2021年四川省自贡市中考数学真题（word版 含解析）

四川省自贡市初2021届毕业学生考试数学满分：150分时间：120分钟本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题两部分）第I卷选择题（共48分）一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（）A.B.C.D.2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（）A.百B.党C.年D.喜3.下列运算正确的是（）A.B.C.D.4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（） 5.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（）A.72°B.36°C.74°D.88°6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人）9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,97.已知则代数式的值是（）A.31B.-31C.41D.-418.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（） A.函数解析式为B.蓄电池的电压是18VC.当A时，D.当时，时10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是（）A.9.6B.C.D.1011.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A.B.C.3D.12.如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共102分）二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.请写出一个满足不等式的整数解.14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是.15.化简：.16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是.17.如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹） 18.当自变量时，函数（为常数）的最小值为，则满足条件的的值为.三.解答题（共8个题，共78分）19.本题满分（8分）计算：.20.（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE=BF 21.（本题满分8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）22.（本题满分8分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B两种型号的无人机都被用来送快递，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所有时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（1）本次抽样调查的样本容量是，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数. 24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质.列表如下：x…-4-3-2-101234…y…a0b-2…（1）直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为-2③时，函数的值随的增大而减小.其中正确的是（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式的解集为. 25.（本题满分12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.（1）求证：∠DAE=∠DAC；（2）求证：DF·AC=AD·DC；（3）若sin∠C=，AD=，求EF的长.26.（本题满分14分）如图，抛物线(其中)与轴交于A、B两点，交轴于点C.（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为，求此抛物线的解析式； （1）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案与解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【解析】科学记数法表示为a×10N，其中1≤|a|＜10，故答案为C2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（）A.百B.党C.年D.喜 【解析】根据正方体展开图可得，“迎”与“党”相对，故答案为B3.下列运算正确的是（）A.B.C.D.【解析】A正确答案为a2，B选项正确，C选项答案为a6，D选项为a2−4ab+4b2，故答案为B4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）【解析】A选项，对称轴1条，B选项和C选项为中心对称图形，D选项对称轴两条，故答案为D5.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（）A.72°B.36°C.74°D.88°【解析】正5边形每一个内角为，∵AB=BC，∴∠ACB=36°，∴∠ACD=72°，故答案为A 6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人）9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9【解析】众数是出现次数最多的数，故众数为8，中位数即将数据排序后，中间两个数（8和9）的平均数8.5，故答案为C7.已知则代数式的值是（）A.31B.-31C.41D.-41【解析】，故答案为B8.如图，A（8,0），C（-2,0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）【解析】AB=AC=10，AO=8，在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OB=6，故B（0,6），故答案为D9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数解析式为B.蓄电池的电压是18VC.当A时，D.当时，时 【解析】函数解析式为故A选项错误，蓄电池电压是V，D选项，当时，，故答案为C10.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OB=5，则CD的长度是（）A.9.6B.C.D.10【解析】在Rt△ACF中，sin∠BAC=CFAC，在Rt△AOE中，sin∠BAC=OEOA=35，故CD的长度为245=4.8，故答案为A11.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一动点，AM：MD=1:2,将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）A.B.C.3D. 【解析】过N作直线∥AB，交AD于H，交BC于G，由翻折性质可知△AMB≌△NMB，∴∠BNM=90°，进而可得△MNH∽△NBG，∴MNNB=NHBG=13，设NH=y，则BG=3y，MH=3y-2，在Rt△MHN中，MH2+NH2=MN2，∴(3y−2)2+y2=22,∴y=65，∴DH=CG=125，在Rt△DNH中，DH²+NH2=DN2，∴DN=655，故答案为D12.如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）A.B.C.D.