2019年甘肃省酒泉市中考数学试卷

2019年甘肃省酒泉市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．)1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）A.B.C.D.2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−1，那么点B表示的数为()A.0B.1C.2D.33.下列整数中，与13最接近的整数是()A.2B.3C.4D.54.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为()A.7×10−7B.0.7×10−8C.7×10−8D.7×10−95.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()试卷第1页，总14页 A.180∘B.360∘C.540∘D.720∘7.不等式2x+9≥3(x+2)的解集是()A.x≤3B.x≤−3C.x≥3D.x≥−38.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误()A.①B.②C.③D.④9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A.22.5∘B.30∘C.45∘D.60∘10.如图①，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.)11.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋试卷第2页，总14页 棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0,−2)，“马”位于点(4,−2)，则“兵”位于点________．12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实德蒲费皮罗验•丰勒尔曼者摩逊诺根夫斯基掷61404040100030600800640币次数出3109204849791803319699现“正面朝上”的次数频0.5006.5007.4908.5001.492率请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为________（精确到0.1）．13.因式分解：xy2−4x=________．14.关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为________．15.将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−h)2+k的形式为________．试卷第3页，总14页 16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于________．17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80∘，则它的特征值k=________．18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是________．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)19.计算：(−2)2−|2−2|−2cos45∘+(3−π)0.20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？21.已知：在△ABC中，AB=AC．(1)求作△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）试卷第4页，总14页 (2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=________．22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60∘．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30∘时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取1.73）．23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理数据：405060708090≤x≤x≤x≤x≤x≤x≤49≤59≤69≤79≤89≤100试卷第5页，总14页 七010a71年级八1007b2年级分析数据：平众中均数位数数七7875c年级八78d80.5年级应用数据：(1)由上表填空：a=________，b=________，c=________，d=________．(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．k25.已知：如图，反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=−x+b的图象在第一象限交于x点A(1,3)，点B(3,1).(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)已知点P(a,0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=−kx+b的图象于点M，交反比例函数y=的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直x接写出a的取值范围．试卷第6页，总14页 26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE=23，求⊙D的半径．27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60∘．点拨：如图②，作∠CBE=60∘，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≅△EBM(SAS)，可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60∘，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120∘，所以∠5+∠6=120∘，即：∠AMN=60∘．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90∘．28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．试卷第7页，总14页 (1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？试卷第8页，总14页 参考答案与试题解析2019年甘肃省酒泉市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】B二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.11.【答案】(−1,1)12.【答案】试卷第9页，总14页 0.513.【答案】x(y+2)(y−2)14.【答案】415.【答案】y=(x−2)2+116.【答案】4−π17.【答案】81或5418.【答案】13a+21b三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤19.【答案】解：(−2)2−|2−2|−2cos45∘+(3−π)0，2=4−(2−2)−2×+1，2=4−2+2−2+1，=3．20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元，y元，12y+20x=112，根据题意可得：12x+20y=144，x=2，解得：y=6.所以中性笔和笔记本的单价分别是2元和6元.21.【答案】解：(1)如图⊙O即为所求．试卷第10页，总14页 25π22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90∘，∴四边形CEHF是矩形，∴CE=FH.在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60∘，∴CE=AC⋅sin60∘=34.6(cm)，∴FH=CE=34.6(cm).∵DH=49.6cm，∴DF=DH−FH=49.6−34.6=15(cm).DF151在Rt△CDF中，sin∠DCF===，CD302∴∠DCF=30∘，∴此时台灯光线为最佳．23.【答案】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，1∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；4(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，41∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=．164试卷第11页，总14页 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．24.【答案】11,10,78,811+2(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=9040（人）.(3)八年级的总体水平较好.∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，∴八年级得分高的人数相对较多，∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好．25.【答案】k解：(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=−x+b的图象在第一象限交x于A(1,3)，B(3,1)两点，k∴3=，3=−1+b，1∴k=3，b=4，3∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=，y=−x+4；x(2)由图象可得：当1<a<3时，PM>PN．26.【答案】(1)证明：连接AD.∵AB=AC，∠BAC=120∘，∴∠B=∠C=30∘.∵AD=BD，试卷第12页，总14页 ∴∠BAD=∠B=30∘，∴∠ADC=60∘，∴∠DAC=180∘−60∘−30∘=90∘，∴AC是⊙D的切线；(2)解：连接AE.∵AD=DE，∠ADE=60∘，∴△ADE是等边三角形，∴AE=DE，∠AED=60∘，∴∠EAC=∠AED−∠C=30∘，∴∠EAC=∠C，∴AE=CE=23，∴⊙D的半径AD=23．27.【答案】证明：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1，EC1.则EB=BC，∠EBM=90∘=∠ABM，11111111∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠BEC=∠BCE=45∘.1111∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠MCN=90∘+45∘=135∘，111∴∠BCE+∠MCN=180∘，11111∴E，C1，N1，三点共线.在△A1B1M1和△EB1M1中，A1B1=EB1，∠A1B1M1=∠EB1M1，B1M1=B1M1，∴△A1B1M1≅△EB1M1(SAS)，∴A1M1=EM1，∠1=∠2.∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4.∵∠2+∠3=45∘，∠4+∠5=45∘，∴∠1=∠2=∠5.∵∠1+∠6=90∘，∴∠5+∠6=90∘，∴∠AMN=180∘−90∘=90∘．111试卷第13页，总14页 28.【答案】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x−4)=a(x2−x−12)=ax2−ax−12a，1即−12a=4，解得：a=−，3121则抛物线的表达式为y=−x+x+4；33(2)存在，理由：点A，B，C的坐标分别为(−3,0)，(4,0)，(0,4)，则AC=5，AB=7，BC=42，∠OBC=∠OCB=45∘.将点B，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=−x+4①，4同理可得直线AC的表达式为：y=x+4.333设线段AC的中点为K(−,2)，过点M与CA垂直直线的表达式中的斜率为−.2437同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y=−x+②.48①当AC=AQ时，则AC=AQ=5.设QM=MB=n，则AM=7−n.由勾股定理得：(7−n)2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q(1,3)；②当AC=CQ时，CQ=5，则BQ=BC−CQ=42−5，8−52则QM=MB=，2528−52故点Q(,)；2225③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=（舍去）．2528−52故点Q的坐标为：Q(1,3)或(,)；22121(3)设点P(m,−m+m+4)，则点Q(m,−m+4).33∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45∘=∠PQN，PN=PQsin∠PQN211=(−m2+m+4+m−4)2332222=−(m−2)+.632∵−<0，∴PN有最大值，622当m=2时，PN的最大值为．3试卷第14页，总14页