2021年浙江省温州市中考数学试卷
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2021年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均不给分1.(4分)(2021•温州)计算的结果是 A.4B.C.1D.2.(4分)(2021•温州)直六棱柱如图所示,它的俯视图是 A.B.C.D.3.(4分)(2021•温州)第七次全国人口普查结果显示,我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据218000000用科学记数法表示为 A.B.C.D.4.(4分)(2021•温州)如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图.若大学生有60人,则初中生有 第33页(共33页)\nA.45人B.75人C.120人D.300人5.(4分)(2021•温州)解方程,以下去括号正确的是 A.B.C.D.6.(4分)(2021•温州)如图,图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,位似比为,点,的对应点分别为点,.若,则的长为 A.8B.9C.10D.157.(4分)(2021•温州)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米元;超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为 A.元B.元C.元D.元8.(4分)(2021•温州)图1是第七届国际数学教育大会会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形.若,,则的值为 第33页(共33页)\nA.B.C.D.9.(4分)(2021•温州)如图,点,在反比例函数的图象上,轴于点,轴于点,轴于点,连结.若,,,则的值为 A.2B.C.D.10.(4分)(2021•温州)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点,连结,延长交于点.若,则的值为 第33页(共33页)\nA.B.C.D.二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.(5分)(2021•温州)分解因式: .12.(5分)(2021•温州)一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球,其中5个红球,7个白球,9个黄球.从中任意摸出1个球是红球的概率为 .13.(5分)(2021•温州)若扇形的圆心角为,半径为17,则扇形的弧长为 .14.(5分)(2021•温州)不等式组的解集为 .15.(5分)(2021•温州)如图,与的边相切,切点为.将绕点按顺时针方向旋转得到△,使点落在上,边交线段于点.若,则 度.16.(5分)(2021•温州)图1是邻边长为2和6的矩形,它由三个小正方形组成,将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形(如图,则图1中所标注的的值为 ;记图1中小正方形的中心为点,,,图2中的对应点为点,,.以大正方形的中心为圆心作圆,则当点,,在圆内或圆上时,圆的最小面积为 .第33页(共33页)\n三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(10分)(2021•温州)(1)计算:.(2)化简:.18.(8分)(2021•温州)如图,是的角平分线,在上取点,使.(1)求证:;(2)若,,求的度数.19.(8分)(2021•温州)某校将学生体质健康测试成绩分为,,,四个等级,依次记为4分,3分,2分,1分.为了解学生整体体质健康状况,拟抽样进行统计分析.(1)以下是两位同学关于抽样方案的对话:小红:“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩.”小明:“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩.”根据如图学校信息,请你简要评价小红、小明的抽样方案.如果你来抽取120名学生的测试成绩,请给出抽样方案.(2第33页(共33页)\n)现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图,请求出这组数据的平均数、中位数和众数.20.(8分)(2021•温州)如图中与的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案,它由7个图形组成,请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形(顶点均在格点上).(1)选一个四边形画在图2中,使点为它的一个顶点,并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.(2)选一个合适的三角形,将它的各边长扩大到原来的倍,画在图3中.21.(10分)(2021•温州)已知抛物线经过点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.(2)直线交抛物线于点,,为正数.若点在抛物线上且在直线下方(不与点,重合),分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围.22.(10分)(2021•温州)如图,在中,,是对角线上的两点(点在点左侧),且.(1)求证:四边形是平行四边形;第33页(共33页)\n(2)当,,时,求的长.23.(12分)(2021•温州)某公司生产的一种营养品信息如表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价包装1千克45元包装0.25千克12元(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出.若的数量不低于的数量,则为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?24.