2021年甘肃省中考数学试卷
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2021年甘肃省白银市中考数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项。1.(3分)(2021•白银)3的倒数是 A.B.3C.D.2.(3分)(2021•白银)2021年是农历辛丑牛年,习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神,某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,下面的剪纸作品是轴对称图形的是 A.B.C.D.3.(3分)(2021•白银)下列运算正确的是 A.B.C.D.4.(3分)(2021•白银)中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示,截止2021年3月底,我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂,约占全球产能的一半,必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为 A.B.C.D.5.(3分)(2021•白银)将直线向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为 A.B.C.D.第39页(共39页)\n6.(3分)(2021•白银)如图,直线,的顶点在上,若,则 A.B.C.D.7.(3分)(2021•白银)如图,点,,,,在上,,,则 A.B.C.D.8.(3分)(2021•白银)我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有人,辆车,则可列方程组为 A.B.C.D.第39页(共39页)\n9.(3分)(2021•白银)对于任意的有理数,,如果满足,那么我们称这一对数,为“相随数对”,记为.若是“相随数对”,则 A.B.C.2D.310.(3分)(2021•白银)如图1,在中,,于点.动点从点出发,沿折线方向运动,运动到点停止.设点的运动路程为,的面积为,与的函数图象如图2,则的长为 A.3B.6C.8D.9二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分。11.(3分)(2021•白银)因式分解: .12.(3分)(2021•白银)关于的不等式的解集是 .13.(3分)(2021•白银)关于的方程有两个相等的实数根,则的值是 .14.(3分)(2021•白银)开学前,根据学校防疫要求,小芸同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:体温36.336.436.536.636.736.8天数(天233411这14天中,小芸体温的众数是 .15.(3分)(2021•白银)如图,在矩形中,是边上一点,,第39页(共39页)\n,是边的中点,,则 .16.(3分)(2021•白银)若点,在反比例函数的图象上,则 .(填“”或“”或“”17.(3分)(2021•白银)如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一圆心角为的扇形,则此扇形的面积为 .18.(3分)(2021•白银)一组按规律排列的代数式:,,,,,则第个式子是 .三、解答题:本大题共5小题,共26分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19.(4分)(2021•白银)计算:.20.(4分)(2021•白银)先化简,再求值:,其中.21.(6分)(2021•白银)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,是弦上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);第39页(共39页)\n①作线段的垂直平分线,分别交于点,于点,连接,;②以点为圆心,长为半径作弧,交于点,两点不重合),连接,,.(2)直接写出引理的结论:线段,的数量关系.22.(6分)(2021•白银)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”,始建于明嘉靖十四年年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与崆峒山的凌空塔遥相呼应,被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:方案设计:如图2,宝塔垂直于地面,在地面上选取,两处分别测得和的度数,,在同一条直线上).数据收集:通过实地测量:地面上,两点的距离为,,.问题解决:求宝塔的高度(结果保留一位小数).参考数据:,,,,,.根据上述方案及数据,请你完成求解过程.第39页(共39页)\n23.(6分)(2021•白银)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他完全相同,每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大量重复实验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.(1)请你估计箱子里白色小球的个数;(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).四、解答题:本大题共5小题,共40分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。24.(7分)(2021•白银)为庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了以“学习百年党史,汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分成,,,,五个等级,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:第39页(共39页)\n等级成绩(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩,频数分布直方图中 ;(2)补全学生成绩频数分布直方图;(3)所抽取学生成绩的中位数落在 等级;(4)若成绩在80分及以上为优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀的学生有多少人?25.(7分)(2021•白银)如图1,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示.(1)小刚家与学校的距离为 ,小刚骑自行车的速度为 ;第39页(共39页)\n(2)求小刚从图书馆返回家的过程中,与的函数表达式;(3)小刚出发35分钟时,他离家有多远?26.(8分)(2021•白银)如图,内接于,是的直径的延长线上一点,.过圆心作的平行线交的延长线于点.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的半径及的值.27.(8分)(2021•白银)问题解决:如图1,在矩形中,点,分别在,边上,,于点.(1)求证:四边形是正方形;第39页(共39页)\n(2)延长到点,使得,判断的形状,并说明理由.类比迁移:如图2,在菱形中,点,分别在,边上,与相交于点,,,,,求的长.28.