北师大版中考数学一轮复习：探索图案 坐标 数字的变化规律 3套综合测试卷精选汇编（word版，含答案）

北师大版中考数学一轮复习：探索图案+坐标+数字的变化规律3套综合测试卷精选汇编探索图案的变化规律综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（　　）A．8089B．8088C．4044D．40452．如图中的图案均是由长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根小木棒，第2个图案需13根小木棒，…，依此规律，第11个图案所需木棒根数为（　　）A．156B．157C．158D．1593．如图，是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按此规律排列下去，则第n个图案中的基础图形个数为（　　）A．4nB．3n+1C．4n﹣2D．3n+24．下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需8根火柴，第二个图案需15根火柴，…，按此规律，第n个图案需几根火柴棒（　　）A．2+7nB．8+7nC．7n+1D．4+7n5．如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（　　）个图形．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 A．200B．201C．202D．3026．已知某点阵的第①②③个图如图所示，按此规律第（　　）个点阵图中，点的个数为2022个．A．1009B．2018C．2022D．20487．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（　　）A．﹣190B．﹣66C．62D．648．观察图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（　　）A．2022B．2023C．3030D．3033二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图是由一些火柴棒搭成的图案：摆第①个图案用5根火柴，摆第②个图案用9根火柴，摆第③个图案用13根火柴，按照这样的方式摆下去，摆第　　个图案用121根火柴．10．观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，〇是圆），□〇△□□〇△□〇△□□〇△□…，若第一个图形是正方形，则第2022个图形是　　（填图形名称）．11．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，依此规律，第⑦个图案中有22个三角形，第n个图案中有　　个三角形．（用含n的式子表示）第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 12．观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2022个图形中三角形个数有　　．13．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2．以此类推，若OA1＝1，则a2022＝　　．14．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，“峰2”中峰顶的位置（C的位置）是有理数﹣9．（1）“峰3”中C的位置是有理数　　；（2）“峰n”中C的位置是有理数　　．15．观察下列的“蜂窝图”：则第2021个图案中的“”的个数是　　．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 16．在直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1．第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为　　．三．解答题（共5小题，满分40分）17．某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　　块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　　（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）若一条这样的人行道一共有2022块等腰直角三角形地砖，则这条人行道正方形地砖有多少块？18．如图的图形是用火柴棒搭成的，按要求回答下列问题：（1）观察图形，并完成表：图形（1）（2）（3）第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 小正方形的个数1　　　　火柴的根数4　　　　（2）第4个图形中小正方形的个数为　　，使用火柴的根数为　　；第n个图形中小正方形有　　个，需要火柴棒　　根．（3）按照这种方式搭下去，求第100个图形需要的火柴棒根数．19．如图，每个小正方形的面积均为1．据此规律：（1）请写出第3个等式：　　；（2）猜想第n个等式为：　　（用含n的等式表示）；（3）已知如图所示的个草垛的最底端有2020支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？20．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图两种摆放方式．（1）当有n张桌子时，用两种摆放方式各能坐多少人（用含n的代数式表示）？（2）一天中午，餐厅要接待60位顾客共同就餐，但餐厅只有16张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 21．如图所示：搭1条、2条、3条“金鱼”各用几根火柴棒？（1）根据上面的图形填写如表：金鱼条数123…n火柴根数　　　　　　…　　（2）搭100条金鱼需要多少根火柴棒？（3）搭多少条金鱼需要500根火柴棒？第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：观察图形的变化可知：第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5＝4×1+1；第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9＝4×2+1；第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13＝4×3+1；…发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1；∴第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1＝4×2022+1＝8089．