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山东省济南市2018年中考数学试题(解析版)

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2018年山东省济南市中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.(4分)4的算术平方根是(  )A.2B.﹣2C.±2D.2.(4分)如图所示的几何体,它的俯视图是(  )A.B.C.D.3.(4分)2018年1月,“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发,这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力.数字7600用科学记数法表示为(  )A.0.76×104B.7.6×103C.7.6×104D.76×1024.(4分)“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件,是中国特有的文化艺术遗产,下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.5.(4分)如图,AF是∠BAC的平分线,DF∥AC,若∠1=35°,则∠BAF的度数为(  ) A.17.5°B.35°C.55°D.70°6.(4分)下列运算正确的是(  )A.a2+2a=3a3B.(﹣2a3)2=4a5C.(a+2)(a﹣1)=a2+a﹣2D.(a+b)2=a2+b27.(4分)关于x的方程3x﹣2m=1的解为正数,则m的取值范围是(  )A.m<﹣B.m>﹣C.m>D.m<8.(4分)在反比例函数y=﹣图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),若x1<0<x2<x3,则下列结论正确的是(  )A.y3<y2<y1B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y29.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为(  )A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)10.(4分)下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况.根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是(  ) [来源:学科网ZXXK]A.与2016年相比,2017年我国电子书人均阅读量有所降低B.2012年至2017年,我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C.从2014年到2017年,我国纸质书的人均阅读量逐年增长D.2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多11.(4分)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为(  )A.6π﹣B.6π﹣9C.12π﹣D.12.(4分)若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2(m>0)与x轴交于点A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是(  )[来源:学+科+网Z+X+X+K]A.≤m<1B.<m≤1C.1<m≤2D.1<m<2 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.(4分)分解因式:m2﹣4=  . 14.(4分)在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是,则白色棋子的个数是  .15.(4分)一个正多边形的每个内角等于108°,则它的边数是  .16.(4分)若代数式的值是2,则x=  .17.(4分)A、B两地相距20km,甲乙两人沿同一条路线从A地到B地.甲先出发,匀速行驶,甲出发1小时后乙再出发,乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶,结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,则甲出发  小时后和乙相遇.18.(4分)如图,矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上,AB=EF,FG=2,GC=3.有以下四个结论:①∠BGF=∠CHG;②△BFG≌△DHE;③tan∠BFG=;④矩形EFGH的面积是4.其中一定成立的是  .(把所有正确结论的序号填在横线上) 三、解答题(本大题共9小题,共78分)19.(6分)计算:2﹣1+|﹣5|﹣sin30°+(π﹣1)0.20.(6分)解不等式组:[来源:Z。xx。k.Com]21.(6分)如图,在▱ABCD中,连接BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD.[来源:Z.xx.k.Com] 22.(8分)本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动,组织150名学生多观历史博物馆和民俗展览馆,每一名学生只能参加其中一项活动,共支付票款2000元,票价信息如下:地点票价历史博物馆10元/人民俗展览馆20元/人(1)请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人?(2)若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款多少元?23.(8分)如图AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,BP与⊙O相交于点D,C为⊙O上的一点,分别连接CB、CD,∠BCD=60°.(1)求∠ABD的度数;(2)若AB=6,求PD的长度.24.(10分)某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程,为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表.校本课程 频数 频率A360.45B 0.25C16bD8   合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题:(1)统计表中的a=  ,b=  ;(2)“D”对应扇形的圆心角为  度;(3)根据调查结果,请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数;(4)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.25.