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2022年中考数学专题复习讲座 第十三讲 反比例函数

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2022年中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念:一般地:互数y(k是常数,k≠0)叫做反比例函数【名师提醒:1、在反比例函数关系式中:k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=(k是常数,k≠0)3、反比例函数解析式可写成xy=k(k≠0)它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于】二、反比例函数的同象和性质:1、反比例函数y=(k≠0)的同象是它有两个分支,关于对称2、反比例函数y=(k≠0)当k>0时它的同象位于象限,在每一个象限内y随x的增大而当k<0时,它的同象位于象限,在每一个象限内,y随x的增大而【名师提醒:1、在反比例函数y=中,因为x≠0,y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近,但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义:反曲线y=(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积,即如图:AOBP=S△AOP=【名师提醒:k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=(k≠0)中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用同象找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一:反比例函数的同象和性质例1(2022•张家界)当a≠0时,函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是(  )18\nA.B.C.D.思路分析:分a>0和a<0两种情况讨论,分析出两函数图象所在象限,再在四个选项中找到正确图象.解:当a>0时,y=ax+1过一、二、三象限,y=过一、三象限;当a<0时,y=ax+1过一、二、四象限,y=过二、四象限;故选C.点评:本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质,解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存.例2(2022•佳木斯)在平面直角坐标系中,反比例函数图象的两个分支分别在(  )A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限思路分析:把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式,再根据反比例函数的性质解答.解:a2-a+2,=a2-a+-+2,=(a-)2+74,∵(a-)2≥0,∴(a-)2+74>0,∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限.故选A.点评:本题考查了反比例函数图象的性质,先判断出a218\n-a+2的正负情况是解题的关键,对于反比例函数(k≠0):(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.例3(2022•台州)点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )A.y3<y2<y1B.y2<y3<y1C.y1<y2<y3D.y1<y3<y2思路分析:先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限,再根据各点的坐标判断出各点所在的象限,根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答.解:∵函数中k=6>0,∴此函数的图象在一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,∵-1<0,∴点(-1,y1)在第三象限,∴y1<0,∵0<2<3,∴(2,y2),(3,y3)在第一象限,∴y2>y3>0,∴y2>y3>y1.故选D.点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键.对应训练1.(2022•毕节地区)一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是(  )A.B.C.D.1.C2.(2022•内江)函数的图象在(  )A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限2.A2.解:∵中x≥0,中x≠0,故x>0,此时y>0,则函数在第一象限.故选A.18\n3.(2022•佛山)若A(x1,y1)和B(x2,y2)在反比例函数的图象上,且0<x1<x2,则y1与y2的大小关系是y1y2.3.>考点二:反比例函数解析式的确定例4(2022•哈尔滨)如果反比例函数的图象经过点(-1,-2),则k的值是(  )A.2B.-2C.-3D.3思路分析:根据反比例函数图象上点的坐标特征,将(-1,-2)代入已知反比例函数的解析式,列出关于系数k的方程,通过解方程即可求得k的值.解答:解:根据题意,得-2=,即2=k-1,解得k=3.故选D.点评:此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式,是中学阶段的重点.解答此题时,借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.对应训练4.(2022•广元)已知关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,那么反比例函数的关系式为(  )A.B.C.D.4.D4.