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2021年内蒙古通辽市中考数学试卷
2021年内蒙古通辽市中考数学试卷
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2021年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题(本题包括10道小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑)1.(3分)(2021•通辽)|﹣2|的倒数是( )A.2B.12C.﹣2D.-122.(3分)(2021•通辽)下列计算正确的是( )A.x2+x3=x5B.2x3﹣x3=1C.x3•x4=x7D.(﹣2xy2)3=﹣6x3y63.(3分)(2021•通辽)为迎接中国共产党建党一百周年,某班50名同学进行了党史知识竞赛,测试成绩统计如下表,其中有两个数据被遮盖.成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )A.平均数,方差B.中位数,方差C.中位数,众数D.平均数,众数4.(3分)(2021•通辽)关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣3)x﹣k+1=0的根的情况,下列说法正确的是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定5.(3分)(2021•通辽)如图,是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图,则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是( )第34页(共34页)\nA.3B.4C.5D.66.(3分)(2021•通辽)随着互联网技术的发展,我国快递业务量逐年增加,据统计从2018年到2020年,我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件,设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.507(1+2x)=833.6B.507×2(1+x)=833.6C.507(1+x)2=833.6D.507+507(1+x)+507(1+x)2=833.67.(3分)(2021•通辽)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是( )A.∠BDE=∠BACB.∠BAD=∠BC.DE=DCD.AE=AC8.(3分)(2021•通辽)定义:一次函数y=ax+b的特征数为[a,b],若一次函数y=﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-3x的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数y=﹣2x+m的特征数是( )A.[2,3]B.[2,﹣3]C.[﹣2,3]D.[﹣2,﹣3]9.(3分)(2021•通辽)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于M,N两点,当B′为线段MN的三等分点时,BE的长为( )第34页(共34页)\nA.32B.322C.32或322D.322或35510.(3分)(2021•通辽)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿A→B→C的路径运动,点Q沿A→D→C的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是( )A.B.C.D.二、填空题(本题包括7道小题,每小题3分,共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上)11.(3分)(2021•通辽)冠状病毒是一类病毒的总称,其最大直径约为0.00000012米,数据0.00000012用科学记数法表示为 .12.(3分)(2021•通辽)如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常.随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是 .第34页(共34页)\n13.(3分)(2021•通辽)一副三角板如图所示摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 .14.(3分)(2021•通辽)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则可列方程组为 .15.(3分)(2021•通辽)若关于x的不等式组3x-2≥12x-a<5,有且只有2个整数解,则a的取值范围是 .16.(3分)(2021•通辽)如图,AB是⊙O的弦,AB=23,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=60°,若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值是 .第34页(共34页)\n17.(3分)(2021•通辽)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…,△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形,点A1,A2,A3,…,An都在x轴上,点B1,B2,B3,…,Bn都在反比例函数y=1x(x>0)的图象上,则点Bn的坐标为 .(用含有正整数n的式子表示)三、解答题(本题包括9道小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)18.(5分)(2021•通辽)计算:(12)﹣1+(π﹣3)0﹣2cos30°+|3-12|.19.(6分)(2021•通辽)先化简,再求值:(2x+1x+1+x﹣1)÷x+2x2+2x+1,其中x满足x2﹣x﹣2=0.20.(6分)(2021•通辽)如图,甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形,每个扇形中都标有相应的数字,同时转动两个转盘(当指针指在边界线上时视为无效,需重新转动转盘),当转盘停止后,把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x,y.请用树状图或列表法求点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率.21.(7分)(2021•通辽)如图,一段河流自西向东,河岸笔直,且两岸平行.