2022年中考数学一轮复习之反比例函数

2022年中考数学一轮复习之反比例函数一、选择题（共13小题）1．（2021•威海模拟）如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，若当时，则的取值范围是　　A．或B．或C．或D．或2．（2021•都江堰市模拟）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是　　A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数3．（2020•柘城县模拟）下列函数中，是的反比例函数的是　　A．B．C．D．4．（2020•张家界）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为　　A．6B．7C．8D．14第58页（共58页） 5．（2020•平阳县一模）已知反比例函数，当时，的最大值是3，则当时，有　　A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值6．（2020•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴．与轴交于点，反比例函数的图象经过顶点、，已知点的横坐标为5，，则的值为　　A．B．C．3D．57．（2020•哈尔滨模拟）在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是　　A．B．C．D．8．（2019•自贡模拟）在同一坐标系中（水平方向是轴），函数和的图象大致是　　A．B．C．D．9．（2019•自贡模拟）已知点在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为　　第58页（共58页） A．B．C．D．10．（2019•让胡路区模拟）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是　　A．B．C．D．11．（2018•邗江区一模）如图，两个反比例函数（其中和在第一象限内的图象依次是和，点在上．矩形交于、两点，的延长线交于点，轴于点，且图中四边形的面积为6，则为　　A．B．C．D．12．（2014•哈尔滨）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是　　A．B．C．D．13．（2013•三明）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　第58页（共58页） A．B．C．D．二、填空题（共10小题）14．（2021•云南模拟）如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则　　．15．（2021•鄞州区模拟）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个，满足，，，轴，当点，点及的内心在同一个反比例函数的图象上时，则的值为　　．16．（2021•河南模拟）若一次函数的图象经过第一，二，四象限，则反比例函数的图象在第　　象限内．17．（2020•枣阳市校级模拟）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：第58页（共58页） 1520253020151210猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　．18．（2020•盱眙县校级模拟）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　．19．（2020•吴兴区校级三模）在滑道过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线．如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，，令四边形、、的面积分别为、、．（1）用含，的代数式表示　　．（2）若，则　　．20．（2020•黔南州）如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在第58页（共58页） 轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的解析式为　　．21．（2020•成都）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为　　．22．（2019•施甸县模拟）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是　　．23．（2019•海口模拟）反比例函数经过，则图象在　　象限．三、解答题（共10小题）24．（2021•花都区三模）如图，矩形的顶点的坐标为，双曲线与矩形的对角线交于点，与、分别交于点、，且点是的中点．（1）求点的坐标；（2）连接，求的面积．25．（2021•花都区二模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，已知平行四边形的面积为．（1）求直线的解析式；第58页（共58页） （2）求点的坐标．26．（2021•巩义市模拟）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象；步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象；步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律．（1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．（2）根据图象，回答下列问题：①函数的图象是由反比例函数的图象向　　平移　　个单位长度后得到的．②函数的图象的对称中心是　　（填点的坐标）．第58页（共58页） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数．27．（2020•西城区校级模拟）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是　　；（2）下表是与的几组对应值：01245678032则的值为　　；（3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质　　；（5）若函数的图象上有三个点，、，、，，且，则、、之间的大小关系为　　；28．（2019•临清市一模）如图，某反比例函数图象的一支经过点和点（点在点的右侧），作轴，垂足为点，连接，．（1）求该反比例函数的解析式；第58页（共58页） （2）若的面积为6，求点的坐标．29．（2019•九龙坡区模拟）某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）函数的自变量取值范围是　　．（2）下表是与的几组对应值1232则表中的值为　　．（3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标中描点，并画出函数的一部分，请画出该函数的图象的另一部分，（4）观察函数图象：写出该函数的一条性质：　　．（5）进一步探究发现：函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．30．（2019•常熟市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在第58页（共58页） 轴的正半轴上，，．