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中考数学冲刺——函数压轴2(21-30)

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春中考冲刺讲师:小鞠老师,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师21.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式.(2)点N是y轴负半轴上的一点,且ON=,点Q在对称轴右侧的抛物线上运动,连接QO,QO与抛物线的对称轴交于点M,连接MN,当MN平分∠OMD时,求点Q的坐标.(3)直线BC交对称轴于点E,P是坐标平面内一点,请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3.(2)如图1,设对称轴与x轴交于点H,∵MN平分∠OMD,∴∠OMN=∠DMN,又∵DM∥ON,∴∠DMN=∠MNO,∴∠MNO=∠OMN,∴OM=ON=.在Rt△OHM中,∠OHM=90°,OH=1.∴,∴M1(1,1);M2(1,﹣1).①当M1(1,1)时,直线OM解析式为:y=x,依题意得:x=x2﹣2x﹣3.解得:,,∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动,∴Q点纵坐标y=.∴,②当M2(1,﹣1)时,直线OM解析式为:y=﹣x,同理可求:,综上所述:点Q的坐标为:,,(3)坐标为P1(﹣3,﹣4),P2(﹣1,﹣6),P3(2,1),P4(4,﹣1).,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师22.已知:二次函数y=x2﹣4x+3a+2(a为常数).(1)请写出该二次函数的三条性质;(2)在同一直角坐标系中,若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x﹣1的图象有两个交点,求a的取值范围.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵二次函数y=x2﹣4x+3a+2=(x﹣2)2+3a﹣2,∴该二次函数开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,3a﹣2),其性质有:①开口向上,②有最小值3a﹣2,③对称轴为x=2.(2)∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x﹣1的图象有两个交点,∴x2﹣4x+3a+2=2x﹣1,整理为:x2﹣6x+3a+3=0,∴△=36﹣4(3a+3)>0,解得a<2,把x=4代入y=2x﹣1,解得y=2×4﹣1=7,把(4,7)代入y=x2﹣4x+3a+2得7=16﹣16+3a+2,解得a=,故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x﹣1的图象有两个交点,a的取值为≤a<2.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师23.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交直线AB于点E.(1)求抛物线的函数表达式(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,∴A(4,0),B(0,3),将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线y=﹣x2+bx+c中,得:,解得:,∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+x+3.(2)存在.如图1,过点B作BH⊥CD于H,设C(t,0),则D(t,),E(t,),H(t,3);∴EC=,AC=4﹣t,BH=t,DH=﹣t2+t,DE=﹣t2+4t∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时,∠BDE=∠ACE=90°,∴=,即:BD•CE=AC•DE∴t()=(4﹣t)×(﹣t2+4t),解得:t1=0(舍去),t2=4(舍去),t3=,∴D(,3)②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE∵BH⊥CD∴∠BHD=90°,∴=tan∠BDE=tan∠CAE=,即:BH•AC=CE•DH∴t(4﹣t)=()(﹣t2+t),解得:t1=0(舍),t2=4(舍),t3=,∴D(,);综上所述,点D的坐标为(,3)或(,);(3)G(,).,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师24.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当=时,求t的值;(3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)直线y=﹣x+4中,当x=0时,y=4∴C(0,4)当y=﹣x+4=0时,解得:x=4∴B(4,0)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4(2)∵B(4,0),C(0,4),∠BOC=90°∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB=45°∵ME⊥x轴于点E,PB=t∴∠BEP=90°∴Rt△BEP中,sin∠PBE=∴BE=PE=PB=t∴xM=xP=OE=OB﹣BE=4﹣t,yP=PE=t∵点M在抛物线上∴yM=﹣(4﹣t)2+3(4﹣t)+4=﹣t2+5t∴MP=yM﹣yP=﹣t2+4t∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°∴四边形ONPE是矩形∴ON=PE=t∴NC=OC﹣ON=4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得:t1=,t2=4(点P不与点C重合,故舍去)∴t的值为(3)当△PDM是等腰三角形时,t=1或t=﹣1.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师25.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)把A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得,解得,所以抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)如解(2)图1,过P点作PQ平行y轴,交AC于Q点,∵A(﹣3,0),C(0,3),∴直线AC解析式为y=x+3,设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3.),则Q点坐标为(x,x+3),∴PQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.∴S△PAC=,∴,解得:x1=﹣1,x2=﹣2.当x=﹣1时,P点坐标为(﹣1,4),当x=﹣2时,P点坐标为(﹣2,3),综上所述:若△PAC面积为3,点P的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),(3)存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(﹣2,2)或(,),,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师26.