠EAF=∠FBC=48°,∴A、B不符合题意;∴∠F≠∠EAF,∴C符合题意;故选:C.【点评】此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质,掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键.6.(4分)为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\nA.平均数B.中位数C.众数D.方差【分析】根据条形统计图中的数据,可以判断出平均数、众数、方差无法计算,可以计算出中位数,本题得以解决.【解答】解:由统计图可知,平均数无法计算,众数无法确定,方差无法计算,而中位数是(9+9)÷2=9,故选:B.【点评】本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.7.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是( )A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理,可以求得CD和CE的长,再根据平行线的性质,即可得到AE的长,从而可以判断B和C,然后即可得到AC的长,即可判断D;再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长,从而可以判断A.【解答】解:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DF⊥AB,∴∠1=∠2,DC=FD,∠C=∠DFB=90°,∵DE∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AE=DE,∵DE=5,DF=3,∴AE=5,CD=3,故选项B、C正确;∴CE==4,∴AC=AE+EC=5+4=9,故选项D正确;∵DE∥AB,∠DFB=90°,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∴∠EDF=∠DFB=90°,∴∠CDF+∠FDB=90°,∵∠CDF+∠DEC=90°,∴∠DEC=∠FDB,∵∠C=∠DFB,CD=FD,∴△ECD≌△DFB(AAS),∴CE=BF=4,故选项A错误;故选:A.【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.8.(4分)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD为( )A.70°B.65°C.50°D.45°【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B=25°,由垂径定理得:=,最后由圆周角定理可得结论.【解答】解:∵OF⊥BC,∴∠BFO=90°,∵∠BOF=65°,∴∠B=90°﹣65°=25°,∵弦CD⊥AB,AB为⊙O的直径,∴=,∴∠AOD=2∠B=50°.故选:C.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【点评】本题考查垂径定理,圆周角定理,直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,属于中考常考题型.9.(4分)已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则(+)2÷(﹣)的值是( )A.B.﹣C.D.﹣【分析】利用分式的加减法法则,乘除法法则把分式进行化简,由a2+b2=3ab,得出(a+b)2=5ab,(a﹣b)2=ab,由a>b>0,得出a+b=,a﹣b=,代入计算,即可得出答案.【解答】解:(+)2÷(﹣)=÷=•=﹣,∵a2+b2=3ab,∴(a+b)2=5ab,(a﹣b)2=ab,∵a>b>0,∴a+b=,a﹣b=,∴﹣=﹣=﹣=﹣,故选:B.【点评】本题考查了分式的化简求值,掌握分式的加减法法则,分式的乘除法法则,把分式正确化简是解决问题的关键.10.(4分)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2﹣2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1<x2时,都有y1<y2,则m的取值范围为( )A.0<m≤2B.﹣2≤m<0C.m>2D.m<﹣2【分析】根据题意和题目中的抛物线,可以求得抛物线的对称轴,然后分类讨论即可得到m的取值范围.【解答】解:∵抛物线y=mx2﹣2m2x+n(m≠0),∴该抛物线的对称轴为直线x=﹣=m,∵当x1+x2>4且x1<x2时,都有y1<y2,∴当m>0时,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n0<2m≤4,解得0<m≤2;当m<0时,2m>4,此时m无解;由上可得,m的取值范围为0<m≤2,故选:A.【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将答案填在答题卡对应的横线上.11.(4分)比较大小:2﹣2 < 30.(选填>,=,<)【分析】先分别计算2﹣2和30的值,再进行比较大小,即可得出答案.【解答】解:∵2﹣2=,30=1,∴2﹣2<30,故答案为:<.【点评】本题考查了负整数指数幂,零指数幂,掌握负整数指数幂的意义,零指数幂的意义是解决问题的关键.12.(4分)老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化,将6种生活现象制成看上去无差别卡片(如图).从中随机抽取一张卡片,抽中生活现象是物理变化的概率是 .【分析】用物理变化的张数除以总张数即可.【解答】解:从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果,抽中生活现象是物理变化的有2种结果,所以从中随机抽取一张卡片,抽中生活现象是物理变化的概率为=,故答案为:.