(10分)如图,直线y=ax+2与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,b).将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t>0)个单位长度,得到对应线段CD,反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过C、D两点,连接AC、BD.(1)求a和b的值;(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积;(3)点N在x轴正半轴上,点M是反比例函数y=(x>0)的图象上的一个点,若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时,求所有满足条件的点M的坐标. 26.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.(1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数;(2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若AB=6,求CF的最大值.27.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m(m>4).(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值;(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PM⊥CD,垂足为M,直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状,并说明理由.  试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.(4分)4的算术平方根是(  )A.2B.﹣2C.±2D.【分析】算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.【解答】解:∵2的平方为4,∴4的算术平方根为2.故选:A.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.2.(4分)如图所示的几何体,它的俯视图是(  ) A.B.C.D.【分析】找到从上面看所得到的图形即可.【解答】解:从几何体上面看,2排,上面3个,下面1个,左边2个正方形.故选:D.【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.解答此题时要有一定的生活经验.3.(4分)2018年1月,“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发,这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力.数字7600用科学记数法表示为(  )A.0.76×104B.7.6×103C.7.6×104D.76×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:7600=7.6×103,故选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4.(4分)“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件,是中国特有的文化艺术遗产,下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形; B、不是轴对称图形,是中心对称图形;C、是轴对称图形,不是中心对称图形;D、是轴对称图形,是中心对称图形.故选:D.【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念,以及对轴对称图形和中心对称图形的认识.5.(4分)如图,AF是∠BAC的平分线,DF∥AC,若∠1=35°,则∠BAF的度数为(  )A.17.5°B.35°C.55°D.70°【分析】根据两直线平行,同位角相等,可得∠FAC=∠1,再根据角平分线的定义可得∠BAF=∠FAC.【解答】解:∵DF∥AC,∴∠FAC=∠1=35°,∵AF是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠FAC=35°,故选:B.[来源:学科网ZXXK]【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.6.(4分)下列运算正确的是(  )A.a2+2a=3a3B.(﹣2a3)2=4a5C.(a+2)(a﹣1)=a2+a﹣2D.(a+b)2=a2+b2【分析】根据多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则一一判断即可;【解答】解:A、错误.不是同类项不能合并;B、错误.应该是(﹣2a3)2=4a6;C、正确; D、错误.应该是(a+b)2=a2+2ab+b2;故选:C.【点评】本题考查多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.7.(4分)关于x的方程3x﹣2m=1的解为正数,则m的取值范围是(  )A.m<﹣B.m>﹣C.m>D.m<【分析】先求出方程的解,再根据题意得出不等式,求出不等式的解集即可.【解答】解:解方程3x﹣2m=1得:x=,∵关于x的方程3x﹣2m=1的解为正数,∴>0,解得:m>﹣,故选:B.【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解,能得出关于m的不等式是解此题的关键.8.(4分)在反比例函数y=﹣图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),若x1<0<x2<x3,则下列结论正确的是(  )A.y3<y2<y1B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答.【解答】解:∵A(x1,y1)在反比例函数y=﹣图象上,x1<0,∴y1>0,对于反比例函数y=﹣,在第二象限,y随x的增大而增大,∵0<x2<x3,∴y2<y3<0,∴y2<y3<y1故选:C.【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征,掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键. 9.(4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在方格线的格点上,将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°,得到△A′B′C′,则点P的坐标为(  )A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)【分析】选两组对应点,连接后作其中垂线,两中垂线的交点即为点P.