分析:关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,则判别式等于0,据此即可求得b的值,然后根据反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,则比例系数1+b<0,则b的值可以确定,从而确定函数的解析式.解:关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2化成一般形式是:2x2+(2-2b)x+(b2-1)=0,△=(2-2b)2-8(b2-1)=-4(b+3)(b-1)=0,解得:b=-3或1.∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,∴1+b<0∴b<-1,∴b=-3.则反比例函数的解析式是:y=,即.故选D.考点三:反比例函数k的几何意义18\n例5(2022•铁岭)如图,点A在双曲线上,点B在双曲线(k≠0)上,AB∥x轴,分别过点A、B向x轴作垂线,垂足分别为D、C,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为(  )A.12B.10C.8D.6思路分析:先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号,再延长线段BA,交y轴于点E,由于AB∥x轴,所以AE⊥y轴,故四边形AEOD是矩形,由于点A在双曲线上,所以S矩形AEOD=4,同理可得S矩形OCBE=k,由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值.解:∵双曲线(k≠0)上在第一象限,∴k>0,延长线段BA,交y轴于点E,∵AB∥x轴,∴AE⊥y轴,∴四边形AEOD是矩形,∵点A在双曲线上,∴S矩形AEOD=4,同理S矩形OCBE=k,∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8,∴k=12.故选A.点评:本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,即反比例函数图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.对应训练5.(2022•株洲)如图,直线x=t(t>0)与反比例函数的图象分别交于B、C两点,A为y轴上的任意一点,则△ABC的面积为(  )18\nA.3B.C.D.不能确定5.C5.解:把x=t分别代入,得,所以B(t,)、C(t,),所以BC=-()=.∵A为y轴上的任意一点,∴点A到直线BC的距离为t,∴△ABC的面积=.故选C.考点四:反比例函数与一次函数的综合运用例6(2022•岳阳)如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,过点作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是(  )A.点A和点B关于原点对称B.当x<1时,y1>y2C.S△AOC=S△BODD.当x>0时,y1、y2都随x的增大而增大思路分析:求出两函数式组成的方程组的解,即可得出A、B的坐标,即可判断A;根据图象的特点即可判断B;根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积,即可判断C;根据图形的特点即可判断D.解:A、,∵把①代入②得:x+1=,解得:x1=-2,x2=1,代入①得:y1=-1,y2=2,∴B(-2,-1),A(1,2),∴A、B不关于原点对称,故本选项错误;18\nB、当-2<x<0或x>1时,y1>y2,故本选项错误;C、∵S△AOC=×1×2=1,S△BOD=×|-2|×|-1|=1,∴S△BOD=S△AOC,故本选项正确;D、当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故本选项错误;故选C.点评:本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用,主要考查学生观察图象的能力,能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键,题目比较典型,是一道具有一定代表性的题目.对应训练6.(2022•达州)一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0),在同一直角坐标系中的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是(  )A.-2<x<0或x>1B.x<-2或0<x<1C.x>1D.-2<x<16.A6.解:由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=(m≠0)的交点坐标为(1,4),(-2,-2),由函数图象可知,当-2<x<0或x>1时,y1在y2的上方,∴当y1>y2时x的取值范围是-2<x<0或x>1.故选A.【聚焦山东中考】1.(2022•青岛)点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都是反比例函数的图象上,若x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是(  )A.y3<y1<y2B.y1<y2<y3C.y3<y2<y1D.y2<y1<y318\n1.A1.解:∵反比例函数y=-3x中,k=-3<0,∴此函数图象在二四象限,且在每一象限内y随x的增大而增大,∵x1<x2<0<x3,∴y3<0,y3<0<y1<y2,∴y3<y1<y2.故选A.2.(2022•菏泽)反比例函数的两个点(x1,y1)、(x2,y2),且x1>x2,则下式关系成立的是(  )A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.不能确定2.D3.(2022•滨州)下列函数:①y=2x-1;②y=;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=中,y是x的反比例函数的有(填序号)。3.②⑤4.