2021年浙江省湖州市中考数学试卷

2021年浙江省湖州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、错选均不给分。1．（3分）（2021•湖州）实数的绝对值是　　A．B．2C．D．2．（3分）（2021•湖州）化简的正确结果是　　A．4B．C．D．3．（3分）（2021•湖州）不等式的解集是　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•湖州）下列事件中，属于不可能事件的是　　A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球5．（3分）（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．6．（3分）（2021•湖州）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是　　A．B．C．D．7．（3分）（2021•湖州）已知，是两个连续整数，，则，分别是　　A．，B．，0C．0，1D．1，28．（3分）（2021•湖州）如图，已知在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，；②过点，作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．9．（3分）（2021•湖州）如图，已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是　　A．B．C．D．10．（3分）（2021•湖州）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是　　A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2021•湖州）计算：　　．第35页（共35页）\n12．（4分）（2021•湖州）如图，已知在中，，，，则的值是　　．13．（4分）（2021•湖州）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是　　．14．（4分）（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星，，，，是正五角星的五个顶点），则图中的度数是　　度．15．（4分）（2021•湖州）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是　　．16．（4分）（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是　　．第35页（共35页）\n三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）（2021•湖州）计算：．18．（6分）（2021•湖州）解分式方程：．19．（6分）（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．20．（8分）（2021•湖州）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：．党史宣讲；．歌曲演唱；．校刊编撰；．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表小组类别第35页（共35页）\n人数（人10155根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求和的值；（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：小组类别平均用时（小时）2.5323求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．21．（8分）（2021•湖州）如图，已知是的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交于点．若，求的长．22．（10分）（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．第35页（共35页）\n（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元人80元人160元人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？23．（10分）（2021•湖州）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结，．（1）如图1，若，，，，求的长．（2）过点作，交延长线于点，如图2所示，若，，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）（2021•湖州）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数第35页（共35页）\n图象上的一个动点，连结，的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴，于点，连接．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．第35页（共35页）\n2021年浙江省湖州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、错选均不给分。1．（3分）（2021•湖州）实数的绝对值是　　A．B．2C．D．【分析】根据数轴上表示的一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，即可得出答案．【解答】解：实数的绝对值是：2．故选：．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．2．（3分）（2021•湖州）化简的正确结果是　　A．4B．C．D．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根的区别．3．（3分）（2021•湖州）不等式的解集是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．【分析】不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解集．【解答】解：不等式，移项合并得：，解得：．故选：．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键．4．（3分）（2021•湖州）下列事件中，属于不可能事件的是　　A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．【解答】解：、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．第35页（共35页）\n5．（3分）（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是　　A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：该长方体表面展开图可能是选项．故选：．【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．6．（3分）（2021•湖州）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．【分析】根据圆周角定理得出即可得到结果．【解答】解：点为的外心，，，，故选：．【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．7．（3分）（2021•湖州）已知，是两个连续整数，，则，分别是　　A．，B．，0C．0，1D．1，2【分析】先估算出的范围，再得到的范围即可．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．（3分）（2021•湖州）如图，已知在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，；②过点，作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．【分析】利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，，则可对选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对选项进行判断；根据三角形中位线的性质对选项进行判断；由于，，，则可对选项进行判断．【解答】解：由作法得垂直平分，，，，所以选项不符合题意；平分，，所以选项不符合题意；，，为的中位线，，所以选项不符合题意；，而，，，所以选项符合题意．第35页（共35页）\n故选：．【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形中位线性质．9．（3分）（2021•湖州）如图，已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是　　A．B．C．D．【分析】由临界状态确定出的运动路径，明确点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，再分别计算两部分面积即可．【解答】解：如图，当与重合时，点关于的对称点为，当与重合时，点关于的对称点为，点从点运动到点，则线段扫过的区域为：扇形和，在中，，，，，，，第35页（共35页）\n为等边三角形，，作于，为等边三角形，，，，线段扫过的区域的面积为：．故选：．【点评】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段扫过的图形．10．（3分）（2021•湖州）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为，有下列结论：①当时，；②当时，；③第35页（共35页）\n当时，；④当时，．其中正确结论的个数是　　A．1B．2C．3D．4【分析】不妨假设，利用图象法一一判断即可．【解答】解：不妨假设．①如图1中，，满足，，，故①错误．②当,,满足，则，故②错误，③，，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，，故③正确，④如图1中，，满足，但是，故④错误．第35页（共35页）\n故选：．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2021•湖州）计算：　1　．