为测量其宽度,小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向,他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C第34页(共34页)\n处,此时测得大树位于北偏东45°方向,试计算此段河面的宽度(结果取整数,参考数据:3≈1.732)22.(7分)(2021•通辽)暑期将至,某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛,老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分),整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图.其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次共抽取 名学生,a的值为 ;(2)在扇形统计图中,n= ,E组所占比例为 %;(3)补全频数分布直方图;(4)若全校共有1500名学生,请根据抽样调查的结果,估计成绩在80分以上的学生人数.23.(8分)(2021•通辽)为做好新冠疫情的防控工作,某单位需购买甲、乙两种消毒液,经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元,该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液.第34页(共34页)\n(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化,该单位需再次购买两种消毒液共300桶,且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的13.由于购买量大,甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时,所需资金总额最少?最少总金额是多少元?24.(8分)(2021•通辽)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AC,点P是射线AC上的动点,连接OP,过点B作BD∥OP,交⊙O于点D,连接PD.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)当四边形POBD是平行四边形时,求∠APO的度数.25.(10分)(2021•通辽)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(22OA<OM<OA),∠AOB=∠MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:AM=BN;(2)将△MON绕点O顺时针旋转.①如图2,当点M恰好在AB边上时,求证:AM2+BM2=2OM2;②当点A,M,N在同一条直线上时,若OA=4,OM=3,请直接写出线段AM的长.第34页(共34页)\n26.(12分)(2021•通辽)如图,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(﹣1,0)两点,交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标及△PBC的周长;(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第34页(共34页)\n2021年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题包括10道小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑)1.(3分)(2021•通辽)|﹣2|的倒数是( )A.2B.12C.﹣2D.-12【解答】解:|﹣2|的倒数是12,故选:B.2.(3分)(2021•通辽)下列计算正确的是( )A.x2+x3=x5B.2x3﹣x3=1C.x3•x4=x7D.(﹣2xy2)3=﹣6x3y6【解答】解:A.x2+x3,不是同类项,不能合并,故本选项不合题意;B.2x3﹣x3=x3,故本选项不合题意;C.x3•x4=x7,故本选项符合题意;D.(﹣2xy2)3=﹣8x3y6,故本选项不合题意;故选:C.3.(3分)(2021•通辽)为迎接中国共产党建党一百周年,某班50名同学进行了党史知识竞赛,测试成绩统计如下表,其中有两个数据被遮盖.成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )第34页(共34页)\nA.平均数,方差B.中位数,方差C.中位数,众数D.平均数,众数【解答】解:由表格数据可知,成绩为24分、92分的人数为50﹣(12+10+8+6+5+3+2+1)=3(人),成绩为100分的,出现次数最多,因此成绩的众数是100,成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分,因此中位数是98,因此中位数和众数与被遮盖的数据无关,故选:C.4.(3分)(2021•通辽)关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣3)x﹣k+1=0的根的情况,下列说法正确的是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【解答】解:△=[﹣(k﹣3)]2﹣4(﹣k+1)=k2﹣6k+9﹣4+4k=k2﹣2k+5=(k﹣1)2+4,∵(k﹣1)2≥0,∴(k﹣1)2+4>0,即△>0,∴方程总有两个不相等的实数根.故选:A.5.(3分)(2021•通辽)如图,是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图,则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是( )第34页(共34页)\nA.3B.4C.5D.6【解答】解:根据主视图与左视图,第一行的正方体有1(只有一边有)或2(左右都有)个,第二行的正方体可能有2(左边有)或3(左右都有)个,∵1+2=3,1+3=4,2+2=4,2+3=5,∴不可能有6个.故选:D.6.(3分)(2021•通辽)随着互联网技术的发展,我国快递业务量逐年增加,据统计从2018年到2020年,我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件,设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x,则可列方程为( )A.507(1+2x)=833.6B.507×2(1+x)=833.6C.507(1+x)2=833.6D.507+507(1+x)+507(1+x)2=833.6【解答】解:设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得:507(1+x)2=833.6,故选:C.7.