【解答】解:由图知,旋转中心P的坐标为(1,2),故选:C.【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转,解题的关键是掌握旋转变换的性质.10.(4分)下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况.根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是(  ) A.与2016年相比,2017年我国电子书人均阅读量有所降低B.2012年至2017年,我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C.从2014年到2017年,我国纸质书的人均阅读量逐年增长D.2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多【分析】利用折线统计图结合相应数据,分别分析得出符合题意的答案.【解答】解:A、与2016年相比,2017年我国电子书人均阅读量有所降低,正确;B、2012年至2017年,我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.615,错误;C、从2014年到2017年,我国纸质书的人均阅读量逐年增长,正确;D、2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多,正确;故选:B.【点评】此题主要考查了折线统计图,利用折线统计图获取正确信息是解题关键.11.(4分)如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为(  )A.6π﹣B.6π﹣9C.12π﹣D.【分析】连接OD,如图,利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积,AC=OC,则OD=2OC=3,CD=3,从而得到∠CDO=30°,∠COD=60°,然后根据扇形面积公式,利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD﹣S△COD,进行计算即可.【解答】解:连接OD,如图,∵扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,∴AC=OC,∴OD=2OC=3,∴CD==3, ∴∠CDO=30°,∠COD=60°,∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD﹣S△COD=﹣•3•3=6π﹣,∴阴影部分的面积为6π﹣.故选:A.【点评】本题考查了扇形面积的计算:阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.记住扇形面积的计算公式.也考查了折叠性质.12.(4分)若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2(m>0)与x轴交于点A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是(  )A.≤m<1B.<m≤1C.1<m≤2D.1<m<2【分析】画出图象,利用图象可得m的取值范围【解答】解:∵y=mx2﹣4mx+4m﹣2=m(x﹣2)2﹣2且m>0,∴该抛物线开口向上,顶点坐标为(2,﹣2),对称轴是直线x=2.由此可知点(2,0)、点(2,﹣1)、顶点(2,﹣2)符合题意.①当该抛物线经过点(1,﹣1)和(3,﹣1)时(如答案图1),这两个点符合题意.将(1,﹣1)代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1=m﹣4m+4m﹣2.解得m=1.此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+2.由y=0得x2﹣4x+2=0.解得x1=2﹣≈0.6,x2=2+≈3.4.∴x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意.则当m=1时,恰好有(1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣1)、(2,﹣2)这7个整点符合题意.∴m≤1.【注:m的值越大,抛物线的开口越小,m的值越小,抛物线的开口越大】 答案图1(m=1时)答案图2(m=时)②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2),这两个点符合题意.此时x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意.将(0,0)代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到0=0﹣4m+0﹣2.解得m=.此时抛物线解析式为y=x2﹣2x.当x=1时,得y=×1﹣2×1=﹣<﹣1.∴点(1,﹣1)符合题意.当x=3时,得y=×9﹣2×3=﹣<﹣1.∴点(3,﹣1)符合题意.综上可知:当m=时,点(0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣2)、(2,﹣1)都符合题意,共有9个整点符合题意,∴m=不符合题.∴m>.综合①②可得:当<m≤1时,该函数的图象与x轴所围城的区域(含边界)内有七个整点,故选:B.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点的求法,利用图象解决问题是本题的关键. 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.(4分)分解因式:m2﹣4= (m+2)(m﹣2) .【分析】本题刚好是两个数的平方差,所以利用平方差公式分解则可.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 【解答】解:m2﹣4=(m+2)(m﹣2).故答案为:(m+2)(m﹣2).【点评】本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是:两项平方项;符号相反.14.(4分)在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是,则白色棋子的个数是 15 .【分析】黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数,减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数;【解答】解:5÷﹣5=15.∴白色棋子有15个;故答案为:15.【点评】本题主要考查了概率的求法,概率=所求情况数与总情况数之比.15.