(2022•济宁)如图,是反比例函数的图象的一个分支,对于给出的下列说法:①常数k的取值范围是k>2;②另一个分支在第三象限;③在函数图象上取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),当a1>a2时,则b1<b2;④在函数图象的某一个分支上取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),当a1>a2时,则b1<b2;其中正确的是(在横线上填出正确的序号)4.①②④4.解:①根据函数图象在第一象限可得k-2>0,故k>2,故①正确;②根据反比例函数的性质可得,另一个分支在第三象限,故②正确;③根据反比例函数的性质,图象在第一、三象限时,在图象的每一支上y随x的增大而减小,A、B不一定在图象的同一支上,故③错误;④根据反比例函数的性质,图象在第一、三象限时,在图象的每一支上y随x的增大而减小,故在函数图象的某一个分支上取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),当a1>a2时,则b1<b2正确;故答案为:①②④.18\n5.(2022•潍坊)点P在反比例函数(k≠0)的图象上,点Q(2,4)与点P关于y轴对称,则反比例函数的解析式为.5.5.解:∵点Q(2,4)和点P关于y轴对称,∴P点坐标为(-2,4),将(-2,4)解析式得,k=xy=-2×4=-8,∴函数解析式为.故答案为.6.(2022•聊城)如图,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(3a,a)是反比例函数(k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式为.6.6.解:∵反比例函数的图象关于原点对称,∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的,设正方形的边长为b,则b2=9,解得b=6,∵正方形的中心在原点O,∴直线AB的解析式为:x=3,∵点P(3a,a)在直线AB上,18\n∴3a=3,解得a=1,∴P(3,1),∵点P在反比例函数(k>0)的图象上,∴k=3,∴此反比例函数的解析式为:.故答案为:.7.(2022•泰安)如图,一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A,B两点,与反比例函数的图象在第二象限的交点为C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2,OD=4,△AOB的面积为1.(1)求一次函数与反比例的解析式;(2)直接写出当x<0时,kx+b->0的解集.7.解:(1)∵OB=2,△AOB的面积为1∴B(-2,0),OA=1,∴A(0,-1)∴,∴,18\n∴y=x-1又∵OD=4,OD⊥x轴,∴C(-4,y),将x=-4代入y=x-1得y=1,∴C(-4,1)∴1=,∴m=-4,∴y=。(2)当x<0时,kx+b->0的解集是x<-4.【备考真题过关】一、选择题1.(2022•南充)矩形的长为x,宽为y,面积为9,则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为(  )A.B.C.D.1.C2.(2022•孝感)若正比例函数y=-2x与反比例函数图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为(  )A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,-1)D.(-2,1)2.B3.(2022•恩施州)已知直线y=kx(k>0)与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1y2+x2y1的值为(  )A.-6B.-9C.0D.93.A3.思路分析:先根据点A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点可得出x1•y1=x2•y2=3,再根据直线y=kx(k>0)与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点可得出x1=-x2,y1=-y2,再把此关系代入所求代数式进行计算即可.解:∵点A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点∴x1•y1=x2•y2=3①,18\n∵直线y=kx(k>0)与双曲线y=3x交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴x1=-x2,y1=-y2②,∴原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6.故选A.4.(2022•常德)对于函数,下列说法错误的是(  )A.它的图象分布在一、三象限B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y的值随x的增大而增大D.当x<0时,y的值随x的增大而减小4.C5.(2022•淮安)已知反比例函数的图象如图所示,则实数m的取值范围是(  )A.m>1B.m>0C.m<1D.m<05.A6.(2022•南平)已知反比例函数的图象上有两点A(1,m)、B(2,n).则m与n的大小关系为(  )A.m>nB.m<nC.m=nD.不能确定6.A7.(2022•内江)已知反比例函数的图象经过点(1,-2),则k的值为(  )A.2B.C.1D.-27.D8.(2022•荆门)已知:多项式x2-kx+1是一个完全平方式,则反比例函数的解析式为(  )A.B.C.或D.或8.C8.解:∵多项式x2-kx+1是一个完全平方式,∴k=±2,把k=±2分别代入反比例函数y=k-1x的解析式得:y=1x或y=-3x,故选:C.18\n9.(2022•铜仁地区)如图,正方形ABOC的边长为2,反比例函数的图象过点A,则k的值是(  )A.2B.-2C.4D.-49.D10.(2022•黔东南州)如图,点A是反比例函数(x<0)的图象上的一点,过点A作ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则ABCD的面积为(  )A.1B.3C.6D.1210.C10.