对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与，交于点，．（1）若，求的值；（2）连接，若，求的面积．31．（2018•翔安区模拟）已知，若当时，函数的最大值与最小值之差是1，求的值．32．（2018•武昌区模拟）如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标为，，，点在边上，点在边上．将矩形沿折叠，点正好与点重合，双曲线过点．（1）若，，直接写出、的坐标；（2）若直线的解析式为，求的值；（3）若双曲线过的中点，直接写出的值　　．33．（2018•尉氏县一模）某班数学兴趣小组根据学习函数的经验，通过列表、描点、连线的方法对函数的图象与性质进行了研究，研究过程如下，请补充完整．（1）与的几组对应值如下表：123第58页（共58页） 66函数的自变量的取值范围是　　，的值为　　；（2）在给出的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的大致图象，并写出该函数的两条性质；（3）在同一坐标系中画出函数的图象，并根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．第58页（共58页） 2022年中考数学一轮复习之反比例函数参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．（2021•威海模拟）如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，若当时，则的取值范围是　　A．或B．或C．或D．或【答案】【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】反比例函数及其应用；推理能力【分析】先求交点，然后通过图象比较函数值大小．【解答】解：将，代入可得：，，，，结合图象可得或时，故选：．【点评】本题考查函数与不等式的结合，解题关键是理解函数与不等式的关系，根据图象求解．2．（2021•都江堰市模拟）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是　　A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数【答案】第58页（共58页） 【考点】一次函数的定义；反比例函数的定义；二次函数的定义；正比例函数的定义【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；一次函数及其应用；运算能力；矩形菱形正方形【分析】先根据正方形的面积和已知条件得出，化简后根据函数的定义判断即可．【解答】解：根据题意得：，即与之间满足的函数关系是二次函数，故选：．【点评】本题考查了正比例函数的定义，反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义和正方形的性质等知识点，能根据题意列出代数式是解此题的关键．3．（2020•柘城县模拟）下列函数中，是的反比例函数的是　　A．B．C．D．【考点】：反比例函数的定义【专题】534：反比例函数及其应用；1：常规题型【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式，即可判定各函数的类型是否符合题意．【解答】解：、是正比例函数，故选项错误；、是反比例函数，故选项正确；、是正比例函数，故选项错误；、是二次函数，故选项错误．故选：．【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式是解决此类问题的关键．4．（2020•张家界）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为　　第58页（共58页） A．6B．7C．8D．14【答案】【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当点位于点时，的面积与的面积相等，由此即可求解．【解答】解：轴，且与共底边，的面积等于的面积，连接、，如下图所示：则．故选：．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．5．（2020•平阳县一模）已知反比例函数，当时，的最大值是3，则当时，有　　A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值【考点】：反比例函数的性质第58页（共58页） 【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力【分析】由函数经过第二象限，可确定，则在上，值随值的增大而增大，即可确定函数的解析式为，由此可求解．【解答】解：当时，的最大值是3，反比例函数经过第二象限，，在上，值随值的增大而增大，当时，有最大值，的最大值是3，，，，当时，有最小值，故选：．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定是解题的关键．6．（2020•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴．与轴交于点，反比例函数的图象经过顶点、，已知点的横坐标为5，，则的值为　　A．B．C．3D．5【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：菱形的性质【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力【分析】过点作于点，由菱形的性质可得，，可证四边形第58页（共58页） 是矩形，可得，，在中，由勾股定理可求，，由反比例函数的性质可求的值．【解答】解：如图，过点作于点，四边形是菱形，，，，且，四边形是矩形，，点的横坐标为5，，，，，，，设点，点反比例函数图象过点，，点，故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出的长度是本题的关键．第58页（共58页） 7．（2020•哈尔滨模拟）在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是　　A．B．C．D．【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】67：推理能力；534：反比例函数及其应用；66：运算能力【分析】根据反比例函数的性质得到关于的不等式，解不等式可以得到的取值范围．【解答】解：在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，，解得，，故选：．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．8．（2019•自贡模拟）在同一坐标系中（水平方向是轴），函数和的图象大致是　　A．B．C．D．【答案】【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象【专题】数形结合；模型思想【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：、由函数的图象可知与的图象一致，故选项正确；第58页（共58页） 、因为的图象交轴于正半轴，故选项错误；、因为的图象交轴于正半轴，故选项错误；、由函数的图象可知与的图象矛盾，故选项错误．故选：．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．9．