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2021年内蒙古包头市、乌兰察布中考数学试卷

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2021年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项,请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1.据交通运输部报道,截至2020年底,全国共有城市新能源公交车46.61万辆,位居全球第一,将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于(  )A.6B.5C.4D.32.下列运算结果中,绝对值最大的是(  )A.1+(﹣4)B.(﹣1)4C.(﹣5)﹣1D.3.已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2,若D是线段AC的中点,则线段AD的长为(  )A.1B.3C.1或3D.2或34.柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋是同一双的概率为(  )A.B.C.D.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,交AC于点C,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为(  )A.8﹣πB.4﹣πC.2﹣D.1﹣6.若x=+1,则代数式x2﹣2x+2的值为(  )A.7B.4C.3D.3﹣27.定义新运算“⨂”,规定:a⨂b=a﹣2b.若关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>﹣1,则m的值是(  )A.﹣1B.﹣2C.1D.28.如图,直线l1∥l2,直线l3交l1于点A,交l2于点B,过点B的直线l4交l1于点C.若∠3=50°,∠1+∠2+∠3=240°,则∠4等于(  )A.80°B.70°C.60°D.50°9.下列命题正确的是(  )A.在函数y=﹣中,当x>0时,y随x的增大而减小B.若a<0,则1+a>1﹣aC.垂直于半径的直线是圆的切线D.各边相等的圆内接四边形是正方形10.已知二次函数y=ax2﹣bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,﹣b),则一次函数y=bx﹣ac的图象不经过(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.如图,在△ABC中,AB=AC,△DBC和△ABC关于直线BC对称,连接AD,与BC相交于点O,过点C作CE⊥CD,垂足为C,AD相交于点E,若AD=8,BC=6,则的值为(  )A.B.C.D.12.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC边在y第22页(共22页) 轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象与BC交于点D,与对角线OB交于点E,与AB交于点F,连接OD,DE,EF,DF.下列结论:①sin∠DOC=cos∠BOC;②OE=BE;③S△DOE=S△BEF;④OD:DF=2:3.其中正确的结论有(  )A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13.因式分解:+ax+a=  .14.化简:=  .15.一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4,则a+b的立方根为  .16.某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为  .17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为  .18.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD的周长为  .19.如图,BD是正方形ABCD的一条对角线,E是BD上一点,F是CB延长线上一点,连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则∠BAF的度数为  .20.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点,当BE+DE的值最小时,△ACE的面积为  .三、解答题:本大题共有6小题,共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21.(8分)为了庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞赛的学生分为甲乙两组,每组学生均为20名,赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图),已知竞赛成绩满分为100分,统计表中a,b满足b=2a.请根据所给信息,解答下列问题:甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩(分)708090100人数3ab5第22页(共22页) (1)求统计表中a,b的值;(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是:(70+80+90+100)÷4=85(分).