北师大版中考数学一轮复习：探索数字的变化规律 综合测试卷（word版，含答案）

北师大版中考数学一轮复习：探索数字的变化规律综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2022个数是（　　）A．4B．3C．2D．12．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2022次结果为（　　）A．3B．6C．9D．123．根据题目提供的四个数的变化规律，则x的值为（　　）A．252B．209C．170D．1354．用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）＝；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（x）＝3×1+1＝4，f（8）＝＝4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1，x2，x3，…，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+…+x2021+x2022等于（　　）A．3631B．4719C．4723D．47255．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，贝贝发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②﹣①得：3S﹣S＝39﹣1，即2S＝39﹣1，∴S＝．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2022的值？如能求出，其正确答案是（　　）A．B．C．D．6．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝1，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　　）A．1B．3C．7D．97．观察下列两列数：第一列：2，4，6，8，10，12，……第二列：2，5，8，11，14，17，……通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…．则第2022个相同的数在第一列中是第（　　）个．A．6062B．6064C．6066D．60688．观察下列算式21+31＝5、22+32＝13、23+33＝35、24+34＝97、25+35＝275、26+36＝793、…，则3（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）的末位数字是（　　）A．0B．2C．3D．5二．填空题（共8小题，满分40分）9．某校八年级数学课外活动小组在一次活动中，他们按一定规律写出下列式子：1×3+1＝4＝22；3×5+1＝16＝42；5×7+1＝36＝62；…按照此规律，第n个式子是　　．10．观察下列各式：，，…，根据观察计算：+…+＝　　．（n为正整数）11．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6…则第2021个单项式是　　．12．按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第2021个数是　　．13．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，则a39+a40＝　　．14．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为　　．第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 15．把有理数a代入|a+2|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，依此类推…，若a＝22，则经过第2022次操作后得到的是　　．16．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数为　　．3abc﹣52……三．解答题（共5小题，满分40分）17．观察下列三行数：1，4，9，16，25，…3，6，11，18，27，…0，﹣3，﹣8，﹣15，﹣24，…（1）第1行第10个数是　　，第n个数是　　；（2）将位于同一列的第1行数与第3行数相加，你有什么发现？（3）三行数中位于同一列的三个数的和能是103吗？若能，分别求这三个数，若不能，请说明理由．18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题．因为：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，所以：+++…+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+⋯+﹣＝1﹣＝．化简下列各式并求值：（1）+++…+；（2）+++…+．19．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1＝2，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 a2＝4，a3＝6，a4＝8，a5＝10，规定运算＝a1+a2+a3+…+an．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，＝a1+a2+a3＝2+4+6＝12．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，那么a5＝　　，＝　　；（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，那么a2020＝　　，＝　　；（3）在（2）的条件下，若存在正整数n使等式||＝2022成立，直接写出n的值．20．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝　　（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ①化简：＝　　；②若（a，b均为正整数），则a+b的值为　　．21．观察下面等式：；；；；…根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第n个等式，并证明；（2）计算：×…×．第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：根据数字的变化规律可以看出，每6个数循环出现，∵2022÷6＝337（组）∴第2022个数和第6个数相同，即为2，故选：C．2．解：第1次输出的结果为：15+3＝18，第2次输出的结果为：×18＝9，第3次输出的结果为：9+3＝12，第4次输出的结果为：×12＝6，第5次输出的结果为：×6＝3，第6次输出的结果为：3+3＝6，…，从第4次开始，以6，3依次循环，∵（2022﹣3）÷2＝2019÷2＝1009……1，∴第2022次输出的结果为6．故选：B．3．解：由题可知：n所在位置的数是1，2，3，…的自然数，第一行第二个是2的倍数，∵20＝2×10，∴n＝9，∴m＝n+1＝10，∴x＝20×10+9＝209，故选：B．4．解：∵x1＝8，∴x2＝f（8）＝4，x3＝f（4）＝2，x4＝f（2）＝1，x5＝f（1）＝4，…，从x2开始，每三个数循环一次，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ∴（2022﹣1）÷3＝673……2，∵x2+x3+x4＝7，∴x1+x2+x3+…+x2021+x2022＝8+673×7+4+2＝4725，故选：D．5．