(14分)(2021•温州)如图,在平面直角坐标系中,经过原点,分别交轴、第33页(共33页)\n轴于点,,连结.直线分别交于点,(点在左侧),交轴于点,连结.(1)求的半径和直线的函数表达式;(2)求点,的坐标;(3)点在线段上,连结.当与的一个内角相等时,求所有满足条件的的长.第33页(共33页)\n2021年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选均不给分1.(4分)(2021•温州)计算的结果是 A.4B.C.1D.【分析】表示2个相乘,根据幂的意义计算即可.【解答】解:,故选:.【点评】本题考查了有理数的乘方,掌握幂的意义是解题的关键.2.(4分)(2021•温州)直六棱柱如图所示,它的俯视图是 A.B.C.D.【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可.【解答】解:从上面看这个几何体,看到的图形是一个正六边形,因此选项第33页(共33页)\n中的图形符合题意,故选:.【点评】本题考查简单几何体的三视图,理解视图的意义是正确判断的前提.3.(4分)(2021•温州)第七次全国人口普查结果显示,我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据218000000用科学记数法表示为 A.B.C.D.【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数.【解答】解:将218000000用科学记数法表示为.故选:.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值.4.(4分)(2021•温州)如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图.若大学生有60人,则初中生有 A.45人B.75人C.120人D.300人【分析】第33页(共33页)\n利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数,用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解.【解答】解:参观温州数学名人馆的学生人数共有(人,初中生有(人,故选:.【点评】本题考查了扇形统计图.关键是利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数,解题时要细心.5.(4分)(2021•温州)解方程,以下去括号正确的是 A.B.C.D.【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去,再去括号.【解答】解:根据乘法分配律得:,去括号得:,故选:.【点评】本题考查了解一元一次方程,去括号法则,解题的关键是:括号前面是减号,把减号和括号去掉,括号的各项都要变号.6.(4分)(2021•温州)如图,图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,位似比为,点,的对应点分别为点,.若,则的长为 A.8B.9C.10D.15【分析】根据位似图形的概念列出比例式,代入计算即可.第33页(共33页)\n【解答】解:图形甲与图形乙是位似图形,位似比为,,,即,解得,,故选:.【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质,掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键.7.(4分)(2021•温州)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米元;超过部分每立方米元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为 A.元B.元C.元D.元【分析】应缴水费立方米的水费立方米的水费.【解答】解:根据题意知:(元.故选:.【点评】此题考查列代数式,掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键.8.(4分)(2021•温州)图1是第七届国际数学教育大会会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形.若,,则的值为 第33页(共33页)\nA.B.C.D.【分析】在中,,可得的长度,在中,根据勾股定理,代入即可得出答案.【解答】解:,在中,,,在中,,.故选:.【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.9.(4分)(2021•温州)如图,点,在反比例函数的图象上,轴于点,轴于点,轴于点,连结.若,,,则的值为 第33页(共33页)\nA.2B.C.D.【分析】根据题意求得,进而求得,,然后根据勾股定理得到,解方程即可求得的值.【解答】解:轴于点,轴于点,四边形是矩形,,把代入,求得,,,,,轴于点,把代入得,,,,,在中,,,解得,在第一象限,第33页(共33页)\n,故选:.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的判定和性质,勾股定理的应用等,表示出线段的长度是解题的关键.10.(4分)(2021•温州)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点,连结,延长交于点.若,则的值为 A.B.C.D.【分析】如图,过点作交的延长线于,设交于,交于.设,则,想办法求出,,可得结论.【解答】解:如图,过点作交的延长线于,设交于,交于.设,则,第33页(共33页)\n,四边形是正方形,,,,,,,,,,,,,,,故选:.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.第33页(共33页)\n二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.(5分)(2021•温州)分解因式: .【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.