高中数学高考冲刺-二次函数专题讲解练习题

高中数学高考冲刺-二次函数专题讲解练习题1.如图.抛物线与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C.（1）求点A、点B和点C的坐标.（2）求直线AC的解析式.（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点,且=6,求点M的坐标.（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少?解：(1)令,(x+3)(x-1)=0,A(-3,0)，B.(1,0)，C(0,3)(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得解之得,直线AC的解析式为y=x+3. (3)设M点的坐标为(x,)AB=4,因为M在第二象限,所以>0,所以=6解之,得,当x=0时,y=3(不合题意)当x=-2时,y=3.所以M点的坐标为(-2,3)(4)由题意,得AB=4,AP=4-t,∵AO=3,CO=3,∴△ABC是等腰直角三角形,AQ=2t,所以Q点的纵坐标为t,S=(1<t<4)当t=2时△APQ最大,最大面积是.思路分析：考点解剖：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．解题思路：（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可．（2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可．（3）设出点M的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后表示出其面积=6，解得即可． （4）证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．规律总结：本题是一道二次函数综合性较强的题，这里面最主要的一种思想方法就是数形结合，要会把数和形的条件互相转换，数→坐标→点→线段→形.2.如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB＝4.将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上.（1）在图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长；（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标. 解：（1）根据题意，△AOE≌△ADE，∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3.在Rt△AOB中，.设DE＝OE＝x，在Rt△BED中，BD2＋DE2＝BE2.即22＋x2＝（4－x）2.解得.∴E（0，）.在Rt△AOE中，.（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90°，∴四边形PMND是矩形.∵AP＝t×1＝t，∴PD＝3－t.∵△AMP∽△AED，∴.∴PM＝，∴.∴或.当时，. （3）△ADM为等腰三角形有以下两种情况：①当MD＝MA时，点P是AD中点，∴.∴（秒）.∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形.过点M作MF⊥OA于F.∵△APM≌△AFM，∴AF＝AP＝，MF＝MP＝.∴OF＝OA－AF＝3－.∴M（，）.②当AD＝AM＝3时，△AMP∽△AED，∴.∴.∴. ∴（秒）.∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形.过点M作MF⊥OA于F.∵△AMF≌△AMP，∴AF＝AP＝，FM＝PM＝.∴OF＝OA－AF＝3－.∴M（，）.思路分析：考点解剖：此题是一道压轴题，本题主要考查特殊三角形、矩形、二次函数、动点、平面直角坐标系等知识点，主要涉及分类讨论和方程的数学思想方法，要注意分析问题时思维的严密性.解题思路：对于（1）利用翻折前后的图形全等，结合勾股定理可求出点E的坐标及AE长；对于（2）可先证明四边形PMND是矩形，再利用△AMP∽△AED求出PM用含字母t的式子表示，进而求出矩形PMND面积的二次函数关系式，再求出矩形面积的最大值；对于（3）要注意分两种情况MD＝MA和AD＝AM＝3，结合全等三角形和相似三角形讨论求解.规律总结：折叠问题要注意折叠前后的图形全等的隐含条件，同时要用到勾股定理进行求相关的量；运动问题解决的方法一般是“化运动为静”，即把运动的问题看成是静止的问题进行求解；当等腰三角形的底边或腰不明确时，要注意分类讨论求 解，否则容易出现漏解现象.去分母时，容易出现不含分母的项没有乘最简公分母；去括号时，容易出现漏乘项的情况.3.已知抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上;②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A、B两点也在抛物线y=ax2+2x+3上.（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线的解析式.（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由.（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)提出一个猜想吗？请用数学语言把你的想法表达出来，并给予证明.解：（1）设抛物线的顶点坐标为(x，y)，则∴x+y=3，即y=-x+3，∴抛物线顶点所在直线l的解析式为y=-x+3.（2）(0，3)，∵a≠0，∴x≠0，y≠3，∴(0，3)在直线l上，但不是该抛物线的顶点. （3）猜想：将顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标;把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A、B两点也在抛物线y=ax2+bx+c上.证明：由题意知将代入y=ax2+bx+c中，得到y=c∴A点在抛物线y=ax2+bx+c上，同理可知B点也在抛物线y=ax2+bx+c上.思路分析：考点解剖：本题考查了二次函数综合题，综合利用二次函数的有关性质，顶点、对称轴等知识解决问题解题思路：（1）设出顶点坐标为(x，y)，，然后利用顶点坐标公式表示出x、y，最后找出x、y之间的关系;（2）因为a≠0，所以x≠0，y≠3，所以(0，3)在直线l上，但不是该抛物线的顶点;（3）根据特殊的二次函数猜想出一般的二次函数的变化规律．规律总结：本题是一道新信息题，试题难度大，内容新颖，牢牢的掌握二次函数的性质是解决问题的关键. 4.有下列函数：①y=-3x②y=x-1③④y=x2+2x+1，其中函数值y随自变量x增大而增大的函数有（）A、①②B、②④C、②③D、①④5.如图，在直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．答案：解：（1）由题意，得：解得：∴=，顶点坐标为（1，4）.（2）由题意，得P(x,x-1)，Q(x,)， ∴线段PQ=-(x-1)==当x=时，线段PQ最长为．（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3,∴E(0，1)，或E(0，2)∵EP=EQ，PQ与y轴平行，∴2×OE=+(x-1)当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）,（3，2）但是，点P（3，2）不在线段MN上，因此（3，2）应舍去．