故选：A．2．解：根据题意可知：第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13＝2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3，…，第n个图案需n（n+3）+3根火柴，则第11个图案需：11×（11+3）+3＝157（根），故选：B．3．解：观察图形，可知第1个图案由4个基础图形组成，即4＝1×3+1，第2个图案由7个基础图形组成，即7＝2×3+1，第3个图案由10个基础图形组成，即10＝3×3+1，…第n个图案的基础图形的个数为：3n+1．故选：B．4．解：∵第一个图案有8根火柴，第二个图案有15根火柴，8+7×（2﹣1）＝15，第三个图案有22根火柴，8+7×（3﹣1）＝22，∴第n个图案有：8+7（n﹣1）＝7n+1，故选：C．5．解：观察图形的变化可知：第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；…则第n个图形中圆的个数为4+3×（n﹣1）＝3n+1．当有604个圆时，得3n+1＝604，解得：n＝201．故选：B．6．解：第1个图里有6个点，6＝4+2；第2个图有8个点，8＝4+2×2；第3个有10个点，10＝4+3×2；…则第n个图中点的个数为4+2n，令4+2n＝2022，解得n＝1009．故选：A．7．解：通过观察可得规律：左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，下面三角形上的数字为c＝（﹣1）n•2n，∵n＝7，∴a＝（﹣1）×27＝﹣128，b＝﹣128+2＝﹣126，c＝（﹣128）＝﹣64，∴a﹣b﹣c＝﹣128+126+64＝62．故选：C．8．解：由题意可得每两个图案增加3个黑色正方形，∵2022÷2＝1011，∴第2022个图形中黑色正方形的数量是3×1011＝3033，故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：观察图形，图①用了5根火柴，即5＝1×4+1，图②用了9根火柴，即9＝2×4+1，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 图③用了13根火柴，即13＝3×4+1，…图n用了（4n+1）根火柴，根据题意得：4n+1＝121，解得n＝30，所以摆第，30个图案用121根火柴棒．故答案为：30．10．解：∵观察这组图形发现：每7个图形一循环，∴2022÷7＝288……6，∴第2022个图形是第288组的第6个图形，是圆，故答案为：圆．11．解：由图可得，第①个图案中有1+3＝4个三角形，第②个图案中有1+3×2＝7个三角形，第③个图案中有1+3×3＝10个三角形，…，则第⑦个图案中有1+3×7＝22个三角形，第n个图案中有（1+3n）个三角形，故答案为：（1+3n）．12．解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4＝5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4＝9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3，当n＝2022时，4×2022﹣3＝8085．故答案为：8085．13．解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠2＝∠3＝60°，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∵∠MON＝30°，∴∠1＝60°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠OB1A2＝60°+30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3是等边三角形，同理可得：OA2＝B2A2＝2，∴a2＝2a1＝2，同理：a3＝4a1＝4＝22，a4＝8a1＝8＝23，a5＝16a1＝16＝24，…，以此类推：所以a2022＝22021．故答案是：22021．14．解：（1）∵每个峰需要5个数，∴5×2＝10，10+1+3＝14，∴“峰3”中C位置的数的是14，故答案为：14；（2）∵“峰1”为4＝（﹣1）n+1×4，“峰2”为﹣9＝（﹣1）n+1×（4+5），“峰3”为14＝（﹣1）n+2×（4+5+5），..．∴“峰3”为（﹣1）n+1[4+5（n﹣1）]＝（﹣1）n+1（5n﹣1），故答案为：（﹣1）n+1（5n﹣1）．15．解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1∴第2021个图案中的“”的个数是＝3×2021+1＝6064；第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：6064．16．解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故答案为：（22020，﹣×22020）．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1，图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2，归纳得：4+2n（即2n+4），∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（2n+4）块，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：（2n+4）；（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4，是偶数，由题意得：2n+4＝2022，解得：n＝1009，∴这条人行道正方形地砖有1009块．18．解：（1）根据图形填表如下：图形（1）（2）（3）小正方形的个数149火柴的根数41224（2）由图知，第4个图形中小正方形的个数为42＝16，使用火柴的根数为2×4×（4+1）＝40，第n个图形中小正方形有n2个，需要火柴棒2n（n+1）根，故答案为：16，40，n2，2n（n+1）；（3）把n＝100，代入2n（n+1）中，得：原式＝2×100×（100+1）＝20200（根），∴第100个图形需要的火柴棒根数为20200根．19．解：（1）由题意得：第3个等式为：2+4+6+8＝4×5，故答案为：2+4+6+8＝4×5；（2）∵第1个等式：2+4＝2×3，第2个等式：2+4+6＝3×4，第3个等式：2+4+6+8＝4×5，...，∴第n个等式：2+4+6+...