(4分)一个正多边形的每个内角等于108°,则它的边数是 五 .【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°,再用外角和360°除以72°,计算即可得解.【解答】解:∵正多边形的每个内角等于108°,∴每一个外角的度数为180°﹣108°=72°,∴边数=360°÷72°=5,∴这个正多边形是正五边形.故答案为:五.【点评】本题考查了多边形的内角与外角,对于正多边形,利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便.16.(4分)若代数式的值是2,则x= 6 .【分析】根据解分式方程的步骤依次计算可得.【解答】解:=2,去分母得:x﹣2=2(x﹣4),x﹣2=2x﹣8, x=6,经检验:x=6是原方程的解.故答案为:6.【点评】本题主要考查解分式方程,解题的关键是掌握解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.17.(4分)A、B两地相距20km,甲乙两人沿同一条路线从A地到B地.甲先出发,匀速行驶,甲出发1小时后乙再出发,乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶,结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,则甲出发  小时后和乙相遇.【分析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可.【解答】解:由图象可得:y甲=4t(0≤t≤5);y乙=;由方程组,解得t=.故答案为.【点评】此题考查一次函数的应用,关键是由图象得出解析式解答.18.(4分)如图,矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上,AB=EF,FG=2,GC=3.有以下四个结论:①∠BGF=∠CHG;②△BFG≌△DHE;③tan∠BFG=;④矩形EFGH的面积是4.其中一定成立的是 ①②④ .(把所有正确结论的序号填在横线上)【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定分析各小题即可; 【解答】解:∵∠FGH=90°,∴∠BGF+∠CGH=90°.又∵∠CGH+∠CHG=90°,∴∠BGF=∠CHG,故①正确.同理可得∠DEH=∠CHG.∴∠BGF=∠DEH.又∵∠B=∠D=90°,FG=EH,∴△BFG≌△DHE,故②正确.同理可得△AFE≌△CHG.∴AF=CH.易得△BFG∽△CGH.设GH、EF为a,∴=.∴=.∴BF=.∴AF=AB﹣BF=a﹣.∴CH=AF=a﹣.在Rt△CGH中,∵CG2+CH2=GH2,∴32+(a﹣)2=a2.解得a=2.∴GH=2.∴BF=a﹣=.在Rt△BFG中,∵cos∠BFG==,∴∠BFG=30°.∴tan∠BFG=tan30°=,故③错误.矩形EFGH的面积=FG×GH=2×2=4,故④正确.故答案为:①②④【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,属于基础题. 三、解答题(本大题共9小题,共78分)19.(6分)计算:2﹣1+|﹣5|﹣sin30°+(π﹣1)0. 【分析】先利用负指数,绝对值,特殊角的三角函数,零次幂化简,最后合并即可得出结论.【解答】解:2﹣1+|﹣5|﹣sin30°+(π﹣1)0.=+5﹣+1=6【点评】此题主要考查了负指数,绝对值,特殊角的三角函数,零次幂,熟记性质是解本题的关键.20.(6分)解不等式组:【分析】分别求出不等式①②的解集,同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到求出不等式组解集.【解答】解:由①,得3x﹣2x<3﹣1.∴x<2.由②,得4x>3x﹣1.∴x>﹣1.∴不等式组的解集为﹣1<x<2.【点评】本题考查了解一元一次不等式组的解法,利用同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到求不等式组解集是本题关键.21.(6分)如图,在▱ABCD中,连接BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD.【分析】欲证明OB=OD,只要证明△EOD≌△FOB即可;【解答】证明:∵▱ABCD中,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADB=∠CBD. 又∵AE=CF,∴AE+AD=CF+BC.∴ED=FB.又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB.∴OB=OD.【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.22.(8分)本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动,组织150名学生多观历史博物馆和民俗展览馆,每一名学生只能参加其中一项活动,共支付票款2000元,票价信息如下:地点票价历史博物馆10元/人民俗展览馆20元/人(1)请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人?(2)若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款多少元?【分析】(1)设参观历史博物馆的有x人,参观民俗展览馆的有y人,根据等量关系:①一共150名学生;②一共支付票款2000元,列出方程组求解即可;(2)原来的钱数﹣参观历史博物馆的钱数,列出算式计算可求能节省票款多少元.【解答】解:(1)设参观历史博物馆的有x人,参观民俗展览馆的有y人,依题意,得,解得.答:参观历史博物馆的有100人,则参观民俗展览馆的有50人.(2)2000﹣150×10=500(元).答:若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款500元.【点评】考查了二元一次方程的应用,(1)找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.(2)找出题中的两个关键的未知量,并用字母表示出来.(3)挖掘题目中的关系,找出等量关系,列出二元一次方程.(4)根据未知数的实际意义求其整数解. 23.(8分)如图AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,BP与⊙O相交于点D,C为⊙O上的一点,分别连接CB、CD,∠BCD=60°.(1)求∠ABD的度数;(2)若AB=6,求PD的长度.