（2019•自贡模拟）已知点在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为　　A．B．C．D．【考点】：待定系数法求反比例函数解析式【专题】41：待定系数法【分析】设出反比例函数解析式，将代入解析式求出的值即可．【解答】解：将代入解析式得，，解析式为：．故选：．【点评】解答此题要明确待定系数法：现设某些未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．10．（2019•让胡路区模拟）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是　　A．B．第58页（共58页） C．D．【答案】【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象【分析】本题可先由反比例函数图象得到字母的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致即可解决问题．【解答】解：、由函数的图象可知，由的图象可知故选项错误．、由函数的图象可知，由的图象可知，且交于轴于正半轴，故选项正确．、的图象应该交于轴于正半轴，故选项错误．、由函数的图象可知，由的图象可知，故选项错误．故选：．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2018•邗江区一模）如图，两个反比例函数（其中和在第一象限内的图象依次是和，点在上．矩形交于、两点，的延长线交于点，轴于点，且图中四边形的面积为6，则为　　A．B．C．D．【考点】：反比例函数系数的几何意义第58页（共58页） 【分析】首先根据反比例函数的解析式可得到，再由阴影部分面积为6可得到，从而得到图象的函数关系式为，再算出的面积，可以得到与的面积比，然后证明，根据对应边之比等于面积比的平方可得到的值．【解答】解：、反比例函数的图象上，，在反比例函数的图象上，，图象的函数关系式为，点在图象上，，，轴，轴，，，，故选：．【点评】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．12．（2014•哈尔滨）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的取值范围是　　第58页（共58页） A．B．C．D．【答案】【考点】反比例函数的性质【专题】常规题型【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，都随的增大而减小，可得，解可得的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而减小，即可得，解得．故选：．【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．13．（2013•三明）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　A．B．C．D．【考点】：反比例函数图象的对称性【专题】16：压轴题【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，第58页（共58页） 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为．故选：．【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．二、填空题（共10小题）14．（2021•云南模拟）如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则　　．【考点】：矩形的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征；：反比例函数系数的几何意义【专题】534：反比例函数及其应用；69：应用意识【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．【解答】解：根据题意得，而反比例函数图象分布在第二、四象限，所以，所以．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．15．（2021•鄞州区模拟）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个，满足，，，轴，当点，点及的内心在同一个反比例函数的图象上时，则的值为　　．第58页（共58页） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的内切圆与内心【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力【分析】连接、，作于，于，于，根据勾股定理求得，根据三角形内心的性质求得，设，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得即可．【解答】解：连接、，作于，于，于，，四边形是矩形，点是的内心，，四边形是正方形，，设，，，，，，，解得，，设，则，，点，点及的内心在同一个反比例函数的图象上，，第58页（共58页） 整理得，解得，，故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的内心，勾股定理的应用等，表示出、、的坐标是解题的关键．16．（2021•河南模拟）若一次函数的图象经过第一，二，四象限，则反比例函数的图象在第　二，四　象限内．【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质【分析】由的图象经过第一，二，四象限确定，值的正负，再根据的值确定反比例函数经过的象限．【解答】解：的图象经过第一、二、四象限，则，，得，所以的图象在第二、四象限．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质．17．（2020•枣阳市校级模拟）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：15202530第58页（共58页） 20151210猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式为　　．【考点】根据实际问题列反比例函数关系式【分析】观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；【解答】解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，设，把，代入得：，将其余各点代入验证均适合，与的函数关系式为：．故答案为：．【点评】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式的知识点，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．18．（2020•盱眙县校级模拟）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　．第58页（共58页） 【考点】：反比例函数图象的对称性【专题】559：圆的有关概念及性质；534：反比例函数及其应用；66：运算能力；67：推理能力【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：双曲线与的图象关于轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为，半径为3，所以：．