根据所学统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果;(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果,那么竞赛成绩较好的是哪个组?请说明理由.22.(8分)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为km,CD长为(+)km,BD长为km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内).(1)求A、D两点之间的距离;(2)求隧道AB的长度.23.(10分)小刚家到学校的距离是1800米.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.(1)求小刚跑步的平均速度;(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?请说明理由.24.(10分)如图,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,以AD为直径的⊙O交AB于点E,交AC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为H,交于点G,交AD于点M,连接AG,DE,DF.(1)求证:∠GAD+∠EDF=180°;(2)若∠ACB=45°,AD=4,tan∠ABC=2,求HF的长.第22页(共22页) 25.(12分)如图,已知△ABC是等边三角形,P是△ABC内部的一点,连接BP,CP.(1)如图1,以BC为直径的半圆O交AB于点Q,交AC于点R,当点P在上时,连接AP,在BC边的下方作∠BCD=∠BAP,CD=AP,连接DP,求∠CPD的度数;(2)如图2,E是BC边上一点,且EC=3BE,当BP=CP时,连接EP并延长,交AC于点F,若AB=4BP,求证:4EF=3AB;(3)如图3,M是AC边上一点,当AM=2MC时,连接MP.若∠CMP=150°,AB=6a,MP=a,△ABC的面积为S1,△BCP的面积为S2,求S1﹣S2的值(用含a的代数式表示).26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,点M(m,n)是抛物线上一动点.(1)如图1,当m>0,n>0,且n=3m时,①求点M的坐标;②若点B(,y)在该抛物线上,连接OM,BM,C是线段BM上一动点(点C与点M,B不重合),过点C作CD∥MO,交x轴于点D,线段OD与MC是否相等?请说明理由;(2)如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E(x,)在对称轴上,当m>2,n>0,且直线EM交x轴的负半轴于点F时,过点A作x轴的垂线,交直线EM于点N,G为y轴上一点,点G的坐标为(0,),连接GF.若EF+NF=2MF,求证:射线FE平分∠AFG.第22页(共22页) 2021年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项,请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1.据交通运输部报道,截至2020年底,全国共有城市新能源公交车46.61万辆,位居全球第一,将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于(  )A.6B.5C.4D.3【解答】解:因为46.61万=466100=4.661×105,所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于5.故选:B.2.下列运算结果中,绝对值最大的是(  )A.1+(﹣4)B.(﹣1)4C.(﹣5)﹣1D.【解答】解:因为|1+(﹣4)|=|﹣3|=3,|(﹣1)4|=|1|=1,|(﹣5)﹣1|=|﹣|=,||=|2|=2,且<1<2<3,所以绝对值最大的是选项A.故选:A.3.已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2,若D是线段AC的中点,则线段AD的长为(  )A.1B.3C.1或3D.2或3【解答】解:根据题意分两种情况,①如图1,∵AB=4,BC=2,∴AC=AB﹣BC=2,∵D是线段AC的中点,∴AD==;②如图2,∵AB=4,BC=2,∴AC=AB+BC=6,∵D是线段AC的中点,∴AD==×6=3.∴线段AD的长为1或3.故选:C.4.柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋是同一双的概率为(  )A.B.C.D.【解答】解:两双不同的鞋用A、a、B、b表示,其中A、a表示同一双鞋,B、b表示同一双鞋,第22页(共22页) 画树状图为:共有12种等可能的结果,其中取出的鞋是同一双的结果数为4,所以取出的鞋是同一双的概率==.故选:A.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点D,交AC于点C,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为(  )A.8﹣πB.4﹣πC.2﹣D.1﹣【解答】解:根据题意可知AC===1,则BE=BE=AD=AC=1,设∠B=n°,∠A=m°,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,即n+m=90,∴S阴影部分=S△ABC﹣(S扇形EBF+S扇形DAC)=﹣()=1﹣=1﹣,故选:D.6.