+2（n+1）＝（n+1）（n+2），故答案为：（n+1）（n+2）；（3）∵草垛的最底端有2020支小正方形草束，∴2+4+6+...+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110．20．解：（1）由图知，第一种：左右共2人，每张桌子围4人，即第n张桌子坐（4n+2）人；第二种左右共4人，每张桌子围2人，即第n张桌子坐（2n+4）人；（2）选择第一种方式摆放，理由如下：∵16÷4＝4（张），∴可以拼成4张大桌子，∴按第一种可以接待的人数为：4×（4×4+2）＝72（人），第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 按第一种可以接待的人数为：4×（2×4+4）＝48（人），∵要接待60位顾客共同就餐，∴选择第一种方式来摆放餐桌．21．解：（1）第一条金鱼用了8根火柴，第2条金鱼用了8+6＝14根火柴，第3条金鱼用了8+2×6＝20根火柴，…，第n条金鱼用了8+（n﹣1）×6＝（6n+2）根火柴．故答案为：8，14，20，（6n+2）；（2）当n＝100时，6n+2＝602（根），答：搭100条金鱼需要602根火柴棒；（3）根据题意得，6n+2＝500，解得n＝83．答：搭83条金鱼需要500根火柴棒．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 探索坐标的变化规律综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（　　）A．﹣406B．﹣405C．﹣1010D．﹣10112．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（　　）A．（）2021B．（）2022C．（）2023D．（）20243．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2020的横坐标为（　　）A．﹣21009B．21009C．﹣21010D．21010第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 4．如图，Rt△ABC的两边OA，OB分别在x轴、y轴上，点O与原点重合，点A（﹣3，0），点B（0，3），将Rt△AOB沿x轴向右翻滚，依次得到△1，△2，△3，…，则△2020的直角顶点的坐标为（　　）A．（673，0）B．（6057+2019，0）C．（6057+2019，）D．（673，）5．如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），则点A2020的坐标是（　　）A．（506，505）B．（﹣506，507）C．（﹣506，506）D．（﹣505，505）6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（　　）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2019，2）D．（2020，0）7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为（　　）A．（0，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）…，那么点A2022的坐标为（　　）A．（1011，0）B．（1011，1）C．（2022，0）D．（2022，1）二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是　　．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴相交于点A1，过点A1作直线l的垂线交y轴于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作x轴的平行线交y轴于点A2，交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作直线l的垂线交直线l于点A3.交y轴于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3…依此下去所得正方形第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 A2021B2021C2021D2021的中心坐标为　　．11．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第49秒时跳蚤所在位置的坐标是　　．12．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2019的坐标是　　．13．如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标　　．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 14．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2020秒点P所在位置的坐标为　　．15．如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0）．则依图中所示规律，A2021的坐标为　　．16．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是　　．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 三．解答题（共6小题，满分40分）17．在平面直角坐标系中，乙蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（　　）；A8（　　）；A12（　　）（2）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向．18．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将△OA4B4变换成△OA5B5，则A5的坐标是　　，B5的坐标是　　．（2）若按第（1）题的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测An的坐标是　　，Bn的坐标是　　．19．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．已知A（1，3），A1（﹣2，﹣3），A2（4，3），A3（﹣8，﹣3），B（2，0），B1（﹣4，0），B2（8，0），B3（﹣16，0）．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4点的坐标为　　，B4点的坐标为　　．