故答案为．【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为，半径为3的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．19．（2020•吴兴区校级三模）在滑道过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线．如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，，令四边形、、的面积分别为、、．（1）用含，的代数式表示　　．（2）若，则　　．【答案】840．【考点】反比例函数的应用【专题】反比例函数及其应用；推理能力第58页（共58页） 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特征和平行于轴的直线的性质计算、、，最后根据梯形面积公式可得的面积；（2）分别计算、、的值并找规律，根据已知列方程可得的值．【解答】解：（1）轴，和的横坐标相等，和的横坐标相等，，和的横坐标相等，点，的横坐标分别为1，2，，点，的横坐标分别为1，2，，点，，在反比例函数的图象上，点，，反比例函数的图象上，，，，故答案为：；（2）由（1）同理得：，，，，，，，，，解得：，故答案为：840．第58页（共58页） 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，这里体现了数形结合的思想，确定，的长是关键，也是图形和数字类的规律问题，值得重视．20．（2020•黔南州）如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的解析式为　　．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求反比例函数解析式；：正方形的性质【专题】556：矩形菱形正方形；69：应用意识；534：反比例函数及其应用【分析】过点作轴于，由“”可证，可得，，可求点坐标，即可求解．【解答】解：如图，过点作轴于，四边形是正方形，，，，，，，，又，，第58页（共58页） ，，，点，反比例函数的图象过点，，反比例函数的解析式为，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用待定系数法求解析式，求出点坐标是本题的关键．21．（2020•成都）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为　，或，　．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】代数几何综合题；数据分析观念【分析】法一：求出点、、的坐标，则，进而求解．法二：利用对称性证明四边形是菱形即可．【解答】解：法一：联立与并解得：，故点的坐标为，，联立与同理可得：点，，点，，或点，，点，，这两条直线互相垂直，则，第58页（共58页） 则，同理可得：，则，即，解得：或，故点的坐标为，或，，法二：由反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称，可得四边形的对角线相互平分，从而判定四边形为平行四边形，再有两条直线互相垂直，即四边形的对角线相互垂直可判定平行四边形为菱形，所以四条边都相等，接下来方法同上．故答案为：，或，．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出、、的坐标，确定，进而求解．22．（2019•施甸县模拟）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是　　．【考点】：反比例函数的定义；：反比例函数的图象【专题】12：应用题【分析】让未知数的指数为，系数小于0列式求值即可．【解答】解：是反比例函数，，解得或，图象在第二、四象限，，解得，，故答案为：．【点评】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为或第58页（共58页） ；图象在二、四象限，比例系数小于0．23．（2019•海口模拟）反比例函数经过，则图象在　二四　象限．【考点】：反比例函数的图象【专题】121：几何图形问题【分析】易得反比例函数的比例系数，若为正数，在一三象限，若为负数在二四象限．【解答】解：反比例函数经过，，图象在二四象限，故答案为二四．【点评】考查反比例函数的图象的性质，得到反比例函数的比例系数是解决本题的关键．三、解答题（共10小题）24．（2021•花都区三模）如图，矩形的顶点的坐标为，双曲线与矩形的对角线交于点，与、分别交于点、，且点是的中点．（1）求点的坐标；（2）连接，求的面积．【答案】（1）点，（2）．【考点】矩形的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】几何直观；函数及其图象【分析】（1）通过点确定点表达式，知确定反比例函数，进而确定点．第58页（共58页） （2）求直线表达式，与反比例函数求交点，进而求出三角形面积．【解答】解：（1）点坐标，为中点，点，代入得，，．反比例函数，由图知点横坐标为4，纵坐标，点，（2）设直线，将代入得，，解得，直线．联立直线与反比例函数：，解得，，．【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的组合题，关键是联立方程求交点，数形结合．25．（2021•花都区二模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，已知平行四边形的面积为．（1）求直线的解析式；（2）求点的坐标．第58页（共58页） 【答案】（1）的解析式为；（2），．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式【专题】反比例函数及其应用；运算能力【分析】（1）根据待定系数法即可求得直线的解析式；（2）根据待定系数法求出反比例函数，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，，代入面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）设的解析式为，经过点，则，，的解析式为；（2）反比例函数的图象经过点，，反比例函数，反比例函数图象经过点，设，且，第58页（共58页） 四边形是平行四边形，，，点的纵坐标为，的解析式为，，，，，，解得：或（舍去），，．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．26．（2021•巩义市模拟）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象；步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象；步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律．第58页（共58页） （1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．（2）根据图象，回答下列问题：①函数的图象是由反比例函数的图象向　右　平移　　个单位长度后得到的．②函数的图象的对称中心是　　（填点的坐标）．（3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数．【答案】（1）见解答；（2）右，2，；；（3）1．