(10分)(2021•白银)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与坐标轴交于,两点,直线交轴于点.点为直线下方抛物线上一动点,过点作轴的垂线,垂足为,分别交直线,于点,.(1)求抛物线的表达式;(2)当时,连接,求的面积;(3)①是轴上一点,当四边形是矩形时,求点的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点,满足,求周长的最小值.第39页(共39页)\n2021年甘肃省白银市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项。1.(3分)(2021•白银)3的倒数是 A.B.3C.D.【分析】根据倒数的定义进行答题.【解答】解:设3的倒数是,则,解得,.故选:.【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.2.(3分)(2021•白银)2021年是农历辛丑牛年,习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神,某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”,下面的剪纸作品是轴对称图形的是 A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形的概念判断求解.【解答】解:.不是轴对称图形,故此选项不合题意;.是轴对称图形,故此选项符合题意;第39页(共39页)\n.不是轴对称图形,故此选项不合题意;.不是轴对称图形,故此选项不合题意;故选:.【点评】本题考查了轴对称图形,轴对称图形的判断方法:把某个图形沿某条直线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个图形是轴对称图形.3.(3分)(2021•白银)下列运算正确的是 A.B.C.D.【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断;根据二次根式的乘法法则对进行判断;根据二次根式的除法法则对进行判断.【解答】解:、原式,所以选项的计算错误;、原式,所以选项的计算错误;、原式,所以选项的计算正确;、原式,所以选项的计算错误.故选:.【点评】本题考查了二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则.4.(3分)(2021•白银)中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示,截止2021年3月底,我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂,约占全球产能的一半,必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50亿”用科学记数法表示为 A.B.C.D.第39页(共39页)\n【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数.【解答】解:将50亿用科学记数法表示为.故选:.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值.5.(3分)(2021•白银)将直线向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为 A.B.C.D.【分析】根据“上加下减”的原则求解即可.【解答】解:将直线向下平移2个单位长度,所得的函数解析式为.故选:.【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键.6.(3分)(2021•白银)如图,直线,的顶点在上,若,则 A.B.C.D.第39页(共39页)\n【分析】根据角的和差得到,再根据两直线平行,同位角相等即可得解.【解答】解:,,,,,故选:.【点评】此题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质定理是解题的关键.7.(3分)(2021•白银)如图,点,,,,在上,,,则 A.B.C.D.【分析】连接、,可得,由圆周角定理即可得.【解答】解:连接、,,,第39页(共39页)\n,.故选:.【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.8.(3分)(2021•白银)我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问:人与车各几何?”其大意如下:有若干人要坐车,如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行,问人与车各多少?设共有人,辆车,则可列方程组为 A.B.C.D.【分析】设共有人,辆车,根据“如果每3人坐一辆车,那么有2辆空车;如果每2人坐一辆车,那么有9人需要步行”,即可得出关于,的二元一次方程组,此题得解.【解答】解:设共有人,辆车,依题意得:.故选:.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.9.(3分)(2021•白银)对于任意的有理数,,如果满足第39页(共39页)\n,那么我们称这一对数,为“相随数对”,记为.若是“相随数对”,则 A.B.C.2D.3【分析】根据是“相随数对”得出,再将原式化成,最后整体代入求值即可.【解答】解:是“相随数对”,,,即,,故选:.【点评】本题考查代数式求值,理解“相随数对”的意义是正确计算的关键.10.(3分)(2021•白银)如图1,在中,,于点.动点从点出发,沿折线方向运动,运动到点停止.设点的运动路程为,的面积为,与的函数图象如图2,则的长为 第39页(共39页)\nA.3B.6C.8D.9【分析】先根据结合图2得出,进而利用勾股定理得,,再由运动结合的面积的变化,得出点和点重合时,的面积最大,其值为3,即,进而建立二元二次方程组求解,即可得出结论.【解答】解:由图2知,,,,,,,,在中,①,设点到的距离为,,动点从点出发,沿折线方向运动,当点运动到点时,的面积最大,即,由图2知,的面积最大为3,,②,第39页(共39页)\n①②得,,,(负值舍去),③,将③代入②得,,或,,,,故选:.【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的面积公式,判断出和点和点重合时,的面积为3是解本题的关键.二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分。11.(3分)(2021•白银)因式分解: .【分析】提取公因式进行因式分解.【解答】解:,故答案为:.【点评】本题考查提公因式法进行因式分解,掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键.12.(3分)(2021•白银)关于的不等式的解集是 .第39页(共39页)\n【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解:移项,得:,合并同类项,得:,系数化为1,得:,故答案为:.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向要改变.13.(3分)(2021•白银)关于的方程有两个相等的实数根,则的值是 1 .【分析】根据根的判别式△,即可得出关于的一元一次方程,解之即可得出值.【解答】解:关于的方程有两个相等的实数根,△,解得:.故答案为:1.