若x=+1,则代数式x2﹣2x+2的值为(  )A.7B.4C.3D.3﹣2【解答】解:∵x=+1,∴x﹣1=,∴(x﹣1)2=2,即x2﹣2x+1=2,∴x2﹣2x=1,∴x2﹣2x+2=1+2=3.故选:C.7.定义新运算“⨂”,规定:a⨂b=a﹣2b.若关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>﹣1,则m的值是(  )A.﹣1B.﹣2C.1D.2【解答】解∵a⊗b=a﹣2b,∴x⨂m═x﹣2m.∵x⨂m>3,∴x﹣2m>3,∴x>2m+3.∵关于x的不等式x⨂m>3的解集为x>﹣1,∴2m+3=﹣1,第22页(共22页) ∴m=﹣2.故选:B.8.如图,直线l1∥l2,直线l3交l1于点A,交l2于点B,过点B的直线l4交l1于点C.若∠3=50°,∠1+∠2+∠3=240°,则∠4等于(  )A.80°B.70°C.60°D.50°【解答】解:如图,∵l1∥l2,∴∠1+∠3=180°,∵∠1+∠2+∠3=240°,∴∠2=240°﹣(∠1+∠3)=60°,∵∠3+∠2+∠5=180°,∠3=50°,∴∠5=180°﹣∠2﹣∠3=70°,∵l1∥l2,∴∠4=∠5=70°,故选:B.9.下列命题正确的是(  )A.在函数y=﹣中,当x>0时,y随x的增大而减小B.若a<0,则1+a>1﹣aC.垂直于半径的直线是圆的切线D.各边相等的圆内接四边形是正方形【解答】解:A、在函数y=﹣中k=﹣<0,当x>0时,y随x的增大而增大,故原命题错误,不符合题意;B、若a<0,则1+a<1﹣a,故原命题错误,不符合题意;C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线,故原命题错误,不符合题意;D、各边相等的圆内接四边形是正方形,正确,是真命题,符合题意,故选:D.10.已知二次函数y=ax2﹣bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,﹣b),则一次函数y=bx﹣ac的图象不经过(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵点(1,﹣b)在第一象限.∴﹣b>0.∴b<0.∵二次函数y=ax2﹣bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,﹣b).∴﹣b=a﹣b+c.第22页(共22页) ∴a+c=0.∵a≠0.∴ac<0.∴一次函数y=bx﹣ac的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选:C.11.如图,在△ABC中,AB=AC,△DBC和△ABC关于直线BC对称,连接AD,与BC相交于点O,过点C作CE⊥CD,垂足为C,AD相交于点E,若AD=8,BC=6,则的值为(  )A.B.C.D.【解答】解:∵△DBC和△ABC关于直线BC对称,∴AC=CD,AB=BD,∵AB=AC,∴AC=CD=AB=BD,∴四边形ABDC是菱形,∴AD⊥BC,AO=DO=4,BO=CO=3,∠ACO=∠DCO,∴BD===5,∵CE⊥CD,∴∠DCO+∠ECO=90°=∠CAO+∠ACO,∴∠CAO=∠ECO,∴tan∠ECO==,∴,∴EO=,∴AE=,∴==,故选:D.12.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC边在y轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象与BC交于点D,与对角线OB交于点E,与AB交于点F,连接OD,DE,EF,DF.下列结论:①sin∠DOC=cos∠BOC;②OE=BE;③S△DOE=S△BEF;④OD:DF=2:3.其中正确的结论有(  )第22页(共22页) A.4个B.3个C.2个D.1个【解答】解:①矩形OABC中,∵B(4,2),∴OA=4,OC=2,由勾股定理得:OB==2,当y=2时,2=,∴x=1,∴D(1,2),∴CD=1,由勾股定理得:OD==,∴sin∠DOC===,cos∠BOC==,∴sin∠DOC=cos∠BOC,故①正确;②设OB的解析式为:y=kx(k≠0),把(4,2)代入得:4k=2,∴k=,∴y=x,当x=时,x=±2,∴E(2,1),∴E是OB的中点,∴OE=BE,故②正确;③当x=4时,y=,∴F(4,),∴BF=2﹣=,∴S△BEF=(4﹣2)=,S△DOE=﹣﹣=4﹣1﹣第22页(共22页) =,∴S△DOE=S△BEF,故③正确;④由勾股定理得:DF==,∵OD=,∴=,即OD:DF=2:3.故④正确;其中正确的结论有①②③④,共4个.故选:A.二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13.因式分解:+ax+a= a(x+2)2 .【解答】解:原式=a(x2+4x+4)=a(x+2)2,故答案为:a(x+2)2.14.化简:= 1 .【解答】解:原式=•(m+2)==1.故答案为1.15.一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4,则a+b的立方根为 2 .