2022年中考数学专题复习讲座 第十三讲 反比例函数

2022年中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy=k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1（2022•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）18\nA．B．C．D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2（2022•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数图象的两个分支分别在（　　）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+-+2，=（a-）2+74，∵（a-）2≥0，∴（a-）2+74＞0，∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选A．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a218\n-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3（2022•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．解：∵函数中k=6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵-1＜0，∴点（-1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2022•毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是（　　）A．B．C．D．1．C2．（2022•内江）函数的图象在（　　）A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限2．A2．解：∵中x≥0，中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．18\n3．（2022•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4（2022•哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（　　）A．2B．-2C．-3D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2022•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　）A．B．C．D．4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=，即．故选D．考点三：反比例函数k的几何意义18\n例5（2022•铁岭）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）A．12B．10C．8D．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线（k≠0）上在第一象限，∴k＞0，延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形，∵点A在双曲线上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k，∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故选A．点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2022•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（　　）18\nA．3B．C．D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入，得，所以B（t，）、C（t，），所以BC=-（）=．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6（2022•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（　　）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、，∵把①代入②得：x+1=，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；18\nB、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2022•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）A．-2＜x＜0或x＞1B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2022•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y318\n1．A1．解：∵反比例函数y=-3x中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2022•菏泽）反比例函数的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（　　）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定2．D3．（2022•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=中，y是x的反比例函数的有（填序号）。3．②⑤4．（2022•济宁）如图，是反比例函数的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）4．①②④4．解：①根据函数图象在第一象限可得k-2＞0，故k＞2，故①正确；②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；故答案为：①②④．18\n5．（2022•潍坊）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为．5．5．解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，∴P点坐标为（-2，4），将（-2，4）解析式得，k=xy=-2×4=-8，∴函数解析式为．故答案为．6．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．6．6．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6，∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3，∵点P（3a，a）在直线AB上，18\n∴3a=3，解得a=1，∴P（3，1），∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=3，∴此反比例函数的解析式为：．故答案为：．7．（2022•泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b-＞0的解集．7．解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1∴B（-2，0），OA=1，∴A（0，-1）∴，∴，18\n∴y=x-1又∵OD=4，OD⊥x轴，∴C（-4，y），将x=-4代入y=x-1得y=1，∴C（-4，1）∴1=，∴m=-4，∴y=。（2）当x＜0时，kx+b-＞0的解集是x＜-4．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•南充）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）A．B．C．D．1．C2．（2022•孝感）若正比例函数y=-2x与反比例函数图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为（　　）A．（2，-1）B．（1，-2）C．（-2，-1）D．（-2，1）2．B3．（2022•恩施州）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（　　）A．-6B．-9C．0D．93．A3．思路分析：先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1•y1=x2•y2=3，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点∴x1•y1=x2•y2=3①，18\n∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=3x交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=-x2，y1=-y2②，∴原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6．故选A．4．（2022•常德）对于函数，下列说法错误的是（　　）A．它的图象分布在一、三象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小4．C5．（2022•淮安）已知反比例函数的图象如图所示，则实数m的取值范围是（　　）A．m＞1B．m＞0C．m＜1D．m＜05．A6．（2022•南平）已知反比例函数的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为（　　）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．不能确定6．A7．（2022•内江）已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（　　）A．2B．C．1D．-27．D8．（2022•荆门）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为（　　）A．B．C．或D．或8．C8．解：∵多项式x2-kx+1是一个完全平方式，∴k=±2，把k=±2分别代入反比例函数y=k-1x的解析式得：y=1x或y=-3x，故选：C．18\n9．（2022•铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（　　）A．2B．-2C．4D．-49．D10．（2022•黔东南州）如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（　　）A．1B．3C．6D．1210．C10．解：过点A作AE⊥OB于点E，因为矩形ADOC的面积等于AD×AE，平行四边形的面积等于：AD×AE，所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOC的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．11．（2022•无锡）若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1，则k的值为（　　）A．-1B．1C．-2D．211．B12．（2022•梅州）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（　　）A．0个B．1个C．2个D．不能确定12．C18\n13．（2022•阜新）如图，反比例函数的图象与正比例函数y2=k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）A．0＜x＜2B．x＞2C．x＞2或-2＜x＜0D．x＜-2或0＜x＜213．D13．解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A（2，1），∴B（-1，-2），∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜-2时函数y1的图象在y2的上方，∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜-2或0＜x＜2．故选D．14．（2022•南京）若反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（　　）A．-2B．-1C．1D．214．A14．解：∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴无解，即=x+2无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜-1，四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件．故选A．二、填空题16．（2022•连云港）已知反比例函数的图象经过点A（m，1），则m的值为．16．217．（2022•盐城）若反比例函数的图象经过点P（-1，4），则它的函数关系式是．17．18\n18．（2022•衡阳）如图，反比例函数的图象经过点P，则k=．18．-619．（2022•宿迁）在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线和于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于．19．419．解：如图所示：分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，∵点A、B分别在双曲线和上，∴S矩形ACOE=6，S矩形BEOD=2，∴S矩形ACBD=S矩形ACOE+S矩形BEOD=6+2=8，即AB•AC=8，∴S△ABP=AB•AC=×8=4．故答案为：4．18\n20．（2022•毕节地区）如图，双曲线(k≠0)上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为．20．21．（2022•益阳）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是．21．三、解答题24．（2022•湖州）如图，已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（-2，8）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．18\n24．解：（1）把（-2，8）代入，得8=，解得：k=-16，所以y=-16x；（2）y1＜y2．理由：∵k=-16＜0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4，∴y1＜y2．25．（2022•资阳）已知：一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点（0，-2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．25．解：（1）把x=1代入y=3x-2，得y=1，设反比例函数的解析式为，把x=1，y=1代入得，k=1，∴该反比例函数的解析式为； （2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，解方程组，得或．∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（-1，-1）；（3）y=-2x-2．（结论开放，常数项为-2，一次项系数小于-1的一次函数均可）26．（2022•肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=-6时反比例函数y的值；②当0＜x＜时，求此时一次函数y的取值范围．26．解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k-1＞0，18\n解得：k＞1；（2）①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，∴将y=4代入得：4x=k-1，即x=，将y=4代入②得：2x+k=4，即x=，∴=，即k-1=2（4-k），解得：k=3，∴反比例解析式为，当x=-6时，y=；②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=，∵0＜x＜，∴0＜＜，解得：3＜y＜4，则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．18