2019年浙江省衢州市中考数学试卷
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浙江省衢州市2019年中考数学试卷(解析版)一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)1.在,0,1,-9四个数中,负数是( )A. B. 0 C. 1 D. -9【答案】D【考点】正数和负数的认识及应用【解析】【解答】解:∵-9<0<<1,∴负数是-9.故答案为:D.【分析】负数:任何正数前加上负号都等于负数;负数比零、正数小,在数轴线上,负数都在0的左侧.2.浙江省陆域面积为101800平方千米,其中数据101800用科学记数法表示为( )A. 0.1018×105 B. 1.018×105 C. 0.1018×105 D. 1.018×106【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解:∵101800=1.018×105.故答案为:B.【分析】科学记数法:将一个数字表示成a×10的n次幂的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,由此即可得出答案.3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是( ) ABCD【答案】A【考点】简单组合体的三视图\n【解析】【解答】解:从物体正面观察可得,左边第一列有2个小正方体,第二列有1个小正方体.故答案为:A.【分析】主视图:从物体正面观察所得到的图形,由此观察即可得出答案.4.下列计算正确的是( )A. a6+a6=a12 B. a6×a2=a8 C. a6÷a2=a3 D. (a6)2=a8【答案】B【考点】同底数幂的乘法,同底数幂的除法,合并同类项法则及应用,幂的乘方【解析】【解答】解:A.∵a6+a6=2a6,故错误,A不符合题意;B.∵a6×a2=a6+2=a8,故正确,B符合题意;C.∵a6÷a2=a6-2=a4,故错误,C不符合题意;D.∵(a6)2=a2×6=a12,故错误,D不符合题意;故答案为:B.【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误;B.根据同底数幂的乘法:底数不变,指数相加,依此计算即可判断正确;C.根据同底数幂的除法:底数不变,指数相减,依此计算即可判断错误;D.根据幂的乘方:底数不变,指数相乘,依此计算即可判断错误.5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是( )A. 1 B. C. D. 【答案】C【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】解:依题可得,箱子中一共有球:1+2=3(个),∴从箱子中任意摸出一个球,是白球的概率P=.故答案为:C.【分析】结合题意求得箱子中球的总个数,再根据概率公式即可求得答案.6.二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( )A. (1,3) B. (1,-3) C. (-1,3) D. (-1,-3)【答案】A【考点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质【解析】【解答】解:∵y=(x-1)2+3,\n∴二次函数图像顶点坐标为:(1,3).故答案为:A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°【答案】D【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质【解析】【解答】解:∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,∴∠DCE=∠DEC=2x,∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x,∵∠BDE=75°,∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°,即x+180°-4x+75°=180°,解得:x=25°,∠CDE=180°-4x=80°.故答案为:D.【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x,∠CDE=180°-4x,根据平角性质列出方程,解之即可的求得x值,再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.8.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D,现测得AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为( )\nA. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm【答案】B【考点】垂径定理的应用【解析】解:连结OD,OA,如图,设半径为r,∵AB=8,CD⊥AB,∴AD=4,点O、D、C三点共线,∵CD=2,∴OD=r-2,在Rt△ADO中,∵AO2=AD2+OD2,,即r2=42+(r-2)2,解得:r=5,故答案为:B.【分析】连结OD,OA,设半径为r,根据垂径定理得AD=4,OD=r-2,在Rt△ADO中,由勾股定理建立方程,解之即可求得答案.9.如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为( )A. 1 B. C. D. 2【答案】C【考点】等边三角形的性质【解析】解:如图,作BG⊥AC,\n依题可得:△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△BGA中,∵AB=2,AG=1,∴BG=,即原来的纸宽为.故答案为:C.