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义；一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数图象与几何变换【专题】几何直观；反比例函数及其应用【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可；（2）观察图象即可得出结论；（3）根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）列表：01345第58页（共58页） 21描点、连线（如图所示），（2）①函数的图象是由反比例函数的图象向右平移2个单位长度后得到的．②函数的图象的对称中心是，故答案为右，2，；；（3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律，如图所示，画出函数的图象，方程的根的个数即函数与函数的图象交点的个数，由图象可知，函数与函数的图象只有一个交点，方程的根的个数为1．第58页（共58页） 【点评】本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，数形结合是解题的关键．27．（2020•西城区校级模拟）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是　　；（2）下表是与的几组对应值：01245678032则的值为　　；（3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质　　；（5）若函数的图象上有三个点，、，、，，且，则、、之间的大小关系为　　；【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数的图象【专题】532：函数及其图象【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量的取值范围；（2）把代入函数解析式，即可得到的值；第58页（共58页） （3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；（5）依据函数图象，即可得到当时，；当时，．【解答】解：（1），；（2）当时，；（3）如图所示：（4）由图象可得，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（5）由图象可得，当时，；当时，．、、之间的大小关系为．故答案为：；；当时，随的增大而减小；．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表描点连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．28．（2019•临清市一模）如图，某反比例函数图象的一支经过点和点（点在点的右侧），作轴，垂足为点，连接，．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若的面积为6，求点的坐标．第58页（共58页） 【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式【专题】反比例函数及其应用【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；（2）作于，则，即可利用表示出的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于的方程求得的值，进而求得的值．【解答】解：（1）由题意得，反比例函数的解析式为：．（2）设点坐标为，如图，作于，则，反比例函数的图象经过点．，解得，．第58页（共58页） 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．29．（2019•九龙坡区模拟）某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）函数的自变量取值范围是　　．（2）下表是与的几组对应值1232则表中的值为　　．（3）根据表中数据，在如图所示平面直角坐标中描点，并画出函数的一部分，请画出该函数的图象的另一部分，（4）观察函数图象：写出该函数的一条性质：　　．（5）进一步探究发现：函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．第58页（共58页） 【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数的图象；：正比例函数的性质【专题】534：反比例函数及其应用；533：一次函数及其应用；66：运算能力；64：几何直观【分析】（1）由在分母上，可得出；（2）将代入函数解析式求出值即可；（3）连点成线，画出函数图象；（4）观察函数图象，找出函数的一条性质即可；（5）由题意得出时，该函数的最大值，根据题意即可求得的取值范围．【解答】解：（1）在分母上，．故答案为：．（2）当时，．故答案为；（3）连点成线，画出函数图象，如图所示．（4）观察函数图象，可知：函数图象关于原点对称，故答案为函数图象关于原点对称；（5）函数图象与直线只有一交点，所以方程只有1个实数根，时，该函数的最大值，若方程有两个不相等的实数根，则，故答案为．【点评】第58页（共58页） 本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、正比例函数的图象以及反比例函数的图象，解题的关键是：（1）由在分母上找出；（2）将代入函数解析式求出值；（3）描点连线，画出函数图象；（4）观察函数图象，找出函数性质；（5）根据图象求得的范围．30．（2019•常熟市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，，．对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与，交于点，．（1）若，求的值；（2）连接，若，求的面积．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：反比例函数系数的几何意义【专题】534：反比例函数及其应用【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到，然后把点坐标代入可求得的值；（2）利用勾股定理计算出，则，所以，设，则，，利用反比例函数图象上点的坐标得到，解得，从而得到反比例函数解析式为，然后确定点坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积．【解答】解：（1）在矩形的顶点，，，而，，，，对角线，相交于点，点为的中点，，第58页（共58页） 把代入得；（2），，，，设，则，，反比例函数的图象经过点、，，解得，，反比例函数解析式为，当时，，，的面积．【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．31．（2018•翔安区模拟）已知，若当时，函数的最大值与最小值之差是1，求的值．【考点】：反比例函数的性质【分析】此题要把的取值范围分成两种情况：（1）当时，（2）当时，再分别根据反比例函数的性质去，时列出方程求解．【解答】解法（1）当时，在范围内随的增大而增大，．第58页（共58页） 不合题意，舍去．（2）当时，在范围内随的增大而减小，．．综上所述．解法（1）当时，在范围内随的增大而增大，．．又不合题意，舍去．（2）当时，在范围内随的增大而减小，．．．而，符合题意，．综上所述，．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．