2009年辽宁省铁岭市中考数学试卷

2009年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）)1.目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦，总投入约㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳元．㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳元用科学记数法表示为（）A.香㌳元B.㌳香㌳元C.香㌳㌳元D.香㌳元2.计算ᦙ䁪䁪的结果为（）A.ᦙ䁪B.ᦙC.ᦙD.ᦙ3.如图所示，已知直线，䁪，，则的度数为（）A.㌳B.㌳C.㌳D.㌳㌳4.一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示，则此圆柱体钢块的左视图是（）A.B.C.D.5.数据：䁪，䁪，䁪，䁪，䁪，䁪的众数、中位数分别是（）A.䁪，䁪B.䁪，䁪C.䁪，䁪D.䁪，䁪6.为了美化环境，咸宁市加大对绿化的投资．䁪㌳年用于绿化投资䁪㌳万元，䁪㌳年用于绿化投资䁪万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为()A.䁪㌳䁪䁪B.䁪㌳䁪C.䁪㌳䁪䁪D.䁪㌳䁪㌳䁪䁪7.如图所示，反比例函数与正比例函数䁪的图象的一个交点坐标是䁪，若䁪㌳，则的取值范围在数轴上表示为试卷第1页，总10页 A.B.C.D.8.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A.B.C.D.二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）)9.因式分解：ᦙ________．10.函数自变量的取值范围是________．11.小丽想用一张半径为1.的扇形纸片围成一个底面半径为1.的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是________1.䁪．（结果用表示）12.如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是________．13.如图所示，为的直径，点为其半圆上一点，㌳，为另一半圆上任意一点（不含、），则________度．14.已知抛物线䁪ܾ1㌳经过点ᦙ㌳，且顶点在第一象限．有下列ܾ三个结论：①‸㌳；②ܾ1㌳；③ᦙ㌳．把正确结论的序号填在横线上䁪________．15.如图所示，在正方形网格中，图①经过________变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点________（填“”或“”或试卷第2页，总10页 “”）．16.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是________．三、解答题（共10小题，满分102分）)17.计算：䁪ᦙ䁪䁪ᦙ㌳䁪18.解方程：ᦙ．ᦙ19.如图所示，在中，＝㌳，＝㌳．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若分别交、及的延长线于点、、，连接．求证：＝䁪．20.某市开展了党员干部“一帮一扶贫”活动．为了解贫困群众对帮扶情况的满意程度，有关部门在该市所管辖的两个区内，分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查．根据收集的信息进行了统计，并绘制了下面尚不完整的统计图．已知在甲区所调查的贫困群众中，非常满意的人数占甲区所调查的总人数的㔷．根据统计图所提供的信息解答下列问题：试卷第3页，总10页 （1）甲区参加问卷调查的贫困群众有________人；（2）请将统计图补充完整；（3）小红说：“因为甲区有㌳人不满意，乙区有㌳人不满意，所以甲区的不满意率比乙区低．”你认为这种说法正确吗？为什么？21.小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的个小球，上面分别标有数字，䁪，，．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．22.如图所示，已知是半圆的直径，弦，㌳，，是㌳延长线上一点，．判断直线与半圆的位置关系，并证明你的结论．23.某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡的长为㌳㌳米，坡角㌳，在处测得的仰角㌳，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为．（1）求的度数；（2）求索道的长．（结果保留根号）24.为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖．学校计划派人根据设奖情况买㌳件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的䁪倍还少㌳件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的香倍．