【分析】结合题意标上字母,作BG⊥AC,根据题意可得:△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△BGA中,根据勾股定理即可求得答案.10.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C,设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )A B C D【答案】C【考点】动点问题的函数图象【解析】【解答】解:①当点P在AE上时,∵正方形边长为4,E为AB中点,∴AE=2,∵P点经过的路径长为x,∴PE=x,∴y=S△CPE=·PE·BC=×x×4=2x,②当点P在AD上时,∵正方形边长为4,E为AB中点,∴AE=2,\n∵P点经过的路径长为x,∴AP=x-2,DP=6-x,∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC,=4×4-×2×4-×2×(x-2)-×4×(6-x),=16-4-x+2-12+2x,=x+2,③当点P在DC上时,∵正方形边长为4,E为AB中点,∴AE=2,∵P点经过的路径长为x,∴PD=x-6,PC=10-x,∴y=S△CPE=·PC·BC=×(10-x)×4=-2x+20,综上所述:y与x的函数表达式为:y=.故答案为:C.【分析】结合题意分情况讨论:①当点P在AE上时,②当点P在AD上时,③当点P在DC上时,根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)11.计算:=________。【答案】【考点】分式的加减法【解析】【解答】解:∵原式=.故答案为:.【分析】根据分式加减法法则:同分母相加,分母不变,分子相加减,依此计算即可得出答案.12.数据2,7,5,7,9的众数是________ 。【答案】7【考点】众数【解析】【解答】解:将这组数据从小到大排列为:2,5,7,7,9,\n∴这组数据的众数为:7.故答案为:7.【分析】众数:一组数据中出现次数最多的数,由此即可得出答案.13.已知实数m,n满足,则代数式m2-n2的值为________ 。【答案】3【考点】代数式求值【解析】【解答】解:∵m-n=1,m+n=3,∴m2-n2=(m+n)(m-n)=3×1=3.故答案为:3.【分析】先利用平方差公式因式分解,再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.14.如图,人字梯AB,AC的长都为2米。当a=50°时,人字梯顶端高地面的高度AD是________米(结果精确到0.1m。参考依据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)【答案】1.5【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解:在Rt△ADC中,∵AC=2,∠ACD=50°,∴sin50°=,∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.故答案为:1.5.【分析】在Rt△ADC中,根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.15.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F。若y=(k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________ 。\n【答案】24【考点】相似三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解:作FG⊥BE,作FH⊥CD,如图,设A(-2a,0),D(0,4b),依题可得:△ADO≌△EDO,∴OA=OE,∴E(2a,0),∵B为OE中点,∴B(a,0),∴BE=a,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),∴△BEF∽△CDF,∴,又∵D(0,4b),∴OD=4b,∴FG=b,又∵S△BEF=·BE·FG=1,∴即ab=1,∴ab=2,\n∵C(3a,4b)在反比例函数y=上,∴k=3a×4b=12ab=12×2=24.故答案为:24.【分析】作FG⊥BE,作FH⊥CD,设A(-2a,0),D(0,4b),由翻折的性质得:△ADO≌△EDO,根据全等三角形性质得OA=OE,结合题意可得E(2a,0),B(a,0),由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a,C(3a,4b),根据相似三角形判定和性质得,从而得FG=b,由三角形面积公式得ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.16.如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形。(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则的值为________ .(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2,依此类推,…,摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2019的坐标为________ .【答案】(1)(2)(,)【考点】探索图形规律【解析】(1)依题可得,CD=1,CB=2,∵∠BDC+∠DBC=90°,∠OBA+∠DBC=90°,∴∠BDC=∠OBA,又∵∠DCB=∠BOA=90°,∴△DCB∽△BOA,∴;(2)根据题意标好字母,如图,\n依题可得:CD=1,CB=2,BA=1,∴BD=,由(1)知,∴OB=,OA=,易得:△OAB∽△GFA∽△HCB,∴BH=,CH=,AG=,FG=,∴OH=+=,OG=+=,∴C(,),F(,),∴由点C到点F横坐标增加了,纵坐标增加了,……∴Fn的坐标为:(+n,+n),∴F2019的坐标为:(+×2019,+×2019)=(,405),故答案为:,(,405).