32．（2018•武昌区模拟）如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点第58页（共58页） 的坐标为，，，点在边上，点在边上．将矩形沿折叠，点正好与点重合，双曲线过点．（1）若，，直接写出、的坐标；（2）若直线的解析式为，求的值；（3）若双曲线过的中点，直接写出的值　　．【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：矩形的性质；：坐标与图形变化对称；：解直角三角形；：翻折变换（折叠问题）；：反比例函数图象上点的坐标特征；：一次函数的性质【专题】534：反比例函数及其应用；69：应用意识；556：矩形菱形正方形【分析】（1）连接，交与，求出中点的坐标，求出的解析式，根据，求出的斜率，再求出解析式，（2）由直线的解析式为，推出，由四边形是菱形，推出，推出，推出，，设，则，，推出，利用待定系数法求出的值即可解决问题．（3）如图连接交于，设，作于．首先证明，再利用勾股定理求出，即可解决问题．【解答】解：（1）若，，则点的坐标为，连接、，如图，由题意可知四边形是菱形，，设，则，，在中，，第58页（共58页） 即，解得，，，，．（2）直线的解析式为，，四边形是菱形，，，，，设，则，，，把代入得，解得，，，双曲线过点，；（3）如图连接交于，设，作于．，，，，，在反比例函数的图象上，，，垂直平分线段，，第58页（共58页） ，，四边形是矩形，，．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．33．（2018•尉氏县一模）某班数学兴趣小组根据学习函数的经验，通过列表、描点、连线的方法对函数的图象与性质进行了研究，研究过程如下，请补充完整．（1）与的几组对应值如下表：12366函数的自变量的取值范围是　　，的值为　　；（2）在给出的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，画出函数的大致图象，并写出该函数的两条性质；（3）在同一坐标系中画出函数的图象，并根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．第58页（共58页） 【考点】：反比例函数的图象；：正比例函数的图象；：正比例函数的性质【专题】537：函数的综合应用【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论；（2）根据函数的图象即可得到结论；（3）在同一坐标系中画出函数的图象如图所示；根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是，当时，；故答案为：；；（2）函数的图象如图所示，性质：①该函数图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）在同一坐标系中画出函数的图象如图所示；当时，自变量的取值范围为或．第58页（共58页） 【点评】本题考查了反比例函数的图象，正比例函数的图象和性质，正确的作出函数的图象是解题的关键．第58页（共58页） 考点卡片1．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．2．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．3．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．第58页（共58页） （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．4．正比例函数的图象正比例函数的图象．5．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．6．正比例函数的性质正比例函数的性质．7．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．8．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）9．待定系数法求一次函数解析式第58页（共58页） 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．10．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．11．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．12．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．13．反比例函数的性质反比例函数的性质第58页（共58页） （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．14．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．15．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．16．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．17．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．第58页（共58页） （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．18．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．19．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．20．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．第58页（共58页） （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．21．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．22．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．23．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；第58页（共58页） ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）24．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．26．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．第58页（共58页） （3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．27．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）28．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．29．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．第58页（共58页） （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布第58页（共58页）