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中考数学冲刺——函数压轴3(41-50)

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春中考冲刺讲师:小鞠老师,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师41.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x与该抛物线交于E,F两点.(1)求抛物线的解析式.(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值.(3)以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,∴,∴,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;(2)如图1,过点P作直线l,使l∥EF,过点O作OP'⊥l,当直线l与抛物线只有一个交点时,PH最大,等于OP',∵直线EF的解析式为y=﹣x,设直线l的解析式为y=﹣x+m①,∵抛物线的解析式为y=x2+x﹣2②,联立①②化简得,x2+x﹣2﹣m=0,∴△=﹣4××(﹣2﹣m)=0,∴m=﹣,∴直线l的解析式为y=﹣x﹣,令y=0,则x=﹣,∴M(﹣,0),∴OM=,在Rt△OP'M中,OP'==,∴PH最大=.(3)满足条件的点M的坐标为(﹣,﹣)或(1,﹣2)或(﹣,﹣2)或(,﹣﹣2).,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师42.如图一,抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,)三点(1)求该抛物线的解析式;(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1≤y2,求P点横坐标x1的取值范围;(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求△FMN周长的最小值.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,)三点∴解得:a=,b=,c=;∴抛物线的解析式为:y=x2+x+.(2)抛物线的对称轴为x=1,抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q′(﹣2,y2)P(x1,y1在该抛物线上,y1≤y2,根据抛物线的增减性得:∴x1≤﹣2或x1≥4答:P点横坐标x1的取值范围:x1≤﹣2或x1≥4.(3)∵C(0,),B,(3,0),D(1,0)∴OC=,OB=3,OD,=1∵F是BC的中点,∴F(,)当点F关于直线CE的对称点为F′,关于直线CD的对称点为F″,直线F′F″与CD、CE交点为M、N,此时△FMN的周长最小,周长为F′F″的长,由对称可得到:F′(,),F″(0,0)即点O,F′F″=F′O==3,即:△FMN的周长最小值为3,,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师43.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3,则点A(1,4);(2)将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AC的表达式为:y=﹣2x+6,点P(1,4﹣t),则点D(,4﹣t),设点Q(,4﹣),S△ACQ=×DQ×BC=﹣t2+t,∵﹣<0,故S△ACQ有最大值,当t=2时,其最大值为1;(3)设点P(1,m),点M(x,y),①当EC是菱形一条边时,当点M在点P右方时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m﹣3=y,而MP=EP得:1+(m﹣3)2=(x﹣1)2+(y﹣m)2,解得:y=m﹣3=,故点M(4,);当点M在点P左方时,同理可得:点M(﹣2,3+);②当EC是菱形一对角线时,则EC中点即为PM中点,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m﹣3)2=4+m2,解得:m=1,故x=2,y=3﹣m=3﹣1=2,故点M(2,2);综上,点M(4,)或(﹣2,3+)或M(2,2).,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师44.把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).(1)填空:t的值为2m﹣1(用含m的代数式表示)(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,顶点(1,﹣4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m﹣1,4a),C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,t=2m﹣1,故答案为:2m﹣1;(2)a=﹣1时,C1:y=﹣(x﹣1)2+4,①当t<1时,x=时,有最小值y2=,x=t时,有最大值y1=﹣(t﹣1)2+4,则y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣=1,无解;②1≤t时,x=1时,有最大值y1=4,x=时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,y1﹣y2=≠1(舍去);③当t时,x=1时,有最大值y1=4,x=t时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,y1﹣y2=(t﹣1)2=1,解得:t=0或2(舍去0),故C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;(3)m=0,C2:y=﹣a(x+1)2+4a,点A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣3a,0),当a>0时,a越大,则OD越大,则点D′越靠左,当C2过点A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a=,当C2过点D′时,同理可得:a=1,故:0<a或a≥1;当a<0时,当C2过点D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣,故:a≤﹣;综上,故:0<a或a≥1或a≤﹣.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师45.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴.PM⊥l于点M,点F(0,﹣1).(1)求二次函数的解析式;(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l于点R,求的值;(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),∴﹣1=a×22,即a=,∴y=﹣x2;(2)设二次函数的图象上的点P(x1,y1),则M(x1,1),y1=﹣x12,即x12=﹣4y1,PM=|1﹣y1|,又PF===|y1﹣1|=PM,即PF=PM,∴点P在线段MF的中垂线上;(3)连接RF,∵R在线段MF的中垂线上,∴MR=FR,又∵PM=PF,PR=PR,∴△PMR≌△PFR(SSS),∴∠PFR=∠PMR=90°,∴RF⊥PF,连接RQ,又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中,∵Q在y=﹣x2的图象上,由(2)结论知∴QF=QN,∵RQ=RQ,∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ(HL),即RN=FR,即MR=FR=RN,∴=1;(4)在△PQR中,由(3)知PR平分∠MRF,QR平分∠FRN,∴∠PRQ=(∠MRF+∠FRN)=90°,∴点R在以线段PQ为直径的圆上.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师46.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P是第一象限抛物线上的一个动点.