【解答】解:∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4,∴2b﹣1+b+4=0,∴b=﹣1.∴b+4=﹣1+4=3,∴a=9.∴a+b=9+(﹣1)=8,∵8的立方根为2,∴a+b的立方根为2.故答案为:2.16.某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为 3.6 .【解答】解:根据题意,数据5,10,7,x,10的中位数为8,则有x=8,这组数据的平均数为(5+10+7+8+10)=8,则这组数据的方差S2=[5﹣8)2+(10﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(10﹣8)2]=3.6,故答案为:3.6.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD第22页(共22页) =3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为  .【解答】解:∵∠ACB=90°,BD⊥CD,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,∴△MAC∽MBD,△CMN∽CDB,∴,,∴,∴,∴MN=.故答案为:.18.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD的周长为 24+6 .【解答】解:连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC=180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,第22页(共22页) ∴FC=OE,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD=AD=6,∵OC=AB,CF⊥AD,∴OF=OD=3,在Rt△OFC中,由勾股定理得,OC2=OF2+FC2=32+62=45,∴AB=OC=3,∴▱ABCD的周长为12+12+3+3=24+6,故答案为:24+6.19.如图,BD是正方形ABCD的一条对角线,E是BD上一点,F是CB延长线上一点,连接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则∠BAF的度数为 22.5° .【解答】解:如右图,连接AE,∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠BDC=45°,∵DE=DC=AD,∴∠DEC=∠DCE==67.5°,∵∠DCB=90°,∴∠BCE=90°﹣∠DCE=90°﹣67.5°=22.5°,∵EF=EC,∴∠EFC=180°﹣∠EFC﹣∠ECF=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°,∵∠BEC=180°﹣∠DEC=180°﹣67.5°=112.5°,∴∠BEF=135°﹣112.5°=22.5°,∵AD=DE,∠ADE=45°,∴∠AED==67.5°,∴∠BEF+∠AED=22.5°+67.5°=90°,∴∠AEF=180°﹣90°=90°,在△ADE和△EDC中,,∴△ADE≌△EDC(SAS),∴AE=EC,∴AE=EF,即△AEF为等腰直角三角形,∴∠AFE=45°,∴∠AFB=∠AFE+∠BFE=45°+22.5°=67.5°,∵∠ABF=90°,∴∠BAF=90°﹣∠AFB=90°﹣67.5°=22.5°,第22页(共22页) 故答案为:22.5°.20.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点,当BE+DE的值最小时,△ACE的面积为 4 .【解答】解:当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,则C(0,﹣3),当x=4时,y=x2﹣2x﹣3=5,则D(4,5),连接AD交直线x=1于E,交y轴于F点,如图,∵BE+DE=EA+DE=AD,∴此时BE+DE的值最小,设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(﹣1,0),D(4,5)代入得,解得,∴直线AD的解析式为y=x+1,当x=1时,y=x+1=2,则E(1,2),当x=0时,y=x+1=1,则F(0,1),∴S△ACE=S△ACF+S△ECF=×4×1+×4×1=4.故答案为4.三、解答题:本大题共有6小题,共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21.(8分)为了庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞赛的学生分为甲乙两组,每组学生均为20名,赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图),已知竞赛成绩满分为100分,统计表中a,b满足b=2a.请根据所给信息,解答下列问题:第22页(共22页) 甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩(分)708090100人数3ab5(1)求统计表中a,b的值;(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是:(70+80+90+100)÷4=85(分).