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中考数学冲刺——函数压轴1(1-10)

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春中考冲刺讲师:小鞠老师,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师1.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.(1)求这个抛物线的函数表达式.(2)点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值.(3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+2,则点C(0,2),函数的对称轴为:x=1;(2)连接OP,设点P(x,﹣x2﹣x+2),则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO﹣S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD=(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣=﹣x2﹣3x+2,∵﹣1<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为;(3)存在,点N的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师2.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点C(0,﹣2),顶点D的坐标为(1,﹣),与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AC,E为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和的值.(3)点F(0,y)是y轴上一动点,当y为何值时,FC+BF的值最小.并求出这个最小值.(4)点C关于x轴的对称点为H,当FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QHF是直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)由题可列方程组:,解得:∴抛物线解析式为:y=x2﹣x﹣2;(2)由题,∠AOC=90°,AC=,AB=4,设直线AC的解析式为:y=kx+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为:y=﹣2x﹣2;当△AOC∽△AEB时=()2=()2=,∵S△AOC=1,∴S△AEB=,∴AB×|yE|=,AB=4,则yE=﹣,则点E(﹣,﹣);由△AOC∽△AEB得:∴;,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师(3)如图2,连接BF,过点F作FG⊥AC于G,则FG=CFsin∠FCG=CF,∴CF+BF=GF+BF≥BE,当折线段BFG与BE重合时,取得最小值,由(2)可知∠ABE=∠ACO∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×=,|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=,∴当y=﹣时,即点F(0,﹣),CF+BF有最小值为;(4)①当点Q为直角顶点时(如图3):由(3)易得F(0,﹣),∵C(0,﹣2)∴H(0,2)设Q(1,m),过点Q作QM⊥y轴于点M.则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2=HM•FM,∴12=(2﹣m)(m+),解得:m=,则点Q(1,)或(1,)当点H为直角顶点时:点H(0,2),则点Q(1,2);当点F为直角顶点时:同理可得:点Q(1,﹣);综上,点Q的坐标为:(1,)或(1,)或Q(1,2)或Q(1,﹣).,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式.(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF=BF时,求sin∠EBA的值.(3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)在y=2x+6中,当x=0时y=6,当y=0时x=﹣3,∴C(0,6)、A(﹣3,0),∵抛物线y=﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x+6;(2)令﹣2x2﹣4x+6=0,解得x1=﹣3,x2=1,∴B(1,0),∵点E的横坐标为t,∴E(t,﹣2t2﹣4t+6),如图,过点E作EH⊥x轴于点H,过点F作FG⊥x轴于点G,则EH∥FG,∵EF=BF,∴===,∵BH=1﹣t,∴BG=BH=﹣t,∴点F的横坐标为+t,∴F(+t,+t),∴﹣2t2﹣4t+6=(+t),∴t2+3t+2=0,解得t1=﹣2,t2=﹣1,当t=﹣2时,﹣2t2﹣4t+6=6,当t=﹣1时,﹣2t2﹣4t+6=8,∴E1(﹣2,6),E2(﹣1,8),当点E的坐标为(﹣2,6)时,在Rt△EBH中,EH=6,BH=3,∴BE===3,∴sin∠EBA===;同理,当点E的坐标为(﹣1,8)时,sin∠EBA==,∴sin∠EBA的值为或;(3)M的坐标为(2,﹣10)或(﹣4,﹣10)或(0,6).,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师4.如图1,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(﹣2,0),B(6,0),与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)如图2,将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.①当点M落在抛物线上时,求点M的坐标.