【解答】解:原式.故答案为:.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.12.(5分)(2021•温州)一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球,其中5个红球,7个白球,9个黄球.从中任意摸出1个球是红球的概率为 .【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案.【解答】解:一共有21个只有颜色不同的球,其中红球有5个,从中任意摸出1个球是红球的概率为,故答案为:.【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件的概率(A)事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数.13.(5分)(2021•温州)若扇形的圆心角为,半径为17,则扇形的弧长为 .【分析】根据弧长公式代入即可.【解答】解:根据弧长公式可得:.第33页(共33页)\n故答案为:.【点评】本题考查弧长的计算,掌握弧长公式是解题关键.14.(5分)(2021•温州)不等式组的解集为 .【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解:解不等式,得:,解不等式,得:,则不等式组的解集为,故答案为:.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.15.(5分)(2021•温州)如图,与的边相切,切点为.将绕点按顺时针方向旋转得到△,使点落在上,边交线段于点.若,则 85 度.【分析】根据切线的性质得到,连接,如图,再根据旋转的性质得,,,则判断△为等边三角形得到,所以,然后利用三角形外角性质计算.【解答】解:与的边相切,,第33页(共33页)\n,连接,如图,绕点按顺时针方向旋转得到△,,,,,△为等边三角形,,,.故答案为85.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了旋转的性质.16.(5分)(2021•温州)图1是邻边长为2和6的矩形,它由三个小正方形组成,将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形(如图,则图1中所标注的的值为 ;记图1中小正方形的中心为点,,,图2中的对应点为点,,.以大正方形的中心为圆心作圆,则当点,,在圆内或圆上时,圆的最小面积为 .第33页(共33页)\n【分析】如图,连接,由题意可知点,,在线段上,连接,,过点作于.证明,解直角三角形求出,,,再求出,可得结论.【解答】解:如图,连接,由题意可知点,,在线段上,连接,,过点作于.大正方形的面积,,,在中,,,,,,第33页(共33页)\n,,,,,,,,,,当点,,在圆内或圆上时,圆的最小面积为.故答案为:,.【点评】本题考查正方形的性质,矩形的性质,解直角三角形,圆等知识,解题的关键是读懂图象信息,推出,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(10分)(2021•温州)(1)计算:.(2)化简:.【分析】(1)运用实数的计算法则可以得到结果;(2)结合完全平方公式,运用整式的运算法则可以得到结果.【解答】解:原式;第33页(共33页)\n原式.【点评】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算,在计算的过程中需要注意完全平方公式的运用,是一道基础题.18.(8分)(2021•温州)如图,是的角平分线,在上取点,使.(1)求证:;(2)若,,求的度数.【分析】(1)根据角平分线的定义可得,从而求出,再利用内错角相等,两直线平行证明即可;(2)由(1)中可得到,再根据三角形的内角和等于求出,最后用角平分线求出,即可得解.【解答】解:(1)是的角平分线,,,,,;(2),第33页(共33页)\n,在中,,.是的角平分线,.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,平行线的判定与性质,角平分线的定义,准确识别图形是解题的关键.19.(8分)(2021•温州)某校将学生体质健康测试成绩分为,,,四个等级,依次记为4分,3分,2分,1分.为了解学生整体体质健康状况,拟抽样进行统计分析.(1)以下是两位同学关于抽样方案的对话:小红:“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩.”小明:“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩.”根据如图学校信息,请你简要评价小红、小明的抽样方案.如果你来抽取120名学生的测试成绩,请给出抽样方案.(2)现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图,请求出这组数据的平均数、中位数和众数.【分析】(1)根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可;(2)根据中位数、众数的意义求解即可.第33页(共33页)\n【解答】解:(1)两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查,小红的方案考虑到性别的差异,但没有考虑年级学段的差异,小明的方案考虑到了年级特点,但没有考虑到性别的差异,他们抽样调查不具有广泛性和代表性;(2)平均数为(分,抽查的120人中,成绩是3分出现的次数最多,共出现45次,因此众数是3分,将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分,因此中位数是3分,答:这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分,众数是3分.【点评】本题考查中位数、众数、平均数,掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提.20.