2019年甘肃省天水市中考数学试卷

2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）)1.已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A.−3B.−1C.−1或−3D.1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A.73×10−6B.0.73×10−4C.7.3×10−4D.7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是()A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30∘，60∘角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50∘，那么∠BFA的大小为()A.145∘B.140∘C.135∘D.130∘5.下列运算正确的是（）A.(ab)2＝a2b2B.a2+a2＝a4C.(a2)3＝a5D.a2⋅a3＝a616.已知a+b=，则代数式2a+2b−3的值是（）2试卷第1页，总15页 1A.2B.−2C.−4D.−327.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为()11ππA.B.C.D.42848.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A.(1,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,3)9.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80∘，则∠EAC的度数为（）A.20∘B.25∘C.30∘D.35∘10.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）试卷第2页，总15页 A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）)11.函数y=x−2中，自变量x的取值范围是________．1212.分式方程−=0的解是________．x−1x13.一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是________．14.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为________．（用百分数表示）15.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a−b．则M、N的大小关系为M<N．（填“>”、“＝”或“<”）16.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为(0,23)，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30∘，则图中阴影部分面积为________．（结果保留根号和π）17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为________．试卷第3页，总15页 18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有________个〇．三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）)19.（1）计算：(−2)3+16−2sin30∘+(2019−π)0+|3−4|19.xx2−1−x≤1（2）先化简，再求值：(−1)÷，其中x的值从不等式组的整数解x2+xx2+2x+12x−1<5中选取．20.天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了________名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为________度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？试卷第4页，总15页 421.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4)、B(2,n)两点，与x坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；4（2）根据图象直接写出kx+b−>0中x的取值范围；x（3）求△AOB的面积．四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）)22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1:1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1:3．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．试卷第5页，总15页 23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60∘，AB=10，求线段CF的长．25.阅读题：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；试卷第6页，总15页 (2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(9,0)和C(0,4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．试卷第7页，总15页 参考答案与试题解析2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】D二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）11.【答案】x≥212.试卷第8页，总15页 【答案】x＝213.【答案】514.【答案】40%15.【答案】<16.【答案】2π−2317.【答案】4518.【答案】6058三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）19.【答案】1原式＝−8+4−2×+1+4−32＝−8+4−1+1+4−3=−3；x−x2−xx+1原式=⋅x(x+1)x−1xx+1=−⋅x+1x−1x=，1−x−x≤1解不等式组得−1≤x<3，2x−1<5则不等式组的整数解为−1、0、1、2，∵x≠±1，x≠0，∴x＝2，2则原式==−2．1−220.【答案】50试卷第9页，总15页 喜欢戏曲的人数为50−8−10−12−16＝4（人），条形统计图为：115.2121200×=288，50所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．21.【答案】4∵点A在反比例函数y=上，x4∴=4，解得m＝1，m∴点A的坐标为(1,4)，4又∵点B也在反比例函数y=上，x4∴=n，解得n＝2，2∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，k+b=4k=−2∴，解得，2k+b=2b=6∴一次函数的解析式为y＝−2x+6．4根据图象得：kx+b−>0时，x的取值范围为x<0或1<x<2；x∵直线y＝−2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为(3,0)，11S△AOB＝S△AON−S△BON=×3×4−×3×2＝3．22四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）22.【答案】∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1:3，13∴tanα==，33试卷第10页，总15页 ∴α＝30∘；该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1:3，CD61∴tan∠CAD===，ADAD3解得，AD＝63米，∵坡面BC的坡度为1:1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD−BD＝(63−6)米，又∵PB＝8米，∴PA＝PB−AB＝8−(63−6)＝14−63≈14−6×1.732≈3.6米>3米，∴该文化墙PM不需要拆除．23.【答案】设y与x的函数解析式为y＝kx+b，10k+b=30将(10,30)、(16,24)代入，得：，16k+b=24k=−1解得：，b=40所以y与x的函数解析式为y＝−x+40(10≤x≤16)；根据题意知，W＝(x−10)y＝(x−10)(−x+40)＝−x2+50x−400＝−(x−25)2+225，∵a＝−1<0，∴当x<25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．24.【答案】证明：（1）连接OC，试卷第11页，总15页 ∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，OA=OC∵PA=PC，OP=OP∴△OAP≅△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90∘．∴∠OCP=90∘，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；解：（2）∵OB=OC，∠OBC=60∘，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60∘，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90∘，∴CF=OC⋅tan∠COB=53．25.【答案】(1)解：四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形.(2)证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90∘，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2=AD2+BC2．(3)解：连接CG，BE，∵∠CAG=∠BAE=90∘，试卷第12页，总15页 ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，AG=AC，在△GAB和△CAE中，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≅△CAE(SAS)，∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90∘，∠AME=∠BMC，∴∠ABG+∠BMC=90∘，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=AB2−AC2=3，CG=AC2+AG2=42，BE=AB2+AE2=52，∴GE2=CG2+BE2−CB2=73，∴GE=73．26.【答案】∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(9,0)和C(0,4)，∴抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x−9)，∵点C(0,4)在抛物线上，∴4＝−27a，4∴a=−，274428∴抛物线的解析式为：y=−(x+3)(x−9)=−x+x+4，27279∵CD垂直于y轴，C(0,4)，428令−x+x+4＝4，279解得，x＝0或x＝6，∴点D的坐标为(6,4)；如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，428∵点F是抛物线y=−x+x+4的顶点，27916∴F(3,)，3164∴FH=−4=，33∵GH//A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，GHFH∴=，A1O1FO14GH3∴=，34解得，GH＝1，试卷第13页，总15页 ∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，∴S重叠部分=S△A1O1F−S△FGH11=A1O1⋅O1F−GH⋅FH22114=×3×4−×1×22316=；3①当0<t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2O2//DE，∴△OO2M∽△OED，O2MOO2∴=，DEOEO2Mt∴=，462∴O2M=t，311212∴S=S△OO2M=2OO2×O2M=2t×3t=3t；②当3<t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D(6,4)代入y＝kx，2得，k=，32∴yOD=x，3将点(t−3,0)，(t,4)代入y＝kx+b，k(t−3)+b=0得，，kt+b=444解得，k=，b=−t+4，3344∴直线A2C2的解析式为：y=x−t+4，33244联立yOD=x与y=x−t+4，333244得，x=x−t+4，333解得，x＝−6+2t，4∴两直线交点M坐标为(−6+2t,−4+t)，3故点M到O2C2的距离为6−t，∵C2N//OC，∴△DC2N∽△DCO，DC2C2N∴=，CDOC6−tC2N∴=，64试卷第14页，总15页 2∴C2N=(6−t)，3∴S=SA2O2NM=S△A2O2C2−S△C2MN11=OA⋅OC−C2N(6−t)22112=×3×4−×(6−t)(6−t)22312=−t+4t−6；312t(0<t≤3)3∴S与t的函数关系式为：S=．12−t+4t−6(3<t≤6)3试卷第15页，总15页