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【点评】本题主要考查概率公式,随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.13.(4分)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10m(如图),则A,B两点的距离是 20 m.【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可.【解答】解:∵CD=AD,CE=EB,∴DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE,∵DE=10m,∴AB=20m,故答案为:20.【点评】本题考查三角形中位线定理,解题的关键是掌握三角形中位线定理,属于中考常考题型.14.(4分)若为整数,x为正整数,则x的值是 4或7或8 .【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围,利用算术平方根的意义解答即可.【解答】解:∵8﹣x≥0,x为正整数,∴1≤x≤8且x为正整数,∵为整数,∴=0或1或2,当=0时,x=8,当=1时,x=7,当=2时,x=4,综上,x的值是4或7或8,故答案为:4或7或8.【点评】本题主要考查了算术平方根的意义,二次根式的性质,利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键.15.(4分)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距O点3m.那么喷头高 8 m时,水柱落点距O点4m.【分析】由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,则当喷头高2.5m时,可设y=ax2+bx+2.5,将(2.5,0)代入解析式得出2.5a+b+1=0;喷头高4m时,可设y=ax2+bx+3;将(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0,联立可求出a和b的值,设喷头高为h时,水柱落点距O点4m,则此时的解析式为y=ax2+bx+h,将(4,0)代入可求出h.【解答】解:由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,当喷头高2.5m时,可设y=ax2+bx+2.5,将(2.5,0)代入解析式得出2.5a+b+1=0①;喷头高4m时,可设y=ax2+bx+3;将(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0②,联立可求出a=﹣,b=,设喷头高为h时,水柱落点距O点4m,∴此时的解析式为y=﹣x2+x+h,将(4,0)代入可得﹣×42+×4+h=0,解得h=8.故答案为:8.【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用,重点是二次函数解析式的求法,直接利用二次函数的平移性质是解题关键.16.(4分)如图,正方形ABCD边长为1,点E在边AB上(不与A,B重合),将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A1处,连接A1B,将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B,连接A1A,A1C,A2C.给出下列四个结论:①△ABA1≌△CBA2;②∠ADE+∠A1CB=45°;③点P是直线DE上动点,则CP+A1P的最小值为;④当∠ADE=30°时,△A1BE的面积为第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n.其中正确的结论是 ①②③ .(填写序号)【分析】①正确.根据SAS证明三角形全等即可;②正确.过点D作DT⊥CA1于点T,证明∠ADE+∠CDT=45°,∠CDT=∠BCA1即可;③正确.连接PA,AC.因为A,A1关于DE对称,推出PA=PA1,推出PA1+PC=PA+PC≥AC=,可得结论;④错误.过点A1作A1H⊥AB于点H,求出EB,A1H,可得结论.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴BA=BC,∠ABC=90°,∵∠A1BA2=∠ABC=90°,∴∠ABA1=∠CBA2,∵BA1=BA2,∴△ABA1≌△CBA2(SAS),故①正确,过点D作DT⊥CA1于点T,∵CD=DA1,∴∠CDT=∠A1DT,∵∠ADE=∠A1DE,∠ADC=90°,∴∠ADE+∠CDT=45°,∵∠CDT+∠DCT=90°,∠DCT+∠BCA1=90°,∴∠CDT=∠BCA1,∴∠ADE+∠BCA1=45°,故②正确.连接PA,AC.∵A,A1关于DE对称,∴PA=PA1,∴PA1+PC=PA+PC≥AC=,∴PA1+PC的最小值为,故③正确,过点A1作A1H⊥AB于点H,∵∠ADE=30°,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∴AE=A1E=AD•tan30°=,∴EB=AB﹣AE=1﹣,∵∠A1EB=60°,∴A1H=A1E•sin60°=×=,∴=×(1﹣)×=,故④错误.故答案为:①②③.【点评】本题考查正方形的性质,解直角三角形,翻折变换,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.三、解答题(本大题共9个小题,共86分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(8分)先化简,再求值:(x+2)(3x﹣2)﹣2x(x+2),其中x=﹣1.【分析】提取公因式x+2,再利用平方差公式计算,再代入计算.【解答】解:原式=(x+2)(3x﹣2﹣2x)=(x+2)(x﹣2)=x2﹣4,当x=﹣1时,原式=(﹣1)2﹣4=﹣2.