(3分)(2021•通辽)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是( )第34页(共34页)\nA.∠BDE=∠BACB.∠BAD=∠BC.DE=DCD.AE=AC【解答】解:根据尺规作图的痕迹可得,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线,∵∠C=90°,∴DE=DC,∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°,∴∠BDE=∠BAC,在Rt△AED和Rt△ACD中,AD=ADDE=DC,∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL),∴AE=AC,∵DE不是AB的垂直平分线,故不能证明∠BAD=∠B,综上所述:A,C,D不符合题意,B符合题意,故选:B.8.(3分)(2021•通辽)定义:一次函数y=ax+b的特征数为[a,b],若一次函数y=﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-3x的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数y=﹣2x+m的特征数是( )A.[2,3]B.[2,﹣3]C.[﹣2,3]D.[﹣2,﹣3]【解答】解:将一次函数y=﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y=﹣2x+m+3,设A(x1,0),B(x2,0),第34页(共34页)\n联立y=-2x+m+3y=-3x,∴2x2﹣(m+3)x﹣3=0,∵x1和x2是方程的两根,∴x1+x2=m+32,又∵A,B两点关于原点对称,∴x1+x2=0,∴m+32=0,∴m=﹣3,根据定义,一次函数y=﹣2x+m的特征数是[﹣2,﹣3],故选:D.9.(3分)(2021•通辽)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于M,N两点,当B′为线段MN的三等分点时,BE的长为( )A.32B.322C.32或322D.322或355【解答】解:①当MB'=13MN时,如图:第34页(共34页)\nRt△AMB'中,AB'=AB=3,MB'=13AB=1,∴AM=AB'2-MB'2=22,∵AD∥BC,AB⊥BC,MN⊥AD,∴四边形ABNM是矩形,∴BN=AM=22,MN=AB=3,设BE=x,则B'E=x,EN=22-x,Rt△B'EN中,B'N=MN﹣MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,∴(22-x)2+22=x2,解得x=322,∴BE的长为322;②当NB'=13MN时,如图:∵NB'=13MN=1,第34页(共34页)\n∴MB'=2,设BE=y,同①可得y=355,∴BE的长为355,综上所述,BE的长为322或355.故选:D.10.(3分)(2021•通辽)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿A→B→C的路径运动,点Q沿A→D→C的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是( )A.B.C.D.【解答】解:在Rt△APQ中,∠QAP=90°,AP=AQ=x,∴PQ2=2x2.当0≤x≤3时,AP=AQ=x,第34页(共34页)\n∴y=PQ2=2x2;当3≤x≤4时,DP=x﹣3,AP=x,∴y=PQ2=32+32=18;当4≤x≤7时,CP=7﹣x,CQ=7﹣x,∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣28x+98.故选:C.二、填空题(本题包括7道小题,每小题3分,共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上)11.(3分)(2021•通辽)冠状病毒是一类病毒的总称,其最大直径约为0.00000012米,数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 .【解答】解:0.00000012=1.2×10﹣7.故答案为:1.2×10﹣7.12.(3分)(2021•通辽)如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常.随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是 13 .【解答】解:把开关S1,S2,S3分别记为A、B、C,画树状图如图:第34页(共34页)\n共有6种等可能的结果,能让两个小灯泡同时发光的结果有2种,∴能让两个小灯泡同时发光的概率为26=13,故答案为:13.13.(3分)(2021•通辽)一副三角板如图所示摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 75° .【解答】解:如图,∠A=45°,∠C=30°,∵AB∥CD,∴∠2=∠C=30°,∴∠1=∠2+∠A=30°+45°=75°,故答案为:75°.第34页(共34页)\n14.(3分)(2021•通辽)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则可列方程组为 x-y=5y-12x=5 .【解答】解:设绳索长x尺,竿长y尺,依题意得:x-y=5y-12x=5.故答案为:x-y=5y-12x=5.15.(3分)(2021•通辽)若关于x的不等式组3x-2≥12x-a<5,有且只有2个整数解,则a的取值范围是 ﹣1<a≤1 .【解答】解:解不等式3x﹣2≥1,得:x≥1,解不等式2x﹣a<5,得:x<a+52,∵不等式组只有2个整数解,∴2<a+52≤3,解得﹣1<a≤1,故答案为:﹣1<a≤1.16.(3分)(2021•通辽)如图,AB是⊙O的弦,AB=23,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=60°,若点M,N分别是AB,BC的中点,则图中阴影部分面积的最大值是 4π3-34 .第34页(共34页)\n【解答】解:连接OA、OB、OM,如图,∵∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵AM=BM=12AB=3,∴OM⊥AB,∴tan30°=OMAM,∴OM=33×3=1,∴OA=2OM=2,∵点M、N分别是AB、BC的中点,∴MN∥AC,MN=12AC,∴△MBN∽△ABC,∴S△MBNS△ABC=(MNAC)2=14,∴当△ABC的面积最大时,△MBN的面积最大,∵C、O、M在一条直线时,△ABC的面积最大,第34页(共34页)\n∴△ABC的面积最大值为:12×23×(2+1)=33,∴△MBN的面积最大值为:334,∵S弓形=S扇形OAB﹣S△AOB=120π×22360-12×23×1=4π3-3,∴此时,S阴影=4π3-3+334=4π3-34,故答案为:4π3-34.17.