解:过点A作AE⊥OB于点E,因为矩形ADOC的面积等于AD×AE,平行四边形的面积等于:AD×AE,所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积,根据反比例函数的k的几何意义可得:矩形ADOC的面积为6,即可得平行四边形ABCD的面积为6.故选C.11.(2022•无锡)若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为(  )A.-1B.1C.-2D.211.B12.(2022•梅州)在同一直角坐标系下,直线y=x+1与双曲线的交点的个数为(  )A.0个B.1个C.2个D.不能确定12.C18\n13.(2022•阜新)如图,反比例函数的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于点(2,1),则使y1>y2的x的取值范围是(  )A.0<x<2B.x>2C.x>2或-2<x<0D.x<-2或0<x<213.D13.解:∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称,∴A、B两点关于原点对称,∵A(2,1),∴B(-1,-2),∵由函数图象可知,当0<x<2或x<-2时函数y1的图象在y2的上方,∴使y1>y2的x的取值范围是x<-2或0<x<2.故选D.14.(2022•南京)若反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点,则k的值可以是(  )A.-2B.-1C.1D.214.A14.解:∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点,∴无解,即=x+2无解,整理得x2+2x-k=0,∴△=4+4k<0,解得k<-1,四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件.故选A.二、填空题16.(2022•连云港)已知反比例函数的图象经过点A(m,1),则m的值为.16.217.(2022•盐城)若反比例函数的图象经过点P(-1,4),则它的函数关系式是.17.18\n18.(2022•衡阳)如图,反比例函数的图象经过点P,则k=.18.-619.(2022•宿迁)在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线和于A,B两点,P是x轴上的任意一点,则△ABP的面积等于.19.419.解:如图所示:分别过点A、B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,∵点A、B分别在双曲线和上,∴S矩形ACOE=6,S矩形BEOD=2,∴S矩形ACBD=S矩形ACOE+S矩形BEOD=6+2=8,即AB•AC=8,∴S△ABP=AB•AC=×8=4.故答案为:4.18\n20.(2022•毕节地区)如图,双曲线(k≠0)上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,则该双曲线的表达式为.20.21.(2022•益阳)反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),则反比例函数的解析式是.21.三、解答题24.(2022•湖州)如图,已知反比例函数(k≠0)的图象经过点(-2,8).(1)求这个反比例函数的解析式;(2)若(2,y1),(4,y2)是这个反比例函数图象上的两个点,请比较y1、y2的大小,并说明理由.18\n24.解:(1)把(-2,8)代入,得8=,解得:k=-16,所以y=-16x;(2)y1<y2.理由:∵k=-16<0,∴在每一个象限内,函数值y随x的增大而增大,∵点(2,y1),(4,y2)都在第四象限,且2<4,∴y1<y2.25.(2022•资阳)已知:一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.(1)求该反比例函数的解析式;(2)将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标;(3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到;②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点.25.解:(1)把x=1代入y=3x-2,得y=1,设反比例函数的解析式为,把x=1,y=1代入得,k=1,∴该反比例函数的解析式为; (2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,解方程组,得或.∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(-1,-1);(3)y=-2x-2.(结论开放,常数项为-2,一次项系数小于-1的一次函数均可)26.(2022•肇庆)已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限.(1)求k的取值范围;(2)若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4.①求当x=-6时反比例函数y的值;②当0<x<时,求此时一次函数y的取值范围.26.解:(1)∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限,∴k-1>0,18\n解得:k>1;(2)①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4,∴将y=4代入得:4x=k-1,即x=,将y=4代入②得:2x+k=4,即x=,∴=,即k-1=2(4-k),解得:k=3,∴反比例解析式为,当x=-6时,y=;②由k=3,得到一次函数解析式为y=2x+3,即x=,∵0<x<,∴0<<,解得:3<y<4,则一次函数y的取值范围是3<y<4.18

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发布时间:2022-08-25 21:26:04 页数:18
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文章作者:U-336598

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