各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖买件，买㌳件奖品的总钱数是元．一等奖二等奖三等奖单价（元）䁪㌳（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？25.是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），试卷第4页，总10页 是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线、于点、，连接．（1）如图所示，当点在线段上时．①求证：；②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图ܾ所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．26.如图所示，已知在直角梯形中，，轴于点、、．动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒㌳‸‸，与直角梯形重叠部分的面积为．（1）求经过、、三点的抛物线解析式；（2）求与的函数关系式；（3）将绕着点顺时针旋转㌳，是否存在，使得的顶点或在抛物线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总10页 参考答案与试题解析2009年辽宁省铁岭市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1.C2.B3.B4.C5.A6.C7.D8.A二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9.䁪ᦙ䁪10.ᦙ11.䁪㌳12.䁪13.㌳14.①，②，③15.平移,16.䁪䁪三、解答题（共10小题，满分102分）17.解：原式䁪䁪ᦙ．18.方程两边分别乘以ᦙ，得ᦙ䁪ᦙ＝䁪ᦙ，䁪ᦙ䁪䁪＝䁪ᦙ，解得＝．检验：当＝时，ᦙ㌳∴＝是原方程的根．19.直线即为所求．分别以为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．作图正确．证明：在中，∵＝㌳，＝㌳．又∵为线段的垂直平分线，∴＝，∴＝＝㌳，＝＝㌳，∴＝㌳＝，＝㌳．又∵，，∴＝．在中，＝㌳，∴＝㌳，∴＝䁪，∴＝䁪．试卷第6页，总10页 20.这种说法不正确；㌳㌳∵甲区的不满意率是䁪香㔷，乙区的不满意率是䁪㔷，䁪㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳∴甲区的不满意率比乙区的不满意率高．21.解：（1）根据题意可列表或树状图如下：第一次䁪第二次䁪䁪䁪䁪䁪䁪䁪从表可以看出所有可能结果共有䁪种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有种，䁪∴（和为奇数）；（2）不公平．䁪∵小明先挑选的概率是（和为奇数），小亮先挑选的概率是（和为偶数），䁪∵，∴不公平．22.解：直线与半圆相切．证法一：连接，作于点．∵，∴．䁪㌳䁪∵．∴，䁪，∴．∵，∴．∴，∴㌳，∴，∴直线与半圆相切．试卷第7页，总10页 证法二：连接，作于点，作于点．∵，∴．䁪在中，䁪ᦙ䁪䁪ᦙ䁪，∵，，，∴四边形是矩形，∴，．㌳䁪䁪∵，ᦙᦙ，在中，䁪䁪䁪䁪䁪㌳．䁪㌳䁪䁪䁪䁪∵，∴䁪䁪䁪，∴．∴直线与半圆相切．23.索道长㌳㌳米．24.一等奖买㌳件，二等奖买㌳件，三等奖买㌳件时，所花的钱数最少，最少钱数是㌳元．25.①∵和都是等边三角形，∴＝，＝，＝＝㌳．又∵＝ᦙ，＝ᦙ，∴＝，∴．②方法一：由①得，∴＝＝㌳．又∵＝＝㌳，∴＝，∴．又∵，∴四边形是平行四边形．方法二：证出，得＝＝．∵，∴四边形是平行四边形．①②都成立．当＝＝㌳或＝㌳或＝㌳时，四边形是菱形．理由：方法一：由①得，∴＝又∵＝，试卷第8页，总10页 ∴＝．由②得四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．方法二：由①得，∴＝．又∵四边形是菱形，∴＝∴＝．方法三：∵四边形是平行四边形，∴，，∴＝＝㌳，＝＝㌳∴＝＝㌳，∴是等边三角形．又∵＝，四边形是菱形，∴＝＝，∴∴＝㌳，∵＝㌳，∴＝㌳．26.方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为＝䁪ܾ㌳．把，代入上式得：ܾ，ܾᦙ解得．ܾ䁪∴所求抛物线解析式为ᦙ．方法二：∵，，∴抛物线的对称轴是直线＝䁪．设抛物线解析式为＝ᦙ䁪䁪香㌳把㌳㌳，代入㌳㌳ᦙ䁪䁪香得，ᦙ䁪䁪香ᦙ解得，香䁪∴所求抛物线解析式为ᦙᦙ䁪．分三种情况：①当㌳‸䁪，重叠部分的面积是，过点作轴于点，∵，∴在中，＝＝，＝，在中，＝，＝＝，䁪䁪䁪䁪∴＝＝cos．，䁪䁪䁪②当䁪‸，设交于点，作轴于点，＝＝，试卷第9页，总10页 则四边形是等腰梯形，重叠部分的面积是．梯形∴＝＝ᦙ䁪，∴ᦙ䁪＝ᦙ．䁪䁪③当‸‸，设与交于点，交于点，重叠部分的面积是．五边形因为和都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是五边形＝梯形ᦙ．∵，＝，∴＝＝ᦙ，䁪∴䁪ᦙᦙ，䁪䁪䁪ᦙᦙ．䁪䁪存在．当点在抛物线上时，将代入抛物线解析式，解得＝㌳（舍去），＝；当点在抛物线上时，代入抛物线解析式得＝㌳（舍去），＝䁪．䁪䁪故＝或䁪．试卷第10页，总10页