【分析】(1)解法一:要的圆周角定理得:∠ADB=90°,由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论;解法二:根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD=120°,由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论;(2)如图1,根据切线的性质可得∠BAP=90°,根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长,由勾股定理计算DB的长,由三角函数可得PB的长,从而得PD的长.[来源:学&科&网]【解答】解:(1)方法一:如图1,连接AD.∵BA是⊙O直径,∴∠BDA=90°.∵=,∴∠BAD=∠C=60°.∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°.方法二:如图2,连接DA、OD,则∠BOD=2∠C=2×60°=120°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=(180°﹣120°)=30°.即∠ABD=30°.(2)如图1,∵AP是⊙O的切线,∴∠BAP=90°.在Rt△BAD中,∵∠ABD=30°,∴DA=BA=×6=3. ∴BD=DA=3.在Rt△BAP中,∵cos∠ABD=,∴cos30°==.∴BP=4.∴PD=BP﹣BD=4﹣3=.【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.24.(10分)某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程,为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表.校本课程 频数 频率A360.45B 0.25C16bD8  合计a1 请您根据图表中提供的信息回答下列问题:(1)统计表中的a= 80 ,b= 0.20 ;(2)“D”对应扇形的圆心角为 36 度;(3)根据调查结果,请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数;(4)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.【分析】(1)根据题意列出算式,再求出即可;(2)根据题意列出算式,再求出即可;(3)根据题意列出算式,再求出即可;(4)先列出表格,再根据题意列出算式,再求出即可.【解答】解:(1)a=36÷0.45=80,b=16÷80=0.20,故答案为:80,0.20;(2)“D”对应扇形的圆心角的度数为:8÷80×360°=36°,故答案为:36;(3)估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为:2000×0.25=500(人); (4)列表格如下:ABCAA,AB,AC,ABA,BB,BC,BCA,CB,CC,C[来源:Z&xx&k.Com]共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为:=.【点评】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点,能根据题意列出算式是解此题的关键.25.(10分)如图,直线y=ax+2与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,b).将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t>0)个单位长度,得到对应线段CD,反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过C、D两点,连接AC、BD.(1)求a和b的值;(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积;(3)点N在x轴正半轴上,点M是反比例函数y=(x>0)的图象上的一个点,若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时,求所有满足条件的点M的坐标.【分析】(1)利用坐标轴上的点的特点即可得出结论;(2)先表示出点C,D坐标,进而代入反比例函数解析式中求解得出k,再判断出BC⊥AD,最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积;(3)分两种情况,构造全等的直角三角形即可得出结论.【解答】解:(1)将点A(1,0)代入y=ax+2,得0=a+2.∴a=﹣2. ∴直线的解析式为y=﹣2x+2.将x=0代入上式,得y=2.∴b=2.(2)由(1)知,b=2,∴B(0,2),由平移可得:点C(2,t)、D(1,2+t).将点C(2,t)、D(1,2+t)分别代入y=,得∴.∴反比例函数的解析式为y=,点C(2,2)、点D(1,4).如图1,连接BC、AD.∵B(0,2)、C(2,2),∴BC∥x轴,BC=2.∵A(1,0)、D(1,4),∴AD⊥x轴,AD=4.∴BC⊥AD.∴S四边形ABDC=×BC×AD=×2×4=4.(3)①当∠NCM=90°、CM=CN时,如图2,过点C作直线l∥x轴,交y轴于点G.过点M作MF⊥直线l于点F,交x轴于点H.过点N作NE⊥直线l于点E.设点N(m,0)(其中m>0),则ON=m,CE=2﹣m.∵∠MCN=90°,∴∠MCF+∠NCE=90°.∵NE⊥直线l于点E,∴∠ENC+∠NCE=90°.∴∠MCF=∠ENC. 又∵∠MFC=∠NEC=90°,CN=CM,∴△NEC≌△CFM.∴CF=EN=2,FM=CE=2﹣m.∴FG=CG+CF=2+2=4.∴xM=4.将x=4代入y=,得y=1.∴点M(4,1);②当∠NMC=90°、MC=MN时,如图3,过点C作直线l⊥y轴与点F,则CF=xC=2.过点M作MG⊥x轴于点G,MG交直线l与点E,则MG⊥直线l于点E,EG=yC=2.∵∠CMN=90°,∴∠CME+∠NMG=90°.∵ME⊥直线l于点E,∴∠ECM+∠CME=90°.∴∠NMG=∠ECM.又∵∠CEM=∠NGM=90°,CM=MN,∴△CEM≌△MGN.∴CE=MG,EM=NG.设CE=MG=a,则yM=a,xM=CF+CE=2+a.∴点M(2+a,a).将点M(2+a,a)代入y=,得a=.解得a1=﹣1,a2=﹣﹣1.∴xM=2+a=+1.∴点M(+1,﹣1).综合①②可知:点M的坐标为(4,1)或(+1,﹣1). 【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,全等三角形的判定和性质,四边形的面积的计算方法,构造出全等三角形是解本题的关键.26.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE.(1)如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数;(2)如图2,当点D落在线段BC(不含边界)上时,AC与DE交于点F,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若AB=6,求CF的最大值. 