2021年吉林省长春市中考数学试卷

2021年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2021•长春）﹣（﹣2）的值为（　　）A．12B．-12C．2D．﹣22．（3分）（2021•长春）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（　　）A．0.5286×1011B．5.286×1010C．52.86×109D．5286×1073．（3分）（2021•长春）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（　　）A．圆锥B．长方体C．球D．圆柱4．（3分）（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）A．8B．9C．10D．115．（3分）（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）第37页（共37页）\nA．30sinα米B．30sinα米C．30cosα米D．30cosα米6．（3分）（2021•长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（　　）A．35°B．45°C．55°D．65°7．（3分）（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）A．B．C．D．8．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）第37页（共37页）\nA．32B．2C．52D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•长春）分解因式：a2+2a＝　　．10．（3分）（2021•长春）不等式组2x＞-1x≤1的所有整数解为　　．11．（3分）（2021•长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为　　度．12．（3分）（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这段铁轨的长度为　　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）13．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2第37页（共37页）\n的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为　　．14．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为　　．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（2021•长春）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a=5+4．16．（6分）（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．17．（6分）（2021•长春）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？18．（7分）（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE=13AD，连结BE交AC于点M．第37页（共37页）\n（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为　　．19．（7分）（2021•长春）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．根据以上信息回答下列问题：（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多　　万吨．（2）扇形统计图中n的值为　　．（3）计算2020年水稻的产量．（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：12%+(-2%)+(-10%)3=0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．20．（7分）（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C第37页（共37页）\n均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．21．（8分）（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②第37页（共37页）\n如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）22．（9分）（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　　度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　　度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB=3，则线段AP的长为　　．23．（10分）（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC第37页（共37页）\n的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为　　；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．24．（12分）（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m=12时，点A的坐标是　　，抛物线与y轴交点的坐标是　　；（2）若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．第37页（共37页）\n第37页（共37页）\n2021年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2021•长春）﹣（﹣2）的值为（　　）A．12B．-12C．2D．﹣2【分析】直接根据相反数的定义可得答案．【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．故选：C．【点评】此题考查的是相反数的概念，掌握其概念是解决此题关键．2．（3分）（2021•长春）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（　　）A．0.5286×1011B．5.286×1010C．52.86×109D．5286×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：52860000000＝5.286×1010．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．3．（3分）（2021•长春）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（　　）第37页（共37页）\nA．圆锥B．长方体C．球D．圆柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得为圆柱．故选：D．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4．（3分）（2021•长春）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）A．8B．9C．10D．11【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＞0，解得m＜9．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．（3分）（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）第37页（共37页）\nA．30sinα米B．30sinα米C．30cosα米D．30cosα米【分析】根据sinα=BCAB求解．【解答】解：∵sinα=BCAB=BC30，∴BC＝30sinα米．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6．（3分）（2021•长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（　　）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．第37页（共37页）\n故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．7．（3分）（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．8．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）第37页（共37页）\nA．32B．2C．52D．3【分析】作BE⊥x轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出CFBE=DFDE=21，即可CF＝2BE，DF＝2DE，设B（kb，b），则C（1，﹣2b），代入y=-kx（x＞0）即可求得k＝2b，从而求得B的坐标为2．【解答】解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴CFBE=DFDE=CDBD，∵BC＝3BD，∴CFBE=DFDE=21，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（kb，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，第37页（共37页）\n∴k＝2b，∴B的横坐标为kb=2bb=2，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•长春）分解因式：a2+2a＝　a（a+2）　．【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．10．（3分）（2021•长春）不等式组2x＞-1x≤1的所有整数解为　0、1　．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣0.5，则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤1，第37页（共37页）\n∴不等式组的整数解为0、1，故答案为：0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．（3分）（2021•长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为　75　度．【分析】由“两直线平行，同位角性质”得到∠1＝∠E＝45°，再根据三角形的外角定理求解即可．【解答】解：如图，∠C＝30°，∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠1＝∠E＝45°，∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，故答案为：75．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．12．（3分）（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这段铁轨的长度为　100π　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留第37页（共37页）\nπ）【分析】根据圆的弧长计算公式l=nπr180，代入计算即可．【解答】解：圆弧长是：90π×200180=100π（米）．故答案是：100π．【点评】本题主要考查了弧长的计算公式，正确理解公式是解题的关键．13．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为　（3，1）　．【分析】过点B作BP⊥y轴于点P，由△ABO是等腰直角三角形，OA＝2知AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，继而得△BPO是等腰直角三角形，据此可知BP＝PO＝1，再根据题意可得答案．【解答】解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，第37页（共37页）\n∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．【点评】本题主要考查坐标与图形的变化—平移及等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质及平移的性质．14．（3分）（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为　﹣2+25　．【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，第37页（共37页）\n解得m＝﹣1-5（舍）或m＝﹣1+5．