2020年贵州省铜仁市中考数学试卷（解析版）

2020年贵州省铜仁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）A．﹣3B．3C．D．﹣【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．【解答】解：﹣3的绝对值是：3．故选：B．2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）A．39×103B．3.9×104C．3.9×10﹣4D．39×10﹣3【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．【解答】解：39000＝3.9×104．故选：B．3．（4分）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）A．70°B．100°C．110°D．120°【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠2，第22页共22页\n∵∠3＝70°，∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．故选：C．4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（　　）A．9B．10C．11D．12【分析】对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数，据此列式计算可得．【解答】解：这组数据的平均数为×（4+10+12+14）＝10，故选：B．5．（4分）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）A．3B．2C．4D．5【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得，EA＝3，故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）A．a＞bB．﹣a＜bC．a＞﹣bD．﹣a＞b【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．第22页共22页\n【解答】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．故选：D．7．（4分）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）A．2B．3C．4D．4【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．【解答】解：根据等边三角形：三线合一，设它的边长为x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：C．8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）A．B．C．D．【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．第22页共22页\n【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．9．（4分）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）A．7B．7或6C．6或﹣7D．6【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，综上所述，k的值等于6或7，故选：B．10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）第22页共22页\nA．①②③B．①③C．①②D．②③【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出，求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2≠，判断出③错误，即可得出结论．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，∵HF∥AD，∴∠H＝90°，∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，∴∠AFH＝∠HAF．∵AF＝，∴AH＝HF＝1＝BE．∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，第22页共22页\n∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝，故①正确；过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四边形APFH是矩形，∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，∴，∴，∴PG＝，∴AG＝AP+PG＝，在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，第22页共22页\n∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；∵AD＝4，∴DG＝AD﹣AG＝，∴DG2+BE2＝+1＝，∵EG2＝（）2＝≠，∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，∴正确的有①②，故选：C．二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4分）因式分解：a2+ab﹣a＝　a（a+b﹣1）　．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝a（a+b﹣1）．故答案为：a（a+b﹣1）．12．（4分）方程2x+10＝0的解是　x＝﹣5　．【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：方程2x+10＝0，移项得：2x＝﹣10，第22页共22页\n解得：x＝﹣5．故答案为：x＝﹣5．13．（4分）已知点（2，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则这个反比例函数的表达式是　y＝﹣　．【分析】把点（2，﹣2）代入反比例函数y＝（k≠0）中求出k的值，从而得到反比例函数解析式．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点的坐标为（2，﹣2），∴k＝﹣2×2＝﹣4，∴反比例函数解析式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．14．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2　．【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．【解答】解：2x﹣4≥0解得x≥2．15．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　　．【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，∴该点在第三象限的概率等于＝，第22页共22页\n故答案为：．16．（4分）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　7或17　cm．【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．【解答】解：分两种情况：①当EF在AB，CD之间时，如图：∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．②当EF在AB，CD同侧时，如图：∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．故答案为：7或17．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝　　．第22页共22页\n【分析】依据△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，即可得到A1C＝BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，∴∠DA1B1＝∠CA1D，又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），∴A1C＝A1B1，∴BA1＝A1C＝BC＝2，∴Rt△A1CD中，CD＝＝，∴AB＝，故答案为：．18．（4分）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m第22页共22页\n，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　m（2m﹣1）　（结果用含m的代数式表示）．【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）19．（10分）（1）计算：2÷﹣（﹣1）2020﹣﹣（﹣）0．（2）先化简，再求值：（a+）÷（），自选一个a值代入求值．【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；（2）原式＝•＝•＝﹣，第22页共22页\n当a＝0时，原式＝﹣3．20．（10分）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m＝　36　，n＝　16　；（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？第22页共22页\n【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%，即可求得选择篮球的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到m、n的值；（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人．【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），补全的条形统计图如右图所示；（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，故答案为：36，16；（3）2000×16%＝320（人），答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？第22页共22页\n【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BCA，根据等角对等边得出BC＝AB＝12，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60km，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BDC＝60°，sin∠BCD＝，∴sin60°＝，∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km，∴这艘船继续向东航行安全．四、（本大题满分12分）23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．第22页共22页\n（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，根据用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个列出方程，解之即可得出结论；（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，根据题意用m表示y，结合m的取值范围和m为整数，即可得出获得最大利润的方案．【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有+10＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，90%x＝90%×40＝36．故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，依题意有，解得0＜m≤25且m为整数，∵m为整数，∴y随m的增大而增大，∴m＝25时，y最大，这时y＝6×25+5400＝5550，100﹣25＝75（个）．故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．五、（本大题满分12分）24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB第22页共22页\n延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，第22页共22页\n∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．六、（本大题满分14分）25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．第22页共22页\n【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．第22页共22页\n当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴点C的坐标为（0，6）．设直线BC的解析式为y＝kx+c，将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S△PBC＝PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m＜3．（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，第22页共22页\n∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，∴，解得，a＝1，∴M（1，8），此时ND＝DM＝，∴N（0，），当时，△COB∽△MDC∽△NMC，∴，第22页共22页\n解得a＝，∴M（，），此时N（0，）．如图3，当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，∴M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M第22页共22页\n（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．第22页共22页