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标;(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)直线y=﹣5x+5,x=0时,y=5∴C(0,5)y=﹣5x+5=0时,解得:x=1∴A(1,0)∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点∴解得:∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5当y=x2﹣6x+5=0时,解得:x1=1,x2=5∴B(5,0)(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)∴AB=5﹣1=4,OC=5∴S△ABC=AB•OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5∴S△ABM=AB•MH=×4(﹣m2+6m﹣5)=﹣2m2+12m﹣10=﹣2(m﹣3)2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[﹣2(m﹣3)2+8]=﹣2(m﹣3)2+18∴当m=3,即M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18(可以直接利用点M是抛物线的顶点时,面积最大求解)(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD∴BD=5﹣4=1∵AB=4,BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师27.探究活动一:如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时,在直线AB上的三点A(1,3)、B(2,5)、C(4,9),有kAB==2,kAC==2,发现kAB=kAC,兴趣小组提出猜想:若直线y=kx+b(k≠0)上任意两点坐标P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则kPQ=是定值.通过多次验证和查阅资料得知,猜想成立,kPQ是定值,并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k,叫做这条直线的斜率.请你应用以上规律直接写出过S(﹣2,﹣2)、T(4,2)两点的直线ST的斜率kST=.探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到正确结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.如图2,直线DE与直线DF垂直于点D,D(2,2),E(1,4),F(4,3).请求出直线DE与直线DF的斜率之积.综合应用如图3,⊙M为以点M为圆心,MN的长为半径的圆,M(1,2),N(4,5),请结合探究活动二的结论,求出过点N的⊙M的切线的解析式.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵S(﹣2,﹣2)、T(4,2)∴kST==故答案为:(2)∵D(2,2),E(1,4),F(4,3).∴kDE==﹣2,kDF==,∴kDE×kDF=﹣2×=﹣1,∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积等于﹣1.(3)设经过点N与⊙M的直线为PQ,解析式为y=kPQx+b∵M(1,2),N(4,5),∴kMN==1,∵PQ为⊙M的切线∴PQ⊥MN∴kPQ×kMN=﹣1,∴kPQ=﹣1,∵直线PQ经过点N(4,5),∴5=﹣1×4+b,解得b=9∴直线PQ的解析式为y=﹣x+9.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师28.在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2﹣2x,其顶点为A.(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况;(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.①试求抛物线y=x2﹣2x的“不动点”的坐标;②平移抛物线y=x2﹣2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵a=1>0,故该抛物线开口向上,顶点A的坐标为(1,﹣1),当x>1,y随x的增大而增大,当x<1,y随x增大而减小;(2)①设抛物线“不动点”坐标为(t,t),则t=t2﹣2t,解得:t=0或3,故“不动点”坐标为(0,0)或(3,3);②当OC∥AB时,∵新抛物线顶点B为“不动点”,则设点B(m,m),∴新抛物线的对称轴为:x=m,与x轴的交点C(m,0),∵四边形OABC是梯形,∴直线x=m在y轴左侧,∵BC与OA不平行,∴OC∥AB,又∵点A(1,﹣1),点B(m,m),∴m=﹣1,故新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x向左平移2个单位得到的;当OB∥AC时,同理可得:抛物线的表达式为:y=(x﹣2)2+2=x2﹣4x+6,当四边形OABC是梯形,字母顺序不对,故舍去,综上,新抛物线的表达式为:y=(x+1)2﹣1.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师19.如图,抛物线C1:y=x2﹣2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式;(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)令:y=x2﹣2x=0,则x=0或2,即点B(2,0),∵C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=﹣1,则点A(4,0),将点A的坐标代入C2的表达式得:0=﹣16+4b,解得:b=4,故抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+4x;(2)联立C1、C2表达式并解得:x=0或3,故点C(3,3),作点C关于C2对称轴的对称点C′(1,3),连接AC′交函数C2的对称轴与点P,此时PA+PC的值最小为:线段AC′的长度=3,此时点P(2,2);(3)直线OC的表达式为:y=x,过点M作y轴的平行线交OC于点H,设点M(x,﹣x2+4x),则点H(x,x),则S△MOC=MH×xC=(﹣x2+4x﹣x)=﹣x2+x,∵﹣<0,故x=,故当点M(,)时,S△MOC最大值为.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师20.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴2(#21-30)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点B(﹣3,0),C(1,0)∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F∵x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3∴A(0,3)∴直线AB解析式为y=x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)∴F(t,t+3)∴PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t∴S△PAB=S△PAF+S△PBF=PF•OH+PF•BH=PF•OB=(﹣t2﹣3t)=﹣(t+)2+∴点P运动到坐标为(﹣,),△PAB面积最大(3)点P坐标为(﹣2,3)或(,)时使△PDE为等腰直角三角形.

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发布时间:2022-02-26 15:12:53 页数:21
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文章作者:U-60007

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