(8分)(2021•温州)如图中与的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案,它由7个图形组成,请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形(顶点均在格点上).(1)选一个四边形画在图2中,使点为它的一个顶点,并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.(2)选一个合适的三角形,将它的各边长扩大到原来的倍,画在图3中.【分析】(1)直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形;(2)直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的倍,即可得出所求图形.【解答】解:(1)如图2所示,即为所求;第33页(共33页)\n(2)如图3所示,即为所求.【点评】此题主要考查了平移变换以及图形的相似,正确将三角形各边扩大是解题关键.21.(10分)(2021•温州)已知抛物线经过点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.(2)直线交抛物线于点,,为正数.若点在抛物线上且在直线下方(不与点,重合),分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围.【分析】(1)将点代入求解.(2)分别求出点,坐标,根据图象开口方向及顶点坐标求解.【解答】解:(1)把代入得,解得,抛物线的函数表达式为,,抛物线顶点坐标为.(2)把代入得,,第33页(共33页)\n把代入函数解析式得,解得或,为正数,,点坐标为,点坐标为.抛物线开口向上,顶点坐标为,抛物线顶点在下方,,.【点评】本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质,解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式.22.(10分)(2021•温州)如图,在中,,是对角线上的两点(点在点左侧),且.(1)求证:四边形是平行四边形;(2)当,,时,求的长.【分析】(1)证,再证,得,即可得出结论;(2)由锐角三角函数定义和勾股定理求出,,再证,则第33页(共33页)\n,得,求出,进而得出答案.【解答】(1)证明:,,,,四边形是平行四边形,,,,在和中,,,,四边形是平行四边形;(2)解:在中,,设,则,由勾股定理得:,解得:或(舍去),,,由(1)得:四边形是平行四边形,,,第33页(共33页)\n,,,,,设,则,,解得:或,(舍去),即,由(1)得:,,.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.23.(12分)(2021•温州)某公司生产的一种营养品信息如表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁第33页(共33页)\n甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价包装1千克45元包装0.25千克12元(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出.若的数量不低于的数量,则为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?【分析】(1)设乙食材每千克进价为元,则甲食材每千克进价为元,根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可;(2)①设每日购进甲食材千克,乙食材千克,根据(1)的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可;②设为包,则为包,根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围;设总利润为元,根据题意求出与的函数关系式,再根据一次函数的性质,即可得到获利最大的进货方案,并求出最大利润.【解答】解:(1)设乙食材每千克进价为元,则甲食材每千克进价为元,由题意得,解得,经检验,是所列方程的根,且符合题意,第33页(共33页)\n(元,答:甲食材每千克进价为40元,乙食材每千克进价为20元;(2)①设每日购进甲食材千克,乙食材千克,由题意得,解得,答:每日购进甲食材400千克,乙食材100千克;②设为包,则为包,的数量不低于的数量,,,设总利润为元,根据题意得:,,随的增大而减小,当时,的最大值为2800,答:当为400包时,总利润最大,最大总利润为2800元.【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程和一次函数关系式,利用一次函数的性质和不等式的性质解答,注意分式方程要检验.24.(14分)(2021•温州)如图,在平面直角坐标系中,经过原点,分别交轴、轴于点,,连结.直线分别交于点,(点在左侧),交第33页(共33页)\n轴于点,连结.(1)求的半径和直线的函数表达式;(2)求点,的坐标;(3)点在线段上,连结.当与的一个内角相等时,求所有满足条件的的长.【分析】(1)点是的中点,则点,则圆的半径,再用待定系数法即可求解;(2)由得:,即可求解;(3)①当时,则为等腰直角三角形,即可求解;②时,则,进而求解;③时,同理可解.【解答】解:(1)点是的中点,则点,则圆的半径为,设直线的表达式为,则,解得,故直线的表达式为;第33页(共33页)\n(2)设点的坐标为,由得:,解得或,故点、的坐标分别为、;(3)过点作于点,则,,故,由点、的坐标,同理可得;由点、、、的坐标得,,同理可得:,,①当时,则为等腰直角三角形,,故点的坐标为,故;②时,,第33页(共33页)\n,,即,解得,故;③时,,,,即,解得,则,综上,为5或10或.【点评】本题是圆的综合题,主要考查了圆的基本性质、一次函数的性质、三角形相似等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.第33页(共33页)
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