②在△NMP移动过程中,存在点M使△MBD为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣6)=a(x2﹣4x﹣12)=ax2﹣4ax﹣12a,即:﹣12a=6,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+6,令y=0,解得:x=4或﹣2,故点A(﹣2,0),函数的对称轴为:x=2,故点D(2,8);(2)将点A、D的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:,解得:,故直线AD的表达式为:y=2x+4,设点N(n,2n+4),∵MN=OA=2,则点M(n+2,2n+4),①将点M的坐标代入抛物线表达式得:2n+4=﹣(n+2)2+2(n+1)+6,解得:n=﹣2±2,故点M的坐标为(2,4)或(﹣2,﹣4);②点M(n+2,2n+4),点B、D的坐标分别为(6,0)、(2,8),则BD2=(6﹣2)2+82,MB2=(n﹣4)2+(2n+4)2,MD2=n2+(2n﹣4)2,当∠BMD为直角时,由勾股定理得:(6﹣2)2+82=(n﹣4)2+(2n+4)2+n2+(2n﹣4)2,解得:n=,当∠MBD为直角时,同理可得:n=﹣4,当∠MDB为直角时,同理可得:n=,故点M的坐标为:(﹣2,﹣4)或(,)或(,)或(,).,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点(不与点O,B重合),以OE为边在x轴上方作正方形OEFG,连接FB,将线段FB绕点F逆时针旋转90°,得到线段FP,过点P作PH∥y轴,PH交抛物线于点H,设点E(a,0).(1)求抛物线的解析式.(2)若△AOC与△FEB相似,求a的值.(3)当PH=2时,求点P的坐标.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)点C(0,4),则c=4,二次函数表达式为:y=﹣x2+bx+4,将点A的坐标代入上式得:0=﹣1﹣b+4,解得:b=3,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4;(2)tan∠ACO==,△AOC与△FEB相似,则∠FBE=∠ACO或∠CAO,即:tan∠FEB=或4,∵四边形OEFG为正方形,则FE=OE=a,EB=4﹣a,则或,解得:a=或;(3)令y=﹣x2+3x+4=0,解得:x=4或﹣1,故点B(4,0);分别延长CF、HP交于点N,∵∠PFN+∠BFN=90°,∠FPN+∠PFN=90°,∴∠FPN=∠NFB,∵GN∥x轴,∴∠FPN=∠NFB=∠FBE,∵∠PNF=∠BEF=90°,FP=FB,∴△PNF≌△BEF(AAS),∴FN=FE=a,PN=EB=4﹣a,∴点P(2a,4),点H(2a,﹣4a2+6a+4),∵PH=2,即:﹣4a2+6a+4﹣4=±2,解得:a=1或或或(舍去),故:点P的坐标为(1,4)或(2,4)或(,4).,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于B,C两点,与y轴交于点A,直线y=﹣x+2经过A,C两点,抛物线的对称轴与x轴交于点D,直线MN与对称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点(点N在对称轴右侧),且MN∥x轴,MN=7.(1)求此抛物线的解析式.(2)求点N的坐标.(3)过点A的直线与抛物线交于点F,当tan∠FAC=时,求点F的坐标.(4)过点D作直线AC的垂线,交AC于点H,交y轴于点K,连接CN,△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动,移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠,设重叠面积为S,移动时间为t(0≤t≤),请直接写出S与t的函数关系式.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)直线y=﹣x+2经过A,C两点,则点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0),则c=2,抛物线表达式为:y=﹣x2+bx+2,将点C坐标代入上式并解得:b=,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+2…①;(2)抛物线的对称轴为:x=,点N的横坐标为:+=5,故点N的坐标为(5,﹣3);(3)∵tan∠ACO==tan∠FAC=,即∠ACO=∠FAC,①当点F在直线AC下方时,设直线AF交x轴于点R,∵∠ACO=∠FAC,则AR=CR,设点R(r,0),则r2+4=(r﹣4)2,解得:r=,即点R的坐标为:(,0),将点R、A的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:,解得:,故直线AR的表达式为:y=﹣x+2…②,联立①②并解得:x=,故点F(,﹣);②当点F在直线AC的上方时,∵∠ACO=∠F′AC,∴AF′∥x轴,则点F′(3,2);综上,点F的坐标为:(3,2)或(,﹣);(4)S=.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师7.如图1,抛物线C:y=ax2+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,3)两点,G是其顶点,将抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;(2)如图2,直线l:y=kx﹣经过点A,D是抛物线C上的一点,设D点的横坐标为m(m<﹣2),连接DO并延长,交抛物线C′于点E,交直线l于点M,若DE=2EM,求m的值;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG、AB,在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P,使得∠DEP=∠GAB?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将A(﹣4,0)、B(﹣1,3)代入y=ax2+bx中,得解得∴抛物线C解析式为:y=﹣x2﹣4x,配方,得:y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4,∴顶点为:G(﹣2,4);(2)∵抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.∴新抛物线C′的顶点为:G′(2,﹣4),二次项系数为:a′=1∴新抛物线C′的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x将A(﹣4,0)代入y=kx﹣中,得0=﹣4k﹣,解得k=,∴直线l解析式为y=x﹣,∵D(m,﹣m2﹣4m),∴直线DO的解析式为y=﹣(m+4)x,由抛物线C与抛物线C′关于原点对称,可得点D、E关于原点对称,∴E(﹣m,m2+4m)如图2,过点D作DH∥y轴交直线l于H,过E作EK∥y轴交直线l于K,则H(m,m﹣),K(﹣m,m﹣),∴DH=﹣m2﹣4m﹣(m﹣)=﹣m2m+,EK=m2+4m﹣(m﹣)=m2+m+,∵DE=2EM∴=,∵DH∥y轴,EK∥y轴∴DH∥EK∴△MEK∽△MDH∴==,即DH=3EK∴﹣m2m+=3(m2+m+)解得:m1=﹣3,m2=,∵m<﹣2∴m的值为:﹣3;(3)点P的横坐标为:或.