【点评】本题考查整数的混合运算﹣化简求值,解题的关键是熟练灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18.(8分)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF.(2)ME=NF.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【分析】(1)根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS,可以证明结论成立;(2)根据(1)中的结论和等腰三角形的性质,可以得到DE=DF,DM=DN,从而可以得到ME=NF.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,∵BE=BF,∴AE=CF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(SAS);(2)由(1)知△ADE≌△CDF,∴∠ADM=∠CDN,DE=DF,∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAM=∠DCN,∴∠DMA=∠DNC,∴∠DMN=∠DNM,∴DM=DN,∴DE﹣DM=DF﹣DN,∴ME=NF.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.19.(8分)为传播数学文化,激发学生学习兴趣,学校开展数学学科月活动,七年级开展了四个项目:A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D.挑战数学游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况,随机调查了部分学生,将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图),请根据图表信息解答下列问题:项目ABCD人数/人515ab(1)a= 20 ,b= 10 .(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 108 度.(3)在月末的展示活动中,“C”项目中七(1)班有3人获得一等奖,七(2)班有2人获得一等奖,现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛,请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.【分析】(1)由A项目人数及其所占百分比可得总人数,总人数乘以D项目人数所占比例求出b,再根据四个项目人数之和等于总人数得出a;(2)用360°乘以B项目人数所占比例即可;(3)七(1)班3人分别用A、B、C表示,七(2)班2人分别D、E表示,列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.【解答】解:(1)被调查的总人数为5÷10%=50(人),∴b=50×20%=10(人),则a=50﹣(5+15+10)=20,故答案为:20、10;(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360°×=108°,故答案为:108;(3)七(1)班3人分别用A、B、C表示,七(2)班2人分别D、E表示,根据题意画图如下:第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n共有25种等可能的情况数,其中这两人来自不同班级的有12种,则这两人来自不同班级的概率是.【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=﹣1,求k的值.【分析】(1)根据一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根,可知Δ≥0,即可求得k的取值范围;(2)根据根与系数的关系和(x1+1)(x2+1)=﹣1,可以求得k的值.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根,∴Δ=32﹣4×1×(k﹣2)≥0,解得k≤,即k的取值范围是k≤;(2)∵方程x2+3x+k﹣2=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x1=﹣3,x1x2=k﹣2,∵(x1+1)(x2+1)=﹣1,∴x1x2+(x1+x2)+1=﹣1,∴k﹣2+(﹣3)+1=﹣1,解得k=3,即k的值是3.【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式,解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0,以及根与系数的关系.21.(10分)如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,﹣2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.(1)求直线AB与双曲线的解析式.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n(2)求△ABC的面积.【分析】(1)根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式,然后即可求得点B的坐标,再用待定系数法即可求得直线AB的解析式;(2)先求出直线BO的解析式,然后求出点C的坐标,再用割补法即可求得△ABC的面积.