【分析】(1)利用SAS定理证明△ABD≌△ACE,根据相似三角形的性质得到AD=AE,∠CAE=∠BAD,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明;(2)同(1)的证明方法相同;(3)证明△ADF∽△ACD,根据相似三角形的性质得到AF=,求出AD的最小值,得到AF的最小值,求出CF的最大值.【解答】解:(1)∠ADE=30°.理由如下:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,∵∠ACM=∠ACB,∴∠ACM=∠ABC,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠CAE=∠BAD,∴∠DAE=∠BAC=120°,∴∠ADE=30°;(2)(1)中的结论成立,证明:∵∠BAC=120°,AB=AC,[来源:Zxxk.Com]∴∠B=∠ACB=30°.∵∠ACM=∠ACB, ∴∠B=∠ACM=30°.在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE.∴AD=AE,∠BAD=∠CAE.∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°.即∠DAE=120°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=30°;(3)∵AB=AC,AB=6,∴AC=6,∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD,∴△ADF∽△ACD.∴=.∴AD2=AF•AC.∴AD2=6AF.∴AF=.∴当AD最短时,AF最短、CF最长.易得当AD⊥BC时,AF最短、CF最长,此时AD=AB=3.∴AF最短===.∴CF最长=AC﹣AF最短=6﹣=.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.27.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m(m>4).(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值; (3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PM⊥CD,垂足为M,直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状,并说明理由.【分析】(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=x2﹣3x+4,作BG⊥CA,交CA的延长线于点G,证△GAB∽△OAC得=,据此知BG=2AG.在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2,可求得AG=.继而可得BG=,CG=AC+AG=,根据正切函数定义可得答案;(2)作BH⊥CD于点H,交CP于点K,连接AK,易得四边形OBHC是正方形,应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK,设K(4,h),则BK=h,HK=HB﹣KB=4﹣h,AK=OA+HK=2+(4﹣h)=6﹣h.在Rt△ABK中,由勾股定理求得h=,据此求得点K(4,).待定系数法求出直线CK的解析式为y=﹣x+4.设点P的坐标为(x,y)知x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解.解之求得x的值即可得出答案.(3)先求出点D坐标为(6,4),设P(m,m2﹣3m+4)知M(m,4),H(m,0).及PH=m2﹣3m+4),OH=m,AH=m﹣2,MH=4.①当4<m<6时,由△OAN∽△HAP知=.据此得ON=m﹣4.再证△ONQ∽△HMQ得=.据此求得OQ=m﹣4.从而得出AQ=DM=6﹣m.结合AQ∥DM可得答案.②当m>6时,同理可得.【解答】解:(1)将点A(2,0)和点B(4,0)分别代入y=ax2+bx+4,得,解得:. ∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+4.过点B作BG⊥CA,交CA的延长线于点G(如图1所示),则∠G=90°.∵∠COA=∠G=90°,∠CAO=∠BAG,∴△GAB∽△OAC.∴=═=2.[来源:Z_xx_k.Com]∴BG=2AG.在Rt△ABG中,∵BG2+AG2=AB2,∴(2AG)2+AG2=22.解得:AG=.∴BG=,CG=AC+AG=2+=.在Rt△BCG中,tan∠ACB═=.(2)如图2,过点B作BH⊥CD于点H,交CP于点K,连接AK.易得四边形OBHC是正方形. 应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK.设K(4,h),则BK=h,HK=HB﹣KB=4﹣h,AK=OA+HK=2+(4﹣h)=6﹣h.在Rt△ABK中,由勾股定理,得AB2+BK2=AK2.∴22+h2=(6﹣h)2.解得h=.∴点K(4,).设直线CK的解析式为y=hx+4.将点K(4,)代入上式,得=4h+4.解得h=﹣.∴直线CK的解析式为y=﹣x+4.设点P的坐标为(x,y),则x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解.将方程整理,得3x2﹣16x=0.解得x1=,x2=0(不合题意,舍去).将x1=代入y=﹣x+4,得y=.∴点P的坐标为(,).(3)四边形ADMQ是平行四边形.理由如下:∵CD∥x轴,∴yC=yD=4.将y=4代入y=x2﹣3x+4,得4=x2﹣3x+4.解得x1=0,x2=6.∴点D(6,4).根据题意,得P(m,m2﹣3m+4),M(m,4),H(m,0).∴PH=m2﹣3m+4,OH=m,AH=m﹣2,MH=4.①当4<m<6时,DM=6﹣m,[来源:学#科#网]如图3, ∵△OAN∽△HAP,∴=.∴=.∴ON===m﹣4.∵△ONQ∽△HMQ,∴=.∴=.∴=.∴OQ=m﹣4.∴AQ=OA﹣OQ=2﹣(m﹣4)=6﹣m.∴AQ=DM=6﹣m.又∵AQ∥DM,∴四边形ADMQ是平行四边形.②当m>6时,同理可得:四边形ADMQ是平行四边形.综上,四边形ADMQ是平行四边形.【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、三角函数等知识点. 

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发布时间:2021-10-08 09:41:34 页数:33
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文章作者:151****0095

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