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.14.(3分)(2021•白银)开学前,根据学校防疫要求,小芸同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:体温36.336.436.536.636.736.8天数(天233411这14天中,小芸体温的众数是 36.6 .第39页(共39页)\n【分析】根据众数的定义就可解决问题.【解答】解:36.6出现的次数最多有4次,所以众数是36.6.故答案为:36.6.【点评】本题主要考查了众数的定义,正确理解众数的意义是解决本题的关键.15.(3分)(2021•白银)如图,在矩形中,是边上一点,,,是边的中点,,则 6 .【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出长,再根据矩形的性质得出,,然后解直角三角形即可.【解答】解:是边的中点,,,,,又四边形是矩形,,,,在中,,故答案为:6.第39页(共39页)\n【点评】本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形,关键是利用直角三角形斜边上的中线求出的长.16.(3分)(2021•白银)若点,在反比例函数的图象上,则 .(填“”或“”或“”【分析】反比例函数的图象在一、三象限,在每个象限内,随的增大而减小,判断出的值的大小关系.【解答】解:,反比例函数的图象在一、三象限,且在每个象限内随的增大而减小,点,同在第三象限,且,,故答案为.【点评】本题考查反比例函数的图象和性质,掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键,17.(3分)(2021•白银)如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一圆心角为的扇形,则此扇形的面积为 .【分析】连接,根据圆周角定理得出为圆的直径,解直角三角形求出,根据扇形面积公式求出即可.【解答】解:连接,第39页(共39页)\n从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形,即,为直径,即,(扇形的半径相等),,,阴影部分的面积是.故答案为:.【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算,能熟记扇形的面积公式是解此题的关键.18.(3分)(2021•白银)一组按规律排列的代数式:,,,,,则第个式子是 .【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中的次数是式子的序号;第二项的符号:第奇数项是正号,第偶数项是负号;第二项中的次数是序号的2倍减1,据此即可写出.【解答】解:观察代数式,得到第个式子是:.故答案为:.【点评】本题考查了探索规律,根据所排列的代数式,总结出规律是解题的关键.三、解答题:本大题共5小题,共26分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第39页(共39页)\n19.(4分)(2021•白银)计算:.【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可.【解答】解:原式.【点评】本题考查了零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,牢记是解题的关键.20.(4分)(2021•白银)先化简,再求值:,其中.【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简,再将的值代入求出答案.【解答】解:原式,当时,原式.【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确分解因式是解题关键.21.(6分)(2021•白银)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,是弦上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);①作线段的垂直平分线,分别交于点,于点,连接,;②以点为圆心,长为半径作弧,交于点,两点不重合),连接,,.(2)直接写出引理的结论:线段,的数量关系.第39页(共39页)\n【分析】(1)①根据要求作出图形即可.②根据要求作出图形即可.(2)证明可得结论.【解答】解:(1)①如图,直线,线段,线段即为所求.②如图,点,线段,,即为所求作.(2)结论:.理由:垂直平分线段,,,,,,,.,,在和中,第39页(共39页)\n,,.【点评】本题考查作图复杂作图,线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握五种基本作图,正确寻找全等三角形解决问题.22.(6分)(2021•白银)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”,始建于明嘉靖十四年年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与崆峒山的凌空塔遥相呼应,被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:方案设计:如图2,宝塔垂直于地面,在地面上选取,两处分别测得和的度数,,在同一条直线上).数据收集:通过实地测量:地面上,两点的距离为,,.问题解决:求宝塔的高度(结果保留一位小数).参考数据:,,,,,.根据上述方案及数据,请你完成求解过程.第39页(共39页)\n【分析】设设,在中,可得出,在中,,再由,列式计算即可得出答案.【解答】解:设,在中,,在中,,,,解得,.答:宝塔的高度约为.【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.23.(6分)(2021•白银)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他完全相同,每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大量重复实验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.(1)请你估计箱子里白色小球的个数;(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1第39页(共39页)\n个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).【分析】(1)设白球有个,根据多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75,据此利用概率公式列出关于的方程,解之即可;(2)画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.【解答】解:(1)通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.75左右,估计摸到红球的概率为0.75,设白球有个,根据题意,得:,解得,经检验是分式方程的解,估计箱子里白色小球的个数为1;(2)画树状图为:共有16种等可能的结果数,其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6,两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为.