【解答】解:(1)设双曲线的解析式为y=,∵点A(1,6)在该双曲线上,∴6=,解得k=6,∴y=,∵B(m,﹣2)在双曲线y=上,∴﹣2=,解得m=﹣3,设直线AB的函数解析式为y=ax+b,,解得,即直线AB的解析式为y=2x+4;(2)作BG∥x轴,FG∥y轴,FG和BG交于点G,作BE∥y轴,FA∥x轴,BE和FA交于点E,如右图所示,直线BO的解析式为y=ax,∵点B(﹣3,﹣2),∴﹣2=﹣3a,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n解得a=,∴直线BO的解析式为y=x,,解得或,∴点C的坐标为(3,2),∵点A(1,6),B(﹣3,﹣2),C(3,2),∴EB=8,BG=6,CG=4,CF=4,AF=2,AE=4,∴S△ABC=S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC=8×6﹣﹣﹣=48﹣16﹣12﹣4=16.【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.22.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D是⊙O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)若CE=OA,sin∠BAC=,求tan∠CEO的值.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【分析】(1)连接OC,证明OC⊥CD即可;(2)过点O作OH⊥BC于点H.由sin∠BAC==,可以假设BC=4k,AB=5k,则AC=OC=CE=3k,用k表示出OH,EH,可得结论.【解答】(1)证明:连接OC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCB+∠DCB=90°,∴OC⊥CD,∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;(2)解:过点O作OH⊥BC于点H.∵sin∠BAC==,∴可以假设BC=4k,AB=5k,则AC=OC=CE=3k,∵OH⊥BC,∴CH=BH=2k,∵OA=OB,∴OH=AC=k,∴EH=CE﹣CH=3k﹣2k=k,∴tan∠CEO===.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【点评】本题考查切线的判定,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.23.(10分)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品,它们的进价和售价如下表.用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价﹣进价)种类真丝衬衣真丝围巾进价(元/件)a80售价(元/件)300100(1)求真丝衬衣进价a的值.(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?【分析】(1)利用总价=单价×数量,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出a的值;(2)设购进真丝衬衣x件,则购进真丝围巾(300﹣x)件,根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,设两种商品全部售出后获得的总利润为w元,利用总利润=每件的销售利润×销售数量,即可得出w关于x的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题;(3)设每件真丝围巾降价y元,利用总利润=每件的销售利润×销售数量,结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.【解答】解:(1)依题意得:50a+80×25=15000,解得:a=260.答:a的值为260.(2)设购进真丝衬衣x件,则购进真丝围巾(300﹣x)件,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n依题意得:300﹣x≥2x,解得:x≤100.设两种商品全部售出后获得的总利润为w元,则w=(300﹣260)x+(100﹣80)(300﹣x)=20x+6000.∵20>0,∴w随x的增大而增大,∴当x=100时,w取得最大值,最大值=20×100+6000=8000,此时300﹣x=300﹣100=200.答:当购进真丝衬衣100件,真丝围巾200件时,才能使本次销售获得的利润最大,最大利润是8000元.(3)设每件真丝围巾降价y元,依题意得:(300﹣260)×100+(100﹣80)××200+(100﹣y﹣80)××200≥8000×90%,解得:y≤8.答:每件真丝围巾最多降价8元.【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于x的函数关系式;(3)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.24.(10分)如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.(1)判断△ABP的形状,并说明理由.(2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.(3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n【分析】(1)由已知得:OP=OA=OB,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论;(2)如图1,延长AM,BC交于点Q,先证明△ADM≌△QCM(ASA),得AD=CQ=BC,根据直角三角形斜边中线的性质可得PC=BQ=BC,由等边对等角和等量代换,及角的和差关系可得结论;(3)分两种情况:作辅助线,构建相似三角形,设DM=x,QG=a,则CH=a+,BH=AG=4﹣﹣a=﹣a,①如图2,点M在CD上时,②如图3,当M在DC的延长线上时,根据同角的三角函数和三角形相似可解答.