(1)求直线DE和抛物线的表达式;(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN=2,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将点D、E的坐标代入函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2,同理可得直线DE的表达式为:y=x﹣1…①;(2)如图1,连接BF,过点P作PH∥y轴交BF于点H,将点FB代入一次函数表达式,同理可得直线BF的表达式为:y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+2),则点H(x,﹣x+1),S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO=2+2(﹣x2+x+2+x﹣1)=7,解得:x=2或,故点P(2,3)或(,);(3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P(2,3),过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,∵MN=2,相当于向上、向右分别平移2个单位,故点A′(1,2),A′A″⊥DE,则直线A′A″过点A′,则其表达式为:y=﹣x+3…②,联立①②得x=2,则A′A″中点坐标为(2,1),由中点坐标公式得:点A″(3,0),同理可得:直线A″P的表达式为:y=﹣3x+9…③,联立①③并解得:x=,即点M(,),点M沿ED向下平移2个单位得:N(,﹣).,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师47.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3),将点D坐标代入上式并解得:a=1,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①;(2)设直线PD与y轴交于点G,设点P(m,m2﹣2m﹣3),将点P、D的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:直线PD的表达式为:y=mx﹣3﹣2m,则OG=3+2m,S△POD=×OG(xD﹣xP)=(3+2m)(2﹣m)=﹣m2+m+3,∵﹣1<0,故S△POD有最大值,当m=时,其最大值为;(3)∵OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°,∵∠ABC=∠OBE,故△OBE与△ABC相似时,分为两种情况:①当∠ACB=∠BOQ时,AB=4,BC=3,AC=,过点A作AH⊥BC于点H,S△ABC=×AH×BC=AB×OC,解得:AH=2,则sin∠ACB==,则tan∠ACB=2,则直线OQ的表达式为:y=﹣2x…②,联立①②并解得:x=,故点Q1(,﹣2),Q2(﹣,2),②∠BAC=∠BOQ时,tan∠BAC==3=tan∠BOQ,则点Q(n,﹣3n),则直线OQ的表达式为:y=﹣3x…③,联立①③并解得:x=,故点Q3(,),Q4(,);综上,当△OBE与△ABC相似时,Q的坐标为:(,﹣2)或(,)或(﹣,2)或(,).,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师48.如图,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象,得到的新图象与直线y=t恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;(3)在抛物线y=x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x的取值范围.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)抛物线的对称轴是x=2,且过点A(﹣1,0)点,∴,解得:,∴抛物线的函数表达式为:y=x2﹣4x﹣5;(2)y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,则x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为:y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,(﹣1<x<5),其顶点为(2,9).∵新图象与直线y=t恒有四个交点,∴0<t<9,设E(x1,y1),F(x2,y2).由解得:x=2,∵以EF为直径的圆过点Q(2,1),∴EF=2|t﹣1|=x2﹣x1,即2=2|t﹣1|,解得t=,又∵0<t<9,(3)①当m、n在函数对称轴左侧时,∴t的值为;m≤n≤2,由题意得:x=m时,y≤7,x=n时,y≥m,即:,解得:﹣2≤x;②当m、n在对称轴两侧时,x=2时,y的最小值为﹣9,不合题意;③当m、n在对称轴右侧时,同理可得:≤x≤6;故x的取值范围是:﹣2≤x或≤x≤6.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师49.在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c﹣a)x+c经过点A(﹣3,0)和点B(0,﹣6),L关于原点O对称的抛物线为L′.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L′上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,∴L:y=﹣x2﹣5x﹣6(2)∵点A、B在L′上的对应点分别为A′(3,0)、B′(0,6),∴设抛物线L′的表达式y=x2+bx+6,将A′(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=﹣5,∴抛物线L′的表达式为y=x2﹣5x+6,A(﹣3,0),B(0,﹣6),∴AO=3,OB=6,设:P(m,m2﹣5m+6)(m>0),∵PD⊥y轴,∴点D的坐标为(0,m2﹣5m+6),∵PD=m,OD=m2﹣5m+6,Rt△POD与Rt△AOB相似,①△PDO∽△BOA时,,即m=2(m2﹣5m+6),解得:m=或4;②当△PDO∽△AOB时,同理可得:m=1或6;∵P1、P2、P3、P4均在第一象限,∴符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或(,)或(4,2).,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师50.如图,直线y=x﹣3交x轴于点A,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点,抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴的交点为点E,点E关于原点的对称点为F,连接CE,以点F为圆心,CE的长为半径作圆,点P为直线y=x﹣3上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)求△BDP周长的最小值;(3)若动点P与点C不重合,点Q为⊙F上的任意一点,当PQ的最大值等于CE时,过P,Q两点的直线与抛物线交于M,N两点(点M在点N的左侧),求四边形ABMN的面积.,初三中考冲刺系列中考函数压轴3(#41-50)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)直线y=x﹣3,令x=0,则y=﹣3,令y=0,则x=3,故点A、C的坐标为(3,0)、(0,﹣3),则抛物线的表达式为:y=a(x﹣3)(x﹣1)=a(x2﹣4x+3),则3a=﹣3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x﹣3…①;(2)连接DB′交于直线于P;此时三角形BDP周长=BD+PB+PD=BD+DB′为最小值,D(2,1),则点G(2,﹣1),即:BG=EG,即点G是BB′的中点,过点B′(3,﹣2),△BDP周长最小值=BD+B′B=;(3)如图2所示,连接PF并延长交圆与点Q,此时PQ为最大值,点A、B、C、E、F的坐标为(3,0)、(1,0)、(0,﹣3)、(2,0)、(﹣2,0),则CE=,FQ=CE,则PF=CE﹣CE=,设点P(m,m﹣3),点F(﹣2,0),PF2=13=(m﹣2)2+(m﹣3)2,解得:m=1,故点P(1,﹣2),将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得:直线PF的表达式为:y=﹣x﹣…②,联立①②并解得:x=,故点M、N的坐标分别为:(,)、(,),过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R,则S四边形ABMN=S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM=.

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发布时间:2022-02-26 15:13:23 页数:21
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文章作者:U-60007

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