\n【分析】(1)根据题意可得CD=1,CB=2,由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA,根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA,由相似三角形性质即可求得答案.(2)根据题意标好字母,根据题意可得CD=1,CB=2,BA=1,在Rt△DCB中,由勾股定理求得BD=,由(1)知,从而可得OB=,OA=,结合题意易得:△OAB∽△GFA∽△HCB,根据相似三角形性质可得BH=,CH=,AG=,FG=,从而可得C(,),F(,),观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了,纵坐标增加了,依此可得出规律:Fn的坐标为:(+n,+n),将n=2019代入即可求得答案.三、解答题(本题共有8小题,第17~19小题每小题6分,第20-21小题每小题8分,第22~23小题每小题10分,第24小题12分,共66分。请务必写出解答过程)17.计算:|-3|+(π-3)0-+tan45°【答案】解:原式=3+1-2+1=3【考点】算术平方根,实数的运算,0指数幂的运算性质,特殊角的三角函数值,实数的绝对值【解析】【分析】根据有理数的绝对值,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,二次根式一一计算即可得出答案.18.已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连结AE,AF.求证:AE=AF.【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D,∵BE=DF∴△ABE≌△ADF.\n∴AE=CF【考点】菱形的性质【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD,∠B=∠D,根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF,由全等三角形性质即可得证.19.如图,在4×4的方格子中,△ABC的三个顶点都在格点上,(1)在图1中画出线段CD,使CD⊥CB,其中D是格点,(2)在图2中画出平行四边形ABEC,其中E是格点.【答案】(1)解:如图,线段CD就是所求作的图形.(2)解:如图,\nABEC就是所求作的图形【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】(1)过点C作CD⊥CB,且点D是格点即可.(2)作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.20.某校为积极响应“南孔圣地,衢州有礼”城市品牌建设,在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程,要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。(1)请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。(2)在扇形统计图中,求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。(3)若该校共有学生1200人,估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人?【答案】(1)解:学生共有40人条形统计图如图所示.(2)解:选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为×360°=36°(3)解:参与“礼源”课程的学生约有1200×=240(人)【考点】用样本估计总体,扇形统计图,条形统计图\n【解析】【分析】(1)根据统计表和扇形统计图中的数据,由总数=频数÷频率,频数=总数×频率即可得答案.(2)由条形统计图中可得“礼行”学生人数,由×360°,计算即可求得答案.(3)由条形统计图知“礼源”的学生人数,根据×全校总人数,计算即可求得答案.21.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若DE=,∠C=30°,求的长。【答案】(1)证明:如图,连结OD.∵OC=OD,AB=AC,∴∠1=∠C,∠C=∠B,∴∠1=∠B,∴DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°,∴∠2+∠1=90°,∴∠ODE=90°,∴DE为⊙O的切线.(2)解:连结AD,∵AC为⊙O的直径.∴∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD,∴∠AOD=60°.\n∵DE=,∴BD=CD=2,∴OC=2,…6分∴AD=π×2=π【考点】圆周角定理,切线的判定,弧长的计算【解析】【分析】(1)连结OD,根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B,由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°,等量代换得∠2+∠1=90°,由平角定义得∠DOE=90°,从而可得证.(2)连结AD,由圆周角定理得∠ADC=90°,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中,由直角三角形性质得BD=CD=2,在Rt△ADC中,由直角三角形性质得OA=OC=2,再由弧长公式计算即可求得答案.22.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元)…190200210220…y(间)…65605550…(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象。