【解答】(1)解:△ABP是直角三角形,理由如下:∵点O是AB的中点,∴AO=OB=AB,∵OP=AB,∴OP=OA=OB,∴∠OBP=∠OPB,∠OAP=∠APO,∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO=180°,∴∠APO+∠BPO=90°,∴∠APB=90°,∴△ABP是直角三角形;(2)证明:如图1,延长AM,BC交于点Q,∵M是CD的中点,∴DM=CM,∵∠D=∠MCQ=90°,∠AMD=∠QMC,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∴△ADM≌△QCM(ASA),∴AD=CQ=BC,∵∠BPQ=90°,∴PC=BQ=BC,∴∠CPB=∠CBP,∵∠OPB=∠OBP,∴∠OBC=∠OPC=90°,∴∠OPN=∠OPA+∠APN=90°,∵∠OAP+∠PAN=90°,∠OAP=∠OPA,∴∠APN=∠PAN,∴PN=AN;(3)解:分两种情况:①如图2,点M在CD上时,过点P作GH∥CD,交AD于G,交BC于H,设DM=x,QG=a,则CH=a+,BH=AG=4﹣﹣a=﹣a,∵PG∥DM,∴△AGP∽△ADM,∴=,即,∴PG=x﹣ax,∵∠CPQ=90°,∴∠CPH+∠QPG=90°,∵∠CPH+∠PCH=90°,∴∠QPG=∠PCH,∴tan∠QPG=tan∠PCH,即=,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∴PH•PG=QG•CH,同理得:∠APG=∠PBH,∴tan∠APG=tan∠PBH,即=,∴PG•PH=AG•BH=AG2,∴AG2=QG•CH,即(﹣a)2=a(+a),∴a=,∵PG•PH=AG2,∴(x﹣x)•(5﹣x+x)=(﹣)2,解得:x1=12(舍),x2=,∴DM=;②如图3,当M在DC的延长线上时,同理得:DM=12,综上,DM的长是或12.【点评】本题主要考查了四边形综合题,涉及相似三角形的性质,动点问题,三角函数,三角形全等的性质和判定,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是正确的画出图形,分情况讨论,难度较大.25.(12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣4).(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,▱BCPQ顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上,点N在MO延长线上,OM=2ON,连接BN并延长到点D,使ND=NB.MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角,tan∠DEB=2tan∠第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\nDBE,求点M的坐标.【分析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线的解析式,从而求得b,c,进而得出抛物线的解析式;(2)在BC的下方存在一个点P,在BC的上方时两个,其中过BC下方的点P的直线l与BC平行的直线与抛物线相切,根据直线l的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程,该一元二次方程的根的判别式为0,从而求得b的值,进而得出在BC的上方的直线解析式,与抛物线联立成方程组,进一步求得结果;(3)作MG⊥x轴于G,作NH⊥x轴于H,作MK⊥DF,交DF的延长线于K,设D点的横坐标为a,根据△BHN∽△BFD得出DF=2NH,根据△OMG∽△ONH得出MG=2NH,OG=2OH=a+4,从而KF=MG=DF,根据tan∠DEB=2tan∠DBE可表示出EF,根据△DEF∽△DMK可得出a的值,进一步求得结果.【解答】解:(1)由题意得,,∴,∴y=﹣;(2)如图1,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1,直线l交y轴于E,作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离,∵BC的解析式为y=x﹣4,∴设直线l的解析式为:y=x+b,由=x+b得,x2﹣4x﹣3(b+4)=0,∵Δ=0,∴﹣3(b+4)=4,∴b=﹣,∴x2﹣4x+4=0,y=x﹣,∴x=2,y=﹣,∴P1(2,﹣),∵E(0,﹣),C(0,﹣4),∴F(0,﹣4×2﹣(﹣)),即(0,﹣),∴直线m的解析式为:y=x﹣,∴,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∴,,∴P2(2﹣2,﹣2﹣),P3(2+2,2﹣),综上所述:点P(2,﹣)或(2﹣2,﹣2﹣)或(2+2,2﹣);(3)如图2,作MG⊥x轴于G,作NH⊥x轴于H,作MK⊥DF,交DF的延长线于K,设D点的横坐标为a,∵BN=DN,∴BD=2BN,N点的横坐标为:,∴OH=,∵MH∥DF,∴△BHN∽△BFD,∴,∴DF=2NH,同理可得:△OMG∽△ONH,∴=,∴MG=2NH,OG=2OH=a+4,∴KF=MG=DF,∵tan∠DEB=2tan∠DBE∴=2•,∴EF=,第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司\n∵BF=4﹣a,∴EF=,∵EF∥MK,∴△DEF∽△DMK,∴=,∴,∴a=0,∴OG=a+4=4,∴G(﹣4,0),当x=﹣4时,y=﹣﹣4=,∴M(﹣4,).【点评】本题考查了求二次函数的解析式,求一次函数的解析式,一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系,相似三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系.第33页(共33页)学科网(北京)股份有限公司
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中考 - 历年真题
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