【解析】 由旋转性质可知，该阴影部分的的面积等于以OQ为大圆半径R，OP为小圆半径r且圆心角为45°的扇形环的面积，即S阴影=S环=πR28−πr28，由题意可得，R2=x2+(−x+3)²r2=x2+(−2x+2)²，且0<x<1,∴R2−r2=−3（x−3）2+163,当x=13时，取得最大值163，故阴影部分面积最大值为2π3，故答案选A.第II卷（非选择题共102分）二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.请写出一个满足不等式的整数解.【解析】x>7−2,故答案很多，最小整数为6，只需填6以上整数即可，答案不唯一14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是.【解析】加权平均数计算方法为90×30%+80×70%=83，故答案为8315.化简：.【解析】2(a+2)a2−4−8a2−4=2(a−2)(a+2)(a−2)=2a+2,故答案为2a+216.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是.【解析】根据观察a∗b6=ac，bc，c（a+b）运算的结果进行的顺序排列，故密码为244872.17.如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹） 【解析】根据网格图，可算出AB=5，所以在BC延长线上取长度为5的格点D，连接AD，E为AD中点，利用等腰三角形三线合一的性质可推出BE即为∠ABC的角平分线18.当自变量时，函数（为常数）的最小值为，则满足条件的的值为.【解析】当k≥3时，x=3时函数取得最小值，∴k-3=k+3，不成立，当k≤-1时，x=-1取得最小值，此时-k-1=k+3，∴k=-2满足题意，当-1＜k＜3时，x=k时取得最小值，∴k+3=0，k=-3不满足题意，综上所述，k=-2三.解答题（共8个题，共78分）19.本题满分（8分）计算：. 【解析】5-7+1=-120.（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE=BF【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴DC∥AB且DC=AB，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴BE=12AB，DF=12CD，∴DF∥BE且DF=BE，∴四边形EBFD为平行四边形，∴DE=BF.21.（本题满分8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）【解析】∵在B处测得D处的俯角为53°，∴∠BDA=53°，在Rt△BAD中，tan∠BDA=BAAD，∴AD=24tan53°，在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD，且∠CAD=30°，CD=AD3 ∴米22.（本题满分8分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B两种型号的无人机都被用来送快递，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所有时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【解析】设B型机每小时运送x件，则A型机每小时运送x+20件根据题意可得700x+20=500x，解之可得x=50，经检验x=50是方程的根，也符合实际意义，∴A型机每小时运送70件，B型机每小时运送50件23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（1）本次抽样调查的样本容量是，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.【解析】（1）100，补全图形如下： （2）作出树状图如下所示：随机回访两位竞赛成绩合格的同学共20种情况，其中一男一女共12种情况，所以恰好回访到一男一女的概率为1220=35（3）2000×0.35=700人，估计该校竞赛成绩“优秀”人数为700人24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质.列表如下：x…-4-3-2-101234…y…a0b-2…（1）直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为-2③时，函数的值随的增大而减小.其中正确的是（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式的解集为.【解析】（1）作出函数图象如图所示（2）②③（3）将不等式两边同时乘以-1可得可得不等式的解集为或 25.（本题满分12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.（1）求证：∠DAE=∠DAC；（2）求证：DF·AC=AD·DC；（3）若sin∠C=，AD=，求EF的长.【解析】（1）连接OD，∵DC为⊙O的切线，∴OD⊥CD，即∠ODC=90°∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠ODC=90°，∴AE∥OD，∴∠ODA=∠DAE又∵OD=OA=r，∴∠ODA=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC（2）证明：连接BD，设∠DAE=α，又（1）可知∠CAD=∠DAE=α，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=90°-α，又∵四边形ABDF为⊙O的内接四边形，∴∠AFD+∠ABD=180°，∴∠AFD=90°+α∵∠CDO=90°，∴∠ADC=90°+α 在△AFD和△ADC中有∠AFD=∠ADC，∠FAD=∠DAC，∴△AFD∽△ADC∴DFDC=ADAC，即DF·AC=AD·DC（3）设OD=x，在Rt△COD中sin∠C=14，∴OC=4x，根据勾股定理可得CD=15x，∵OA、OB、OD均为⊙O的半径，∴OA=x，∵OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴ODAE=OCCA=CDCE，∴AE=54x，CE=5154x，故DE=154x.由（2）可知△AFD∽△ADC，∴ADAC=AFAD，且AD=410，可得AF=32x在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，∴2516x2+1516x2=160，∴x=8∴AF=32x=4，AE=54x=10，∴EF=AE-AF=10-4=626.（本题满分14分）如图，抛物线(其中)与轴交于A、B两点，交轴于点C.（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）A（a，0），C（0，-a），可得OC=OA=a，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=a+1.（2）∵D为△ABC的外心，∴∠BAC为⊙D中弧BC所对的圆周角，∠BDC为弧BC所对圆心角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴△BDC和△AOC均为等腰直角三角形，故△BCD∽△ACO∴△BCD与△ACO的周长之比等于相似比，记⊙D半径为R，∴Ra=104，∴R=104a∵在等腰直角△BCD中，BC=1+a2，且BC=2R，∴R=1+a22∴1+a22=104a，解得a2=4，又a>1,∴a=2，，故二次函数的解析式为y=x2−x−2（3）当P在AC下方时，∠CBD=∠CAD=45°，且∠CAP=∠DBA，∴∠PAO=∠CBO.tan∠CBO=，作PF⊥x轴于F，∴，设AF=m，则PF=2m，∴代入二次函数可得，∴当P在AC上方时，作关于直线对称点，∴直线AM的方程为，联立得，∴此时P点横坐标为，将 代入抛物线可得，P点纵坐标为，所以此时P综上所述，存在P点的坐标为和