根据所学统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果;(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果,那么竞赛成绩较好的是哪个组?请说明理由.【解答】解:(1)∵每组学生均为20名,∴a+b=20﹣3﹣5=12(名),∵b=2a,∴a=4,b=8;(2)小明的计算不正确,正确的计算为:=87.5(分);(3)竞赛成绩较好的是甲组,理由:乙组20名学生竞赛成绩的平均分:100×+90×+80×+70×=10+22.5+20+28=80.5(分),80.5<87.5,∴竞赛成绩较好的是甲组.22.(8分)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为km,CD长为(+)km,BD长为km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、B、C、D在同一水平面内).(1)求A、D两点之间的距离;(2)求隧道AB的长度.【解答】解:(1)过A作AE⊥CD于E,如图所示:第22页(共22页) 则∠AEC=∠AED=90°,∵∠ACD=60°,∴∠CAE=90°﹣60°=30°,∴CE=AC=(km),AE=CE=(km),∴DE=CD﹣CE=(+)﹣=(km),∴AE=DE,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AD=AE=×=(km);(2)由(1)得:△ADE是等腰直角三角形,∴AD=AE=(km),∠ADE=45°,∵∠CDB=135°,∴∠ADB=135°﹣45°=90°,∴AB===3(km),即隧道AB的长度为3km.23.(10分)小刚家到学校的距离是1800米.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.(1)求小刚跑步的平均速度;(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?请说明理由.【解答】解:(1)设小刚跑步的平均速度为x米/分,则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分,根据题意,得,解得:x=150,经检验,x=150是所列方程的根,所以小刚跑步的平均速度为150米/分.(2)由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分,则小刚跑步所用时间为1800÷150=12(分),骑自行车所用时间为12﹣4.5=7.5(分),∵在家取作业本和取自行车共用了3分,∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(分).又∵22.5>20,所以小刚不能在上课前赶回学校.24.(10分)如图,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,以AD为直径的⊙O交AB第22页(共22页) 于点E,交AC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为H,交于点G,交AD于点M,连接AG,DE,DF.(1)求证:∠GAD+∠EDF=180°;(2)若∠ACB=45°,AD=4,tan∠ABC=2,求HF的长.【解答】(1)证明:由题可知∠AGF=∠ADF(同弧所对的圆周角相等),∵GF⊥AB,AD为圆的直径,∴∠AGF+∠GAE=90°,∠ADF+∠FAD=90°,∴∠GAE=∠FAD,∴∠GAE+∠DAE=∠FAD+∠DAE,即∠GAD=∠EAF,∵四边形AEDF是圆的内接四边形,∴∠EAF+∠EDF=180°,∴∠GAD+∠EDF=180°.(2)解:如图,连接OF,∵AD是圆的直径,且AD是△ABC的高,GF⊥AB,∴∠AED=∠ADB=∠AHM=∠AFD=90°,∴△AHM∽△ADB,∴=,∵tan∠ABC==2,∴=2,∵∠ACB=45°,∴∠DAC=∠ADF=∠AFO=45°,∴∠AOF=90°,∵在Rt△AHM与Rt△FOM中:∠AMH=∠FMO(对顶角),∴△AHM∽△FOM,∴==2,第22页(共22页) ∵AD=4,∴OF=OA=2,∴=2,解得OM=1,AM=OA﹣OM=1,设HM=x,则AH=2x,在△AHM中有:AH2+HM2=AM2,即(2x)2+x2=1,解得x1=,x2=﹣(舍去),∴AH=,∵OF=OA=2,∴AF=2,在Rt△AHF中,有:AH2+HF2=AF2,即()2+HF2=(2)2,解得HF=,或HF=﹣(舍去),故HF的长为.25.(12分)如图,已知△ABC是等边三角形,P是△ABC内部的一点,连接BP,CP.(1)如图1,以BC为直径的半圆O交AB于点Q,交AC于点R,当点P在上时,连接AP,在BC边的下方作∠BCD=∠BAP,CD=AP,连接DP,求∠CPD的度数;(2)如图2,E是BC边上一点,且EC=3BE,当BP=CP时,连接EP并延长,交AC于点F,若AB=4BP,求证:4EF=3AB;(3)如图3,M是AC边上一点,当AM=2MC时,连接MP.若∠CMP=150°,AB=6a,MP=a,△ABC的面积为S1,△BCP的面积为S2,求S1﹣S2的值(用含a的代数式表示).