∴CD＝2m＝﹣2+25．故答案为：﹣2+25．【点评】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（2021•长春）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a=5+4．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2＝a﹣4，当a=5+4时，原式=5+4﹣4=5．【点评】本题考查的是整式的混合运算，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．16．（6分）（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：第37页（共37页）\n共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，∴小明获胜的概率为39=13．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（2021•长春）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，根据数量＝总价÷单价，结合用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，依题意得：420x=300x-2，解得：x＝7，经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意．答：每千克有机大米的售价为7元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．（7分）（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE=13AD，连结BE交AC于点M．第37页（共37页）\n（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为　14　．【分析】（1）由菱形的性质可得△AEM∽△CBM，再由AMCM=AEBC求解．（2）由tan∠MBO=MOBO求解．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴AMCM=AEBC，∵AE=13AD，∴AE=13BC，∴AMCM=AEBC=13，∴AM=13CM=14AC＝1．（2）∵AO=12AC＝2，BO=12BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM=12AO＝1，∴tan∠MBO=OMBO=14．第37页（共37页）\n故答案为：14．【点评】本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法．19．（7分）（2021•长春）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．根据以上信息回答下列问题：（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多　85　万吨．（2）扇形统计图中n的值为　15　．（3）计算2020年水稻的产量．（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：12%+(-2%)+(-10%)3=0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．【分析】（1）2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可；（2）1减去另外两个百分数即可求解；（3）根据水稻产量下降约2%求解即可；（4）因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．第37页（共37页）\n【解答】解：（1）792﹣707＝85（万吨），故答案为：85；（2）1﹣82.5%﹣2.5%＝15%，∴n＝15，故答案为：15；（3）147×（1﹣2%）＝144.06（万吨），答：2020年水稻的产量为144.06万吨；（4）正确的计算方法为：（792+144.06+24﹣707﹣147﹣27）÷（707+147+27）×100%≈9%，因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．20．（7分）（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．第37页（共37页）\n【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB=10．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC=10．（3）取△ABC内心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．21．（8分）（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？第37页（共37页）\n②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①利用前面求得的函数表达式求出x＝12时，y的值即可得出箭尺的读数；②利用前面求得的函数表达式求出y＝90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午8：00，即可求解．【解答】解：【探索发现】①如图②，第37页（共37页）\n②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则b=62k+b=18，解得：k=6b=6，∴y＝6x+6；结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．【点评】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．22．（9分）（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　45　度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　60　度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：第37页（共37页）\n（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB=3，则线段AP的长为　23-2　．【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE=33AB＝1，AE＝2BE＝2，AN=3PN=3a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．【解答】操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF=12∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；第37页（共37页）\n操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，第37页（共37页）\n∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE=33AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN=3PN=3a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴3a+a＝2，解得：a=3-1，∴AP＝2a＝23-2，故答案为：23-2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF＝45°是解题的关键，属于中考常考题型．23．（10分）（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、第37页（共37页）\nA′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为　2　；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．【分析】（1）由勾股定理求解．（2）分类讨论点P在AB及BC上运动两种情况．（3）分别求出点A'落在AB与BC上两个临界值求解．（4）分类讨论点P在AB及BC上两种情况，通过添加辅助线求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2-BC2=4，∴AD=12AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB=5-t(0＜t≤5)t-5(5＜t＜8)．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，第37页（共37页）\n∵AP＝t，AD＝2，cosA=45，∴在Rt△APD中，cosA=APAD=t2=45，∴t=85．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cosA=45，∴在Rt△APD中，cosA=ADAP=2t=45，∴t=52．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，第37页（共37页）\n∴85＜t＜52时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE=12AD＝1，∵cosA=AEAP=1t=45，∴t=54．如图，当5＜t＜8时，第37页（共37页）\n∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD=12AC=2，CP＝8﹣t，tan∠DPC=43，∴tan∠DPC=DCPC=28-t=43，∴t=132．综上所述，t=54或132．【点评】本题考查三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握特殊三角形的性质及解直角三角形的方法，通过分类讨论求解．24．（12分）（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m=12时，点A的坐标是　（12，1）　，抛物线与y轴交点的坐标是　（0，32）　；（2）若点A在第一象限，且OA=5第37页（共37页）\n，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．【分析】（1）将m=12代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求得答案；（2）运用勾股定理建立方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；（4）分情况讨论：当m＞0时，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+1-m，解方程即可；若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；当m＜0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，无解．【解答】解：（1）当m=12时，y＝2（x-12）2+1，∴顶点A（12，1），第37页（共37页）\n令x＝0，得y=32，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，32），故答案为：（12，1），（0，32）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA=5，∴m2+（2m）2＝（5）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解得：m＝1（舍）或m=-32，②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解得：m＝3，综上所述，m的值为-32或3；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+1-m，（x＝m-1-m不符合题意，舍去），∴B（m+1-m，2），C（m，2m），第37页（共37页）\n根据题意，得2m＝m+1-m，解得：m=5-12，若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+1-m，解得：m=11±1318，经检验，m=11+1318不符合题意，舍去，∴m=11-1318，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m±1-2m，∴|m+1-2m|＝2或|m-1-2m|＝2，解得：m＝±6-3，综上所述，m的值为5-12或11-1318或±6-3．第37页（共37页）\n【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，矩形性质等，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．第37页（共37页）