(3分)(2021•通辽)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…,△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形,点A1,A2,A3,…,An都在x轴上,点B1,B2,B3,…,Bn都在反比例函数y=1x(x>0)的图象上,则点Bn的坐标为 (n-1+n,-n-1+n) .(用含有正整数n的式子表示)【解答】解:过B1作B1M1⊥x轴于M1,易知M1(1,0)是OA1的中点,∴A1(2,0).可得B1的坐标为(1,1),∴B1O的解析式为:y=x,∵P1O∥A1P2,∴A1B2的表达式一次项系数相等,将A1(2,0)代入y=x+b,第34页(共34页)\n∴b=﹣2,∴A1B2的表达式是y=x﹣2,与y=1x(x>0)联立,解得B2(1+2,﹣1+2).仿上,A2(22,0).B3(2+3,-2+3),依此类推,点Bn的坐标为(n-1+n,-n-1+n),故答案为(n-1+n,-n-1+n).三、解答题(本题包括9道小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)18.(5分)(2021•通辽)计算:(12)﹣1+(π﹣3)0﹣2cos30°+|3-12|.【解答】解:原式=2+1﹣2×32+23-3=-3+23=3.19.(6分)(2021•通辽)先化简,再求值:(2x+1x+1+x﹣1)÷x+2x2+2x+1,其中x满足x2﹣x﹣2=0.【解答】解:原式=2x+1+x2-1x+1•(x+1)2x+2=x(x+2)x+1•(x+1)2x+2=x(x+1)=x2+x,解方程x2﹣x﹣2=0,得x1=2,x2=﹣1,∵x+1≠0,第34页(共34页)\n∴x≠﹣1,当x=2时,原式=22+2=6.20.(6分)(2021•通辽)如图,甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形,每个扇形中都标有相应的数字,同时转动两个转盘(当指针指在边界线上时视为无效,需重新转动转盘),当转盘停止后,把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x,y.请用树状图或列表法求点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率.【解答】解:画树状图如图:共有9种等可能的结果,点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种,∴点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率为49.21.(7分)(2021•通辽)如图,一段河流自西向东,河岸笔直,且两岸平行.为测量其宽度,小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向,他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处,此时测得大树位于北偏东45°方向,试计算此段河面的宽度(结果取整数,参考数据:3≈1.732)第34页(共34页)\n【解答】解:如图,作AD⊥BC于D.由题意可知:BC=1.5×40=60(m),∠ABD=90°﹣60°=30°,∠ACD=90°﹣45°=45°,在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=tan45°=ADCD=1,∴AD=CD,在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=tan30°=ADBD,∴BD=ADtan30°,∵BC=BD﹣CD=AD33-AD=60(m),∴AD=30(3+1)≈82(m),答:此段河面的宽度约82m.22.(7分)(2021•通辽)暑期将至,某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛,老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分),整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图.第34页(共34页)\n其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次共抽取 150 名学生,a的值为 12 ;(2)在扇形统计图中,n= 144 ,E组所占比例为 4 %;(3)补全频数分布直方图;(4)若全校共有1500名学生,请根据抽样调查的结果,估计成绩在80分以上的学生人数.【解答】解:(1)A组的频数a比B组的频数b小15,A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%=10%,因此调查人数为:15÷(18%﹣8%)=150(人),a=150×8%=12(人),故答案为:150,12;(2)360°×60150=360°×40%=144°,即n=144,“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%=4%,故答案为:144,4;(3)b=a+15=27(人),“C组”频数为:150×30%=45(人),第34页(共34页)\n“E组”频数为:150×4%=6(人),补全频数分布直方图如图所示:(4)1500×60+6150=660(人),答:估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人.23.(8分)(2021•通辽)为做好新冠疫情的防控工作,某单位需购买甲、乙两种消毒液,经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元,该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液.(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化,该单位需再次购买两种消毒液共300桶,且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的13.由于购买量大,甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时,所需资金总额最少?最少总金额是多少元?【解答】解:(1)设乙种消毒液的零售价为x元/桶,则甲种消毒液的零售价为(x+6)元/桶,依题意得:900x+6=720x,解得:x=24,经检验,x=24是原方程的解,且符合题意,第34页(共34页)\n∴x+6=30.