（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，推测点An的坐标为　　，Bn的坐标为　　．20．在平面直角坐标系中，一机器人从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A2（　　，　　），A5（　　，　　），A11（　　，　　）；（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；（3）指出机器人从点A2021到A2022的移动方向．21．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3（　　，　　），Bn（　　，　　）．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 22．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为　　，An的坐标（用n的代数式表示）为　　．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，∴该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，∵2021÷5＝404……1，∴该点运动到2020秒时对应的数为﹣404，∴第2021秒再向左运动一个单位得﹣405，故选：B．2．解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1＝OA＝2，∠AOA1＝60°，∴∠O1OA1＝30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，∴O1A1＝OA1＝1，即点A1的纵坐标为1，同理，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，即点A2的纵坐标为（）1，点A3的纵坐标为（）2，…∴点A2023的纵坐标为（）2022．故选：B．3．解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1＝1，OA2＝，OA3＝（）2，…，OA2020＝（）2019，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，2020＝8×252+4，∴点A2020在第一象限，∵OA2020＝（）2019，∴点A2020的坐标为：（）2019＝21009，故选：B．4．解：∵2020÷3＝673．…1∴△2020的形状如同△4∴△2020的直角顶点的纵坐标为0而OB1+B1A2+A2O2＝3+6+3＝9+3∴△2020的直角顶点的横坐标为（9+3）×673＝6057+2019故选：B．5．解：通过观察，可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n，n﹣1），A4n+2（n，﹣n），A4n+3（﹣n，﹣n）．∵2020＝4×505，∴点A2020的坐标为（﹣505，505）．故选：D．6．解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019＝4×504+3，当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），故选：C．7．解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，∴点B2021的坐标为（0，﹣）．故选：A．8．解：∵点A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，1）、A6（3，1）、A7（3，0）、A8（4，0）、A9（4，1）、…，∴点A4n+2（n为自然数）的坐标为（2n+1，1），∴点A2022的坐标为（1011，1）．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝2，BC＝3，CD＝2，AD＝3．∴四边形ABCD的周长为：2+3+2+3＝10，∵2025÷10＝202•••余数为5，AB+BC＝5，∴细线的另一端与点C重合．∵C（﹣1，﹣2），∴细线另一端所在位置的点的坐标是（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．10．解：∵y＝x﹣1与x轴相交于点A1，与y轴相交于点E，∴A1（1，0），E（0，﹣1），∴OA1＝OE＝1，∵∠A1OE＝90°，∴∠OA1E＝∠OEA1＝45°，∵A1D1⊥l，∴∠OD1A1＝∠OA1D1＝45°，∴OD1＝OA1＝1，∴D1（0，1），第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∴A1D1＝，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1B1＝A1D1＝，∵四边形A2B2C2D2是正方形，∴A2B2＝B2C1+A2C1＝A1C1+A2C1＝A1B1+A1B1＝A1B1，A3B3＝C2D3+A3C2＝A2B2+A2B2＝A2B2＝（）2A1B1，……AnBn＝An﹣1Bn﹣1＝（）n﹣1A1B1，∴A2021B2021＝（）2020A1B1＝（）2020×，由图可知：当n为奇数时，正方形AnBn∁nDn的中心的横坐标为：AnBn，纵坐标为：AnBn﹣1，∴当n＝2021时，正方形A2021B2021C2021D2021的中心的横坐标为：A2021B2021＝×（）2020×＝，纵坐标为：A2021B2021﹣1＝×（）2020×﹣1＝﹣1，故答案为：（，﹣1）．11．解：解：跳蚤跳到（1，1）位置用时1×2＝2秒，下一步向左跳动；跳到（2，2）位置用时2×3＝6秒，下一步向下跳动；第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 跳到（3，3）位置用时3×4＝12秒，下一步向左跳动；跳到（4，4）位置用时4×5＝20秒，下一步向下跳动；…由以上规律可知，跳蚤跳到（n，n）位置用时n（n+1）秒，则跳蚤跳到（6，6）位置用时6（6+1）＝42秒，依此类推，到（0，7）用49秒．则第49秒时跳蚤所在位置的坐标是（0，7）．故答案为：（0，7）．12．解：∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，∴点B1的坐标为（），点B2的坐标为（1，），点B3的坐标（），…，点Bn的坐标为（），∴点An的坐标为（，），∴点A2019的坐标为（），即A2019的坐标为（）．故答案为：（）13．