【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果,再从中选出符合事件或的结果数目,然后利用概率公式求事件或的概率.四、解答题:本大题共5小题,共40分。解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第39页(共39页)\n24.(7分)(2021•白银)为庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了以“学习百年党史,汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分成,,,,五个等级,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:等级成绩(1)本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩,频数分布直方图中 ;(2)补全学生成绩频数分布直方图;(3)所抽取学生成绩的中位数落在 等级;(4)若成绩在80分及以上为优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀的学生有多少人?【分析】(1)由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数,总人数乘以第39页(共39页)\n等级对应百分比可得的值;(2)总人数乘以等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形;(3)根据中位数的定义求解即可;(4)总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可.【解答】解:(1)一共调查学生人数为,等级人数,故答案为:200,16;(2)等级人数为,补全频数分布直方图如下:(3)由于一共有200个数据,其中位数是第100、101个数据的平均数,而第100、101个数据都落在等级,所以所抽取学生成绩的中位数落在等级;故答案为:.(4)估计成绩优秀的学生有(人.【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.25.(7分)(2021•白银)如图1第39页(共39页)\n,小刚家、学校、图书馆在同一条直线上,小刚骑自行车匀速从学校到图书馆,到达图书馆还完书后,再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计).小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示.(1)小刚家与学校的距离为 3000 ,小刚骑自行车的速度为 ;(2)求小刚从图书馆返回家的过程中,与的函数表达式;(3)小刚出发35分钟时,他离家有多远?【分析】(1)根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为,小刚骑自行车的速度为;(2)先求出小刚从图书馆返回家的时间,进而得出总时间,再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式;(3)把代入(2)的结论解答即可.【解答】解:(1)由题意得,小刚家与学校的距离为,小刚骑自行车的速度为:,故答案为:3000;200;(2)小刚从图书馆返回家的时间:,总时间:,设小刚从图书馆返回家的过程中,与的函数表达式为,第39页(共39页)\n把,代入得:,解得,;(3)小刚出发35分钟时,即当时,.答:此时他离家.【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答.26.(8分)(2021•白银)如图,内接于,是的直径的延长线上一点,.过圆心作的平行线交的延长线于点.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的半径及的值.【分析】(1)由等腰三角形的性质与已知条件得出,,由圆周角定理可得,进而得到,即可得出结论;(2)根据平行线分线段成比例定理得到,设,则,,在中,根据勾股定理求出,即的半径为3,由平行线的性质得到,在中,可求得,即.第39页(共39页)\n【解答】(1)证明:,,,,是的直径,,,,即,,是的半径,是的切线;(2)解:,,,,,设,则,,,是直角三角形,在中,,,第39页(共39页)\n解得,,,即的半径为3,,,在中,,.【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识;熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键.27.(8分)(2021•白银)问题解决:如图1,在矩形中,点,分别在,边上,,于点.(1)求证:四边形是正方形;(2)延长到点,使得,判断的形状,并说明理由.类比迁移:如图2,在菱形中,点,分别在,边上,与相交于点,,,,,求的长.【分析】(1)根据矩形的性质得,由等角的余角相等可得,利用可得,由全等三角形的性质得,即可得四边形是正方形;第39页(共39页)\n(2)根据矩形的性质得,,利用可得,由全等三角形的性质得,由已知可得,即可得是等腰三角形;(3)延长到点,使,连接,利用可得,由全等三角形的性质得,,由已知可得,可得是等边三角形,则,等量代换可得.【解答】(1)证明:四边形是矩形,,,,,,,,,,四边形是矩形,四边形是正方形;第39页(共39页)\n(2)解:是等腰三角形,理由:四边形是矩形,,,,,,,,是等腰三角形;(3)解:延长到点,使,连接,四边形是菱形,,,,,,,,,第39页(共39页)\n,是等边三角形,,.【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,等边三角形判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.28.(10分)(2021•白银)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与坐标轴交于,两点,直线交轴于点.点为直线下方抛物线上一动点,过点作轴的垂线,垂足为,分别交直线,于点,.(1)求抛物线的表达式;(2)当时,连接,求的面积;(3)①是轴上一点,当四边形是矩形时,求点的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点,满足,求周长的最小值.【分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)求出点的坐标,可得结论.第39页(共39页)\n(3)①过点作于,证明,推出,,由,可得,由题意直线的解析式为,设,,根据,构建方程求解,可得结论.②因为的周长,所以要使得的周长最小,只要的值最小,因为,所以当点在上时,的值最小.【解答】解:(1)抛物线过,两点,,解得,.(2),,,,轴,轴,在和中,,即,,,第39页(共39页)\n当时,,,即,,.①如图1中,过点作于,四边形是矩形,,,,,,,,,第39页(共39页)\n,,,直线的解析式为,设,,由得到,,,,,,,,,.②如图2中,第39页(共39页)\n,,的周长,要使得的周长最小,只要的值最小,,当点在上时,的值最小,,的周长的最小值为.【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.第39页(共39页)
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