【分析】直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：．故答案为：1．【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．（4分）（2021•湖州）如图，已知在中，，，，则的值是　　．【分析】根据在直角三角形中，代值计算即可得出答案．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦是解题的关键．13．（4分）（2021•湖州）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1第35页（共35页）\n张奖券恰好中奖的概率是　　．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．（必然事件）；（不可能事件）．14．（4分）（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星，，，，是正五角星的五个顶点），则图中的度数是　36　度．【分析】正五角星中，五边形是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得，然后根据三角形的内角和定理可求得的度数．【解答】解：如图，正五角星中，五边形是正五边形，，第35页（共35页）\n，．故答案是：36．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形是正五边形是解题关键．15．（4分）（2021•湖州）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定，若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是　2或　．【分析】由题意是直角三角形，当对称轴或时,可知一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点,当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以点为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，利用图象法求解即可．【解答】解：是直角三角形，当对称轴或时，一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，且点在对称轴上的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点,当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形（如图所示）．第35页（共35页）\n观察图象可知，或4，或，故答案为：2或．【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．16．（4分）（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是　　．【分析】如图，设．利用面积关系求出，再利用勾股定理求出，利用三角函数的性质求出，，可得结论．第35页（共35页）\n【解答】解：如图，设．由题意，，在中，，，，，，，，，，，．故答案为：．第35页（共35页）\n【点评】本题考查图形的拼剪，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是求出的长，属于中考常考题型．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）（2021•湖州）计算：．【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．18．（6分）（2021•湖州）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，解得：，当时，，分式方程的解为．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．第35页（共35页）\n【分析】（1）将代入抛物线解析式即可求出的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线的解析式为，将点，的坐标代入即可．【解答】解：（1）抛物线与轴交于另一点，，，，顶点的坐标为，（2）设直线的解析式为，图象过，，，解得，直线的解析式为．【点评】第35页（共35页）\n本题主要考查了待定系数法求函数的关系式，以及二次函数顶点式的转化，属于常考题型．20．（8分）（2021•湖州）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：．党史宣讲；．歌曲演唱；．校刊编撰；．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表小组类别人数（人10155根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求和的值；（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：小组类别平均用时（小时）2.5323求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．【分析】（1）根据组人数和百分比可以求出四个小组所有成员总人数，进而可得和的值；（2）先求出的百分比再乘以360度，即可求扇形统计图中所对应的圆心角度数；（3）根据加权平均数的公式即可求出各小组平均每人参与活动的时间．第35页（共35页）\n【解答】解：（1）由题意可知：四个小组所有成员总人数是（人，，，；（2），扇形统计图中所对应的圆心角度数为；（3）（小时），这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．【点评】本题考查了扇形统计图，加权平均数，解决本题的关键是掌握扇形统计图．21．（8分）（2021•湖州）如图，已知是的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交于点．若，求的长．【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得的值，进而可得的长．【解答】解：（1）如图，连接，第35页（共35页）\n，，是的直径，，；（2），，，，，，且是直径，，．【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．22．（10分）（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙第35页（共35页）\n可游玩景点和门票价格100元人80元人160元人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【分析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式计算，即可求景区六月份的门票总收入；②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，由题意可得，化简得，然后根据二次函数的性质即可得结果．【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为，由题意，得，解这个方程，得，（舍去），答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为；（2）①由题意，得（万元）．第35页（共35页）\n答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，由题意，得，化简，得，，当时，取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用．23．（10分）（2021•湖州）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结，．（1）如图1，若，，，，求的长．（2）过点作，交延长线于点，如图2所示，若，，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证是等边三角形，为中点，通过等边三角形三线合一，得到第35页（共35页）\n，解三角形即可；（2）借助中点和平行，可证得，得出，，再证明，即可得出结论；（3）由（2）总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题．【解答】解：（1），，，，，是等边三角形，，是的中点，，在中，，，，（2）证明：连接，，，第35页（共35页）\n在和中，，，，，，又，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，（3）存在这样的，．第35页（共35页）\n理由如下：作交延长线于，连接，由（2）同理可得，，，当时，，，作于，，，点，重合，，，，同（2）可证：，，存在，使得【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角函数的计算等知识，构造出全等三角形是解决（2）的关键，类比（2）来解决（3）是解决几何题常用的方法，体现了变中不变的思想．第35页（共35页）\n24．（12分）（2021•湖州）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结，的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴，于点，连接．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点的坐标为，则当点时，点的坐标为，得出，，由平行四边形的判定可得出结论；②过点作轴于点，如图1，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．第35页（共35页）\n【解答】（1）①证明：设点的坐标为，则当点时，点的坐标为，，轴，，四边形是平行四边形；②解：过点作轴于点，如图1，轴，，，，当时，，即，；（2）不改变．第35页（共35页）\n理由如下：过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，四边形是平行四边形，，，，，又，，，，，，第35页（共35页）\n解得，，异号，，，，对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．第35页（共35页）