解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B3（53，27），B4（161，81），…由上可知，，∴当n＝2020时，．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：（2×32020﹣1，32020）．14．解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，360÷45＝8，∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，∵2020÷8＝252•••4，∴第2020秒点P所在位置与B点重合，即（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．15．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A3（0，0），A7（﹣2，0），A11（﹣4，0）…，∵2021÷4＝505余1，∴点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2＝1012，∴A2021的坐标为（1012，0）．故答案为：（1012，0）．16．解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离＝1012﹣（﹣1011）＝2023，故答案为：2023．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）由图可知，A4，A8、A12都在x轴上，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6，∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）（2））∵100÷4＝25，∴100是4的倍数，∴从点A100到A101的移动方向与从点O到A1的方向一致，为↑．故答案为：2，0；4，0；6，0．18．解：（1）因为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…纵坐标不变为3，同时横坐标都和2有关，为2n，那么A5（32，3）；因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B5（64，0）；故答案为：（32，3），（64，0）；（2）由上题第一问规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，∴An的坐标是（2n，3），Bn的坐标是（2n+1，0）．故答案为：（2n，3），（2n+1，0）．19．解：（1）如图，∵A（1，3），A1（﹣2，﹣3），A2（4，3），A3（﹣8，﹣3），∴点A4的坐标为（16，3）；∵B（2，0）B1（﹣4，0）B2（8，0）B3（﹣16，0），∴点B4的坐标为（32，0）；故答案为：（16，3），（32，0）；（2）点An坐标为：（（﹣1）n•2n，（﹣1）n•3），点Bn的坐标为：（（﹣1）n•2n+1，0）．故答案为：（（﹣1）n•2n，（﹣1）n•3）；（（﹣1）n•2n+1，0）．20．解：（1）由图可知A2（1，1），A5（2，1），A11（5，0），故答案为：1，1；2，1；5，0；（2）由图可知，A4，A8都在x轴上，A4（2，0），A8（4，0），∴OA4n＝4n÷2＝2n，∴点A4n的坐标（2n，0）；（3）机器人从初始依次向上、向右、向下、向右运动，每四个点一个循环，所以2021÷4＝505•••1，∴从点A2021到点A2022的移动方向与从点A1到A2的方向一致，为向右．21．解：（1）∵点B1（1，1），B2（3，2），第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∴A1（0，1），A2（1，2），将点A1，A2代入直线y＝kx+b（k＞0）得：，解得：；（2）通过观察图象可知Bn的横坐标是An+1的横坐标，Bn的纵坐标是An的纵坐标，∵A3（3，4），A4（7，8），∴An（2n﹣1﹣1，2n﹣1），∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），∴B3（7，4）．故答案为：7，4；2n﹣1，2n﹣1．22．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），An（，2），即A3（8，2），An（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 探索数字的变化规律综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2022个数是（　　）A．4B．3C．2D．12．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2022次结果为（　　）A．3B．6C．9D．123．根据题目提供的四个数的变化规律，则x的值为（　　）A．252B．209C．170D．1354．用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）＝；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（x）＝3×1+1＝4，f（8）＝＝4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1，x2，x3，…，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+…+x2021+x2022等于（　　）A．3631B．4719C．4723D．47255．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，贝贝发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②﹣①得：3S﹣S＝39﹣1，即2S第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ＝39﹣1，∴S＝．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2022的值？如能求出，其正确答案是（　　）A．B．C．D．6．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝1，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　　）A．1B．3C．7D．97．观察下列两列数：第一列：2，4，6，8，10，12，……第二列：2，5，8，11，14，17，……通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…．