解：令S＝1+m+m2+m3+m4+…+m2022①，则mS＝m+m2+m3+m4+…+m2023②，∴②﹣①得：（m﹣1）S＝m2023﹣1，∴S＝，故选：C．6．解：依题意得：a1＝1，a2＝7，a3＝7，a4＝9，a5＝3，a6＝7，a7＝1，a8＝7；周期为6；2022÷6＝337，所以a2022＝a6＝7．故选：C．7．解：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8＝2+6，第3个相同的数是14＝2+6×2，第4个相同的数是20＝2+6×3，…，第n个相同的数是2+6（n﹣1）＝6n﹣4，所以n＝2022时，6×2022﹣4＝12128，则12128在第一列中的12128÷2＝6064位，故选：B．8．解：∵21+31＝5、22+32＝13、23+33＝35、24+34＝97、25+35＝275、26+36＝793、…，∴其末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，∴3（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）＝2（22+23+…+22022）+2（32+33+…+32022）+（22+23+…+22022）＝2[（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）]+（22+23+…+22022）∵（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）这一数列的末位数字以3，5，7，5这4个数循环出现，22+23+…+22022这一数列的末位数字以4，8，6，2这4个数循环出现，∴（2022﹣1）÷4＝505...1，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ∵3+5+7+5＝20，4+8+6+2＝20，∴（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）的末位数字为：3，22+23+…+22022末位数字为：4，∴2[（22+32）+（23+33）+…+（22022+32022）]+（22+23+…+22022）的末位数字为：2×3+4＝10，即为0．故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵1×3+1＝4＝22，则（2×1﹣1）×（2×1+1）+1＝（）2；3×5+1＝16＝42，则（2×2﹣1）×（2×2+1）+1＝（）2；5×7+1＝36＝62，则（2×3﹣1）×（2×3+1）+1＝（）2；…，∴第n个式子为：（2n﹣1）（2n+1）+1＝4n2．故答案为：（2n﹣1）（2n+1）+1＝4n2．10．解：+…+＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+（）＝×（1﹣+++…+）＝×（1﹣）＝×＝，故答案为：．11．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•an，当n＝2021时，这个单项式是（﹣1）2021+1•a2021＝a2021，故答案为：a2021．12．解：∵一列数依次为：，，，，，，…，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ∴这列数的分子都是1，而分母与这个数是第几个数有关，当这个数是第奇数个数时，分母就是对应的奇数的平方加1，当这个数是第偶数个数时，分母就是对应的偶数的平方减1，∴第2021个数为．故答案为：．13．解：根据题意可知：a1＝1，a2＝1+2＝3…，∴an＝1+2+3+…+n，∴a39+a40＝1+2+3+…+39+（1+2+3+…+39+40）＝++40＝40×39+40＝40×（39+1）＝40×40＝1600．故答案为：1600．14．解：观察已知图形中的数字间的规律为：最上方的数字为：2n﹣1，左下方的数字为：2n﹣1，右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，即为2n﹣1+（2n﹣1），因为21＝2×11﹣1，所以211﹣1＝1024，所以m＝1024，所以n＝1024+21＝1045．故答案为：1045．15．解：第1次操作，a1＝|22+2|﹣10＝14；第2次操作，a2＝|14+2|﹣10＝6；第3次操作，a3＝|6+2|﹣10＝﹣2；第4次操作，a4＝|﹣2+2|﹣10＝﹣10；第5次操作，a5＝|﹣10+2|﹣10＝﹣2；第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 第6次操作，a6＝|﹣2+2|﹣10＝﹣10；…，则从第3次开始，以﹣2，10这2个数循环出现，∵（2022﹣2）÷2＝1010，∴第2022次操作后得到的数为：﹣10．故答案为：﹣10．16．解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴3+a+b＝a+b+c，∴c＝3；∵a+b+c＝b+c+（﹣5），∴a＝﹣5；∴数据从左到右依次是3、﹣5、b、3、﹣5、b......，∴第9个数与第三个数相同，即b＝2，∴每三个数是以“3、﹣5、2”为一个循环组依次循环，∵2022÷3＝674，∴第2022个数与第3个格子相同，为2．故答案为：2．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）∵1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，…∴第10个数为：102＝100，第n个数为：n2，故答案为：100，n2；（2）由题意得：1+0＝1，4+（﹣3）＝1，9+（﹣8）＝1，…∴位于同一列的第1行数与第3行数相加和为1；（3）能，由题意得：第二行第n个数为：n2+2，第三行第n个数为：1﹣n2，则n2+n2+2+1﹣n2＝103，解得：n＝10，∴这三个数分别为：100，102，﹣99．18．解：（1）+++…+＝1﹣+++…+＝1﹣第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ＝；（2）+++…+＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣+++…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．解：（1）由题意可得，a5＝5，＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+5＝3；故答案为：5，3；（2）由题意可得，a2020＝﹣2020，＝1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2021+（﹣2022）＝﹣1+（﹣1）+…+（﹣1）＝﹣1011，故答案为：﹣2020，﹣1011；（3）在（2）的条件下存在正整数n使等式||＝2022成立，当n为奇数时，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ||＝|﹣+n|＝2022，解得，n＝4043，当n为偶数时，||＝|﹣|＝2022，解得，n＝4044．20．解：（1）特例5，＝，故答案为：5；（2）由题意可得：（n为正整数），故答案为：（n为正整数）；（3）左边＝，∵n为正整数，∴左边＝．又∵右边＝，∴左边＝右边．即（n为正整数）；（4）①原式＝10×＝10＝10×220，故答案为：20；②由题意，当n＝7时，第13页共13页学科网（北京）股份有限公司 ，∴a＝7，b＝50，∴a+b＝7+50＝57，故答案为：57．21．解：（1）第n个等式为：＝，左边＝＝+＝＝＝右边，故等式成立；（2）原式＝××××…××＝2×＝．第13页共13页学科网（北京）股份有限公司