【解答】解:(1)如图1,连接BD,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,在△BAP和△BCD中,,∴△BAP≌△BCD(SAS),∴BP=BD,∠ABP=∠CBD,∵∠ABP+∠PBC=60°,∴∠CBD+∠PBC=60°,即∠PBD=60°,第22页(共22页) ∴△BDP是等边三角形,∴∠BPD=60°,∵BC是⊙O的直径,∴∠BPC=90°,∴∠CPD=∠BPC﹣∠BPD=90°﹣60°=30°;(2)如图2,连接AP交BC于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,∵BP=CP,∴AD⊥BC,BD=CD=BC=AB,∴AD=AB•sin∠ABC=AB•sin60°=AB,∵AB=4BP,∴BP=AB,∴PD===AB,∴PD=AD,即点P是AD的中点,∵EC=3BE,∴BE=BC,BC=4BE,∵BD=BC,∴BE=BD,即点E是BD的中点,∴EP是△ABD的中位线,∴EF∥AB,∴△CEF∽△CBA,∴===,∴4EF=3AB;(3)如图3,过点A作AD⊥BC于点D,过点P作PE⊥BC于点E,交AC于点F,作PH⊥AC于点H,由(2)得:AD=AB=3a,∠ACB=60°,BC=AC=AB=6a,∵∠CMP=150°,∴∠PMF=180°﹣∠CMP=180°﹣150°=30°,∵∠CHP=90°,∴PH=PM•sin∠PMF=a•sin30°=a,MH=PM•cos∠PMF=a•cos30°=a,∵EF⊥BC,∴∠CEF=90°,∴∠CFE=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°,∴∠CFE=∠PMF,∴PF=PM=a,∴FH=PF•cos∠PFH=a•cos30°=a,第22页(共22页) ∵AM=2MC,∴CM=AC=×6a=2a,∴CF=CM++MH+HF=5a,∴EF=CF•sin∠ACB=5a•sin60°=a,∴PE=EF﹣PF=a﹣a=a,∴S1﹣S2=S△ABC﹣S△BCP=BC•AD﹣BC•PE=BC•(AD﹣PE)=×6a×(3a﹣a)=a2.26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,点M(m,n)是抛物线上一动点.(1)如图1,当m>0,n>0,且n=3m时,①求点M的坐标;②若点B(,y)在该抛物线上,连接OM,BM,C是线段BM上一动点(点C与点M,B不重合),过点C作CD∥MO,交x轴于点D,线段OD与MC是否相等?请说明理由;(2)如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E(x,)在对称轴上,当m>2,n>0,且直线EM交x轴的负半轴于点F时,过点A作x轴的垂线,交直线EM于点N,G为y第22页(共22页) 轴上一点,点G的坐标为(0,),连接GF.若EF+NF=2MF,求证:射线FE平分∠AFG.【解答】解(1)①∵点M(m,n)在抛物线y=﹣x2+4x上,∴n=﹣m2+4m(Ⅰ),∵n=3m(Ⅱ),联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得,(舍去)或,∴M(1,3);②OD=MC,理由:如图1,∵点B(,y)在该抛物线y=﹣x2+4x上,∴y=﹣()2+4×=,∴B(,),由①知,M(1,3),∴直线BM的解析式为y=﹣x+,令y=0,则﹣x+=0,∴x=5,延长MB交x轴于P,∴P(5,0),∴OP=5,∵M(1,3),∴PM==5=OP,∴∠POM=∠PMO,∵CD∥MO,∴∠PDC=∠POM,∠PCD=∠PMO,∴∠PDC=∠PCD,∴PD=PC,∴PO﹣PD=PM﹣PC,∴OD=MC;(2)∵抛物线y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴E(2,),令y=0,则﹣x2+4x=0,第22页(共22页) ∴x=0或x=4,∴A(4,0),∵AN⊥x轴,∴点N的横坐标为4,由图知,NF=EF+EM+MN,MF=EF+EM,∵EF+NF=2MF,∴EF+EF+EM+MN=2(EF+EM),∴MN=EM,过点M作HM⊥x轴于H,∴MH是梯形EKAN的中位线,∴M的横坐标为3,∵点M在抛物线上,∴点M的纵坐标为﹣32+4×3=3,∴M(3,3),∵点E(2,),∴直线EF的解析式为y=x+1,令y=0,则x+1=0,∴x=﹣,∴F(﹣,0),∴OF=,∵令y=0,则y=1,记直线EF与y轴的交点为L,∴L(0,1),∴OL=1,∵G(0,),∴OG=,∴LG=OG﹣OL=,根据勾股定理得,FG===,过点L作LQ⊥FG于Q,∴S△FLG=FG•LQ=LG•OF,∴LQ===1=OL,∵OL⊥FA,LQ⊥FG,∴FE平分∠AFG,即射线FE平分∠AFG.第22页(共22页) 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2021/7/59:06:56;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557第22页(共22页)

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发布时间:2022-02-26 14:09:19 页数:22
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文章作者:180****8757

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