(2)求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元)。若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元?【答案】(1)解:如图所示:\n(2)解:设y=kx+b(k≠0),把(200,60)和(220,50)代入,得,解得∴y=x+160(170≤x≤240)(3)解:w=x·y=x·(x+160)=x2+160x.∴对称轴为直线x==160, ∵a=<0,∴在170≤x≤240范围内,w随x的增大而减小.故当x=170时,w有最大值,最大值为12750元【考点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】(1)根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.(2)设y与x的函数表达式为y=kx+b,再从表中选两个点(200,60),(220,50)代入函数解析式,得到一个关于k、b的二元一次方程组,解之即可得出答案,由题意即可求得自变量取值范围.(3)设日营业额为w,由w=xy==-x2+160x,再由二次函数图像性质即可求得答案.23.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x=,y=,那么称点T是点A,B的融合点。例如:A(-1,8),B(4,-2),当点T(x,y)满是x==1,y==2时,则点T(1,2)是点A,B的融合点,\n(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点。(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点。①试确定y与x的关系式。②若直线ET交x轴于点H,当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标。【答案】(1)解:=2,=4∴点C(2,4)是点A,B的融合点(2)解:①由融合点定义知x=,得t=3x-3.又∵y=,得t=∴3x-3=,化简得y=2x-1.②要使△DTH为直角三角形,可分三种情况讨论:(i)当∠THD=90°时,如图1所示,设T(m,2m-1),则点E为(m,2m+3).由点T是点E,D的融合点,可得m=或2m-1=,\n解得m=,∴点E1(,6).(ii)当∠TDH=90°时,如图2所示,则点T为(3,5).由点T是点E,D的融合点,可得点E2(6,15).(iii)当∠HTD=90°时,该情况不存在.综上所述,符合题意的点为E1(,6),E2(6,15)【考点】定义新运算【解析】【分析】(1)由题中融合点的定义即可求得答案.(2)①由题中融合点的定义可得y=2x-1,.②结合题意分三种情况讨论:(ⅰ)∠THD=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅱ)∠TDH=90°时,画出图形,由融合点的定义求得点E坐标;(ⅲ)∠HTD=90°时,由题意知此种情况不存在.24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F、G。\n(1)求CD的长。(2)若点M是线段AD的中点,求的值。(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?【答案】(1)解:∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°.在Rt△ADC中,DC=AC·tan30°=2(2)解:易得,BC=6,BD=4.由DE∥AC,得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM.∵AM=DM,∴△DFM≌△AGM,∴AG=DF.由DE∥AC,得△BFE∽△BGA,∴∴(3)解:∵∠CPG=60°,过C,P,G作外接圆,圆心为Q,∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。① 当⊙Q与DE相切时,如图1,\n过Q点作QH⊥AC,并延长HQ与DE交于点P,连结QC,QG设⊙Q的半径QP=r则QH=r,r+r=2,解得r=.∴CG=×=4,AG=2.易知△DFM∽△AGM,可得,则∴DM=.② 当⊙Q经过点E时,如图2,过C点作CK⊥AB,垂足为K.设⊙Q的半径QC=QE=r,则QK=3-r.在Rt△EQK中,12+(-r)2=r2,解得r=,∴CG=×=易知△DFM∽△AGM,可得DM=③ 当⊙Q经过点D时,如图3,\n此时点M与点G重合,且恰好在点A处,可得DM=4.综上所述,当DM=或<DM<4时,满足条件的点P只有一个。【考点】圆的综合题,相似三角形的判定与性质,解直角三角形的应用【解析】【分析】(1)由角平分线定义得∠DAC=30°,在Rt△ADC中,根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长.(2)由题意易求得BC=6,BD=4,由全等三角形判定ASA得△DFM≌AGM,根据全等三角形性质得DF=AG,根据相似三角形判定得△BFE∽△BGA,由相似三角形性质得,将DF=AG代入即可求得答案.(3)由圆周角定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形,再分情况讨论:①当⊙Q与DE相切时,结合题意画出图形,过点Q作QH⊥AC,并延长HQ与DE交于点P,连结QC,QG,设⊙Q半径为r,由相似三角形的判定和性质即可求得DM长;②当⊙Q经过点E时,结合题意画出图形,过点C作CK⊥AB,设⊙Q半径为r,在Rt△EQK中,根据勾股定理求得r,再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长;③当⊙Q经过点D时,结合题意画出图形,此时点M与点G重合,且恰好在点A处,由此可得DM长.
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