答:甲种消毒液的零售价为30元/桶,乙种消毒液的零售价为24元/桶.(2)设购买甲种消毒液m桶,则购买乙种消毒液(300﹣m)桶,依题意得:m≥13(300﹣m),解得:m≥75.设所需资金总额为w元,则w=20m+15(300﹣m)=5m+4500,∵5>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=75时,w取得最小值,最小值=5×75+4500=4875.答:当甲种消毒液购买75桶时,所需资金总额最少,最少总金额是4875元.24.(8分)(2021•通辽)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AC,点P是射线AC上的动点,连接OP,过点B作BD∥OP,交⊙O于点D,连接PD.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)当四边形POBD是平行四边形时,求∠APO的度数.【解答】(1)证明:连接OD,第34页(共34页)\n∵PA切⊙O于A,∴PA⊥AB,即∠PAO=90°,∵OP∥BD,∴∠DBO=∠AOP,∠BDO=∠DOP,∵OD=OB,∴∠BDO=∠DBO,∴∠DOP=∠AOP,在△AOP和△DOP中AO=DO∠AOP=∠DOPPO=PO,∴△AOP≌△DOP(SAS),∴∠PDO=∠PAO,∵∠PAO=90°,∴∠PDO=90°,即OD⊥PD,∵OD过O,∴PD是⊙O的切线;第34页(共34页)\n(2)解:由(1)知:△AOP≌△DOP,∴PA=PD,∵四边形POBD是平行四边形,∴PD=OB,∵OB=OA,∴PA=OA,∵∠PAO=90°,∴∠APO=∠AOP=45°.25.(10分)(2021•通辽)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(22OA<OM<OA),∠AOB=∠MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:AM=BN;(2)将△MON绕点O顺时针旋转.①如图2,当点M恰好在AB边上时,求证:AM2+BM2=2OM2;②当点A,M,N在同一条直线上时,若OA=4,OM=3,请直接写出线段AM的长.第34页(共34页)\n【解答】(1)证明:∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON,即∠AOM=∠BON,∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS),∴AM=BN;(2)①证明:连接BN,∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB﹣∠BOM=∠MON﹣∠BOM,即∠AOM=∠BON,第34页(共34页)\n∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS),∴∠MAO=∠NBO=45°,AM=BN,∴∠MBN=90°,∴MN2+BN2=MN2,∵△MON都是等腰直角三角形,∴MN2=2ON2,∴AM2+BM2=2OM2;②解:如图3,当点N在线段AM上时,连接BN,设BN=x,由(1)可知△AOM≌△BON,可得AM=BN且AM⊥BN,在Rt△ABN中,AN2+BN2=AB2,∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,OA=4,OM=3,∴MN=32,AB=42,∴(x﹣32)2+x2=(42)2,解得:x=46+322,∴AM=BN=46+322,第34页(共34页)\n如图4,当点,M在线段AN上时,连接BN,设BN=x,由(1)可知△AOM≌△BON,可得AM=BN且AM⊥BN,在Rt△ABN中,AN2+BN2=AB2,∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,OA=4,OM=3,∴MN=32,AB=42,∴(x+32)2+x2=(42)2,解得:x=46-322,∴AM=BN=46-322,综上所述,线段AM的长为46+322或46-322.26.(12分)(2021•通辽)如图,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(﹣1,0)两点,交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标及△PBC的周长;(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第34页(共34页)\n【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(﹣1,0)两点,∴9a+3b+3=0a-b+3=0,解得:a=-1b=2,∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)在y=﹣x2+2x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3),∵△PBC的周长为:PB+PC+BC,BC是定值,∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小.如图1,点A、B关于对称轴l对称,连接AC交l于点P,则点P为所求的点.∵AP=BP,∴△PBC周长的最小值是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3),∴AC=32,BC=10.∴△PBC周长的最小值是:32+10.抛物线对称轴为直线x=-22×(-1)=1,第34页(共34页)\n设直线AC的解析式为y=kx+c,将A(3,0),C(0,3)代入,得:3k+c=0c=3,解得:k=-1c=3,∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,∴P(1,2);(3)存在.设P(1,t),①以AC为边时,如图2,∵四边形ACPQ是菱形,∴CP=CA,∴12+(3﹣t)2=32+32,解得:t=3±17,∴P1(1,3-17),P2(1,3+17),∴Q1(4,-17),Q2(4,17),②以AC为对角线时,如图3,∵四边形ACPQ是菱形,∴CP=PA,∴12+(3﹣t)2=(1﹣3)2+t2,解得:t=1,∴P3(1,1),Q3(2,2),综上所述,符合条件的点Q的坐标为:Q1(4,-17),Q2(4,17),Q3(2,2).第34页(共34页)\n第34页(共34页)
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中考 - 历年真题
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