则第2022个相同的数在第一列中是第（　　）个．A．6062B．6064C．6066D．60688．观察下列算式21+31＝5、22+32＝13、23+33＝35、24+34＝97、25+35＝275、26+36＝793、…，则3（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）的末位数字是（　　）A．0B．2C．3D．5二．填空题（共8小题，满分40分）9．某校八年级数学课外活动小组在一次活动中，他们按一定规律写出下列式子：1×3+1＝4＝22；3×5+1＝16＝42；5×7+1＝36＝62；…按照此规律，第n个式子是　　．10．观察下列各式：，，…，根据观察计算：+…+＝　　．（n为正整数）11．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6…则第2021个单项式是　　．12．按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是　　．13．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，则a39+a40＝　　．14．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为　　．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 15．把有理数a代入|a+2|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，依此类推…，若a＝22，则经过第2022次操作后得到的是　　．16．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数为　　．3abc﹣52……三．解答题（共5小题，满分40分）17．观察下列三行数：1，4，9，16，25，…3，6，11，18，27，…0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，…（1）第1行第10个数是　　，第n个数是　　；（2）将位于同一列的第1行数与第3行数相加，你有什么发现？（3）三行数中位于同一列的三个数的和能是103吗？若能，分别求这三个数，若不能，请说明理由．18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题．因为：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，所以：+++…+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+⋯+﹣＝1﹣＝．化简下列各式并求值：（1）+++…+；（2）+++…+．19．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1＝2，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 a2＝4，a3＝6，a4＝8，a5＝10，规定运算＝a1+a2+a3+…+an．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，＝a1+a2+a3＝2+4+6＝12．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，那么a5＝　　，＝　　；（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，那么a2020＝　　，＝　　；（3）在（2）的条件下，若存在正整数n使等式||＝2022成立，直接写出n的值．20．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝　　（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ①化简：＝　　；②若（a，b均为正整数），则a+b的值为　　．21．观察下面等式：；；；；…根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第n个等式，并证明；（2）计算：×…×．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：根据数字的变化规律可以看出，每6个数循环出现，∵2022÷6＝337（组）∴第2022个数和第6个数相同，即为2，故选：C．2．解：第1次输出的结果为：15+3＝18，第2次输出的结果为：×18＝9，第3次输出的结果为：9+3＝12，第4次输出的结果为：×12＝6，第5次输出的结果为：×6＝3，第6次输出的结果为：3+3＝6，…，从第4次开始，以6，3依次循环，∵（2022﹣3）÷2＝2019÷2＝1009……1，∴第2022次输出的结果为6．故选：B．3．解：由题可知：n所在位置的数是1，2，3，…的自然数，第一行第二个是2的倍数，∵20＝2×10，∴n＝9，∴m＝n+1＝10，∴x＝20×10+9＝209，故选：B．4．解：∵x1＝8，∴x2＝f（8）＝4，x3＝f（4）＝2，x4＝f（2）＝1，x5＝f（1）＝4，…，从x2开始，每三个数循环一次，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∴（2022﹣1）÷3＝673……2，∵x2+x3+x4＝7，∴x1+x2+x3+…+x2021+x2022＝8+673×7+4+2＝4725，故选：D．5．解：令S＝1+m+m2+m3+m4+…+m2022①，则mS＝m+m2+m3+m4+…+m2023②，∴②﹣①得：（m﹣1）S＝m2023﹣1，∴S＝，故选：C．6．解：依题意得：a1＝1，a2＝7，a3＝7，a4＝9，a5＝3，a6＝7，a7＝1，a8＝7；周期为6；2022÷6＝337，所以a2022＝a6＝7．故选：C．7．解：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8＝2+6，第3个相同的数是14＝2+6×2，第4个相同的数是20＝2+6×3，…，第n个相同的数是2+6（n﹣1）＝6n﹣4，所以n＝2022时，6×2022﹣4＝12128，则12128在第一列中的12128÷2＝6064位，故选：B．8．