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师8.在平面直角坐标系中,过点A(3,4)的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(﹣1,0),与y轴交于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,连接PD交AB于点Q,连接AP,当S△AQD=2S△APQ时,求点P的坐标.(3)如图2,G是线段OC上一个动点,连接DG,过点G作GM⊥DG交AC于点M,过点M作射线MN,使∠NMG=60°,交射线GD于点N;过点G作GH⊥MN,垂足为点H,连接BH.请直接写出线段BH的最小值.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将点A(3,4),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx+4,得:,解得,∴y=﹣x2+3x+4;(2)如图1,过点P作PE∥x轴,交AB于点E,∵A(3,4),AD⊥x轴,∴D(3,0),∵B(﹣1,0),∴BD=3﹣(﹣1)=4,∵S△AQD=2S△APQ,△AQD与△APQ是等高的两个三角形,∴=,∵PE∥x轴,∴△PQE∽△DQB,∴==,∴=,∴PE=2,∴可求得直线AB的解析式为y=x+1,设E(x,x+1),则P(x﹣2,x+1),将点P坐标代入y=﹣x2+3x+4得﹣(x+2)2+3(x+2)+4=x+1,解得x1=3+,x2=3﹣,当x=3+时,x﹣2=3+﹣2=1+,x+1=3++1=4+,∴点P(1+,4+);当x=3﹣时,x﹣2=3﹣﹣2=1﹣,x+1=3﹣+1=4﹣,∴P(1﹣,4﹣),∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,∴﹣1<x﹣2<3,∴点P的坐标为(1+,4+)或(1﹣,4﹣);(3)BH最小=2(1+a)=.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师9.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接AC,BC,将△OBC沿BC所在的直线翻折,得到△DBC,连接OD.(1)用含a的代数式表示点C的坐标.(2)如图1,若点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方,求抛物线的解析式.(3)设△OBD的面积为S1,△OAC的面积为S2,若=,求a的值.,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即c=﹣3a,则点C(0,﹣3a);(2)过点B作y轴的平行线BQ,过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q,∵∠CDP+∠PDC=90°,∠PDC+∠QDB=90°,∴∠QDB=∠DCP,设:D(1,n),点C(0,﹣3a),∠CPD=∠BQD=90°,∴△CPD∽△DQB,∴,其中:CP=n+3a,DQ=3﹣1=2,PD=1,BQ=n,CD=﹣3a,BD=3,将以上数值代入比例式并解得:a=±,∵a<0,故a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+;(3)如图2,当点C在x轴上方时,连接OD交BC于点H,则DO⊥BC,过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M,设:OC=m=﹣3a,S1=S△OBD=×OB×DM=DM,S2=S△OAC=×1×m,而=,则DM=,HN=DM==OC,∴BN=BO=,则ON=3﹣=,则DO⊥BC,HN⊥OB,则∠BHN=∠HON,则tan∠BHN=tan∠HON,则HN2=ON×BN==()2,解得:m=±6(舍去负值),CO=|﹣3a|=6,解得:a=﹣2(不合题意值已舍去),故:a=﹣2.当点C在x轴下方时,同理可得:a=2;故:a=﹣2或a=2,初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师10.如图1(注:与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)P是抛物线对称轴上的一点,求满足PA+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索);(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形?若存在,请求出点E坐标,若不存在请说明理由(请在图2中探索),初三中考冲刺系列中考函数压轴1(#1-10)思考让我快乐讲师:小鞠老师【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得:y=a(x﹣1)(x﹣5)=a(x2﹣6x+5),则5a=4,解得:a=,抛物线的表达式为:y=(x2﹣6x+5)=x2﹣x+4,函数的对称轴为:x=3,顶点坐标为(3,﹣);(2)连接B、C交对称轴于点P,此时PA+PC的值为最小,将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:,解得:,直线BC的表达式为:y=﹣x+4,当x=3时,y=,故点P(3,);(3)存在,理由:四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形,则S四边形OEBF=OB×|yE|=5×|yE|=12,点E在第四象限,故:则yE=﹣,将该坐标代入二次函数表达式得:y=(x2﹣6x+5)=﹣,解得:x=2或4,故点E的坐标为(2,﹣)或(4,﹣).

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发布时间:2022-02-26 15:12:18 页数:22
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文章作者:U-60007

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