解：∵21+31＝5、22+32＝13、23+33＝35、24+34＝97、25+35＝275、26+36＝793、…，∴其末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，∴3（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）＝2（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）+（22+23+…+22022）＝2[（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）]+（22+23+…+22022）∵（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）这一数列的末位数字以3，5，7，5这4个数循环出现，22+23+…+22022这一数列的末位数字以4，8，6，2这4个数循环出现，∴（2022﹣1）÷4＝505...1，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∵3+5+7+5＝20，4+8+6+2＝20，∴（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）的末位数字为：3，22+23+…+22022末位数字为：4，∴2[（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）]+（22+23+…+22022）的末位数字为：2×3+4＝10，即为0．故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵1×3+1＝4＝22，则（2×1﹣1）×（2×1+1）+1＝（）2；3×5+1＝16＝42，则（2×2﹣1）×（2×2+1）+1＝（）2；5×7+1＝36＝62，则（2×3﹣1）×（2×3+1）+1＝（）2；…，∴第n个式子为：（2n﹣1）（2n+1）+1＝4n2．故答案为：（2n﹣1）（2n+1）+1＝4n2．10．解：+…+＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+（）＝×（1﹣+++…+）＝×（1﹣）＝×＝，故答案为：．11．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•an，当n＝2021时，这个单项式是（﹣1）2021+1•a2021＝a2021，故答案为：a2021．12．解：∵一列数依次为：，，，，，，…，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ∴这列数的分子都是1，而分母与这个数是第几个数有关，当这个数是第奇数个数时，分母就是对应的奇数的平方加1，当这个数是第偶数个数时，分母就是对应的偶数的平方减1，∴第2021个数为．故答案为：．13．解：根据题意可知：a1＝1，a2＝1+2＝3…，∴an＝1+2+3+…+n，∴a39+a40＝1+2+3+…+39+（1+2+3+…+39+40）＝++40＝40×39+40＝40×（39+1）＝40×40＝1600．故答案为：1600．14．解：观察已知图形中的数字间的规律为：最上方的数字为：2n﹣1，左下方的数字为：2n﹣1，右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，即为2n﹣1+（2n﹣1），因为21＝2×11﹣1，所以211﹣1＝1024，所以m＝1024，所以n＝1024+21＝1045．故答案为：1045．15．解：第1次操作，a1＝|22+2|﹣10＝14；第2次操作，a2＝|14+2|﹣10＝6；第3次操作，a3＝|6+2|﹣10＝﹣2；第4次操作，a4＝|﹣2+2|﹣10＝﹣10；第5次操作，a5＝|﹣10+2|﹣10＝﹣2；第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 第6次操作，a6＝|﹣2+2|﹣10＝﹣10；…，则从第3次开始，以﹣2，10这2个数循环出现，∵（2022﹣2）÷2＝1010，∴第2022次操作后得到的数为：﹣10．故答案为：﹣10．16．解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴3+a+b＝a+b+c，∴c＝3；∵a+b+c＝b+c+（﹣5），∴a＝﹣5；∴数据从左到右依次是3、﹣5、b、3、﹣5、b......，∴第9个数与第三个数相同，即b＝2，∴每三个数是以“3、﹣5、2”为一个循环组依次循环，∵2022÷3＝674，∴第2022个数与第3个格子相同，为2．故答案为：2．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）∵1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，…∴第10个数为：102＝100，第n个数为：n2，故答案为：100，n2；（2）由题意得：1+0＝1，4+（﹣3）＝1，9+（﹣8）＝1，…∴位于同一列的第1行数与第3行数相加和为1；（3）能，由题意得：第二行第n个数为：n2+2，第三行第n个数为：1﹣n2，则n2+n2+2+1﹣n2＝103，解得：n＝10，∴这三个数分别为：100，102，﹣99．18．解：（1）+++…+＝1﹣+++…+＝1﹣第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ＝；（2）+++…+＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣+++…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．解：（1）由题意可得，a5＝5，＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+5＝3；故答案为：5，3；（2）由题意可得，a2020＝﹣2020，＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2021+（﹣2022）＝﹣1+（﹣1）+…+（﹣1）＝﹣1011，故答案为：﹣2020，﹣1011；（3）在（2）的条件下存在正整数n使等式||＝2022成立，当n为奇数时，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ||＝|﹣+n|＝2022，解得，n＝4043，当n为偶数时，||＝|﹣|＝2022，解得，n＝4044．20．解：（1）特例5，＝，故答案为：5；（2）由题意可得：（n为正整数），故答案为：（n为正整数）；（3）左边＝，∵n为正整数，∴左边＝．又∵右边＝，∴左边＝右边．即（n为正整数）；（4）①原式＝10×＝10＝10×220，故答案为：20；②由题意，当n＝7时，第42页共42页学科网（北京）股份有限公司 ，∴a＝7，b＝50，∴a+b＝7+50＝57，故答案为：57．21．解：（1）第n个等式为：＝，左边＝＝+＝＝＝右边，故等式成立；（2）原式＝××××…××＝2×＝．第42页共42页学科网（北京）股份有限公司