当OE=2时，x1=1，x2=2，点P坐标为（1，0）或（2，1）．综上讨论，点P的坐标为（0，-1）、（1，0）、（2，1）．思路分析： 考点解剖：本题为函数型综合题，难度较大．第二问缺乏利用函数解决变量的问题会导致第二题没有思路;同时，在第三问中，如何用数形结合的思想列出方程解决问题也是学生的困难所在．解题思路：（1）用待定系数法求解析式;用配方法求顶点D的坐标．（2）设P点横坐标为m，将x＝m代入及y＝x－1中，将所得纵坐标相减构成以QP为函数、x为自变量的二次函数，求二次函数最大值即可．（3）分情况讨论：当点E为（0，1）时，当点E为（0，2）时，不论E为何值，均可以利用E点纵坐标＝（yQ+yP），列出关于x方程，进而解出x的值，求出P点坐标，并根据P点横坐标的取值范围确定解的合理性.规律总结：待定系数法是求函数关系式的主要方法;在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决;对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．6.如图12所示，二次函数（）的图像与x轴分别交于A（，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C;（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状;（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标; （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由.解：（1）根据题意，将A（，0）、B（2，0）代入中得，解这个方程，得，∴该抛物线的解析式为当x＝0时，y＝1∴点C的坐标为（0，1）∴在Rt△AOC中，在Rt△BOC中，，∵∴△ABC是直角三角形（2）点D的坐标为（，1）（3）存在 由（1）知，AC⊥BC若以BC为底边，则BC∥AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为，把A（，0）代入直线AP的解析式，求得∴直线AP的解析式为∵点P既在抛物线上，又在直线AP上∴点P的纵坐标相等，即解得，（舍去）当时，∴点P（，）②若以AC为底边，则BP∥AC，如图2所示，可求得直线AC的解析式为.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，把B（2，0）代入直线BP的解析式，求得，∴直线BP的解析式为∵点P既在抛物线上，又在直线BP上∴点P的纵坐标相等即，解得，（舍去） 当时，，∴点P的坐标为（，－9）综上所述，满足题目条件的点P为（，）或（，－9）思路分析：考点解剖：此题综合考查二次函数、三角形和梯形的有关知识.综合掌握各个考点的知识是解决本题的关键.解题思路：（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式;判定三角形的形状有两大类，一类是直角三角形;另一类是等腰三角形;（2）根据等腰梯形的性质确定D点的坐标;（3）确定直线AP的解析式及二次函数的解析式来确定满足条件构造一元二次方程，通过解方程求出P点的坐标.规律总结：（1）用待定系数法求函数解析式是最常用方法,务必掌握.（2）数学解题不仅要有扎实的基础知识,还要有用数学的思想方法去解决问题的意识.本小题中,根据题意构造直角三角形,并由勾股定理构建方程模型,从而使问题得以解决.（3）动态型题常与分类思想结合,解题时要注意不断地总结归纳,以便掌握一定的解题技巧.本系列资料系2010中考复习精品资料，每一篇内容分为三 个版块：内容解读、考点剖析、真题训练，精选近几年各地中考题，适合全层次初三学生系统复习初中数学知识。冲刺2010中考复习（9）第九讲二次函数的图象与性质内容解读二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。考点剖析1、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标例1：（龙岩）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜0解答：D例2：（云南）二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A.向上、直线x=4、（4，5）B.向上、直线x=-4、（-4，5） C.向上、直线x=4、（4，-5）D.向下、直线x=-4、（-4，5）解答：A2、二次函数的增减性例3：（威海）已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2解答：B3、二次函数的最值例4：（荆门）函数y=(x－2)(3－x)取得最大值时，x=______．解答：4、二次函数图象与坐标轴的交点例5：（广州）二次函数与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3解答：B5、二次函数的平移例6：（乌鲁木齐）要得到二次函数的图象，需将的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位解答：D6、二次函数与一元二次方程例7：（江西）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．解答：，6、二次函数的关系式例8：（南京）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：…………（1）求该二次函数的关系式；（2）当为何值时，有最小值，最小值是多少？（3）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．解答：（1）根据题意，当时，；当时，．所以解得所以，该二次函数关系式为．（2）因为，所以当时，有最小值，最小值是1．（3）因为，两点都在函数的图象上，所以，，．． 所以，当，即时，；当，即时，；当，即时，．真题训练1、（桂林）二次函数的最小值是（）(第2题)A．2B．1C．－3D．2、（丽水）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0.②该函数的图象关于直线对称.③当时，函数y的值都等于0.11（第3题）Oxy其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．03、（黄石）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤4、（福州）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（）A．B．C．D． 5、（兰州）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（）6、（潍坊）若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值7、（咸宁）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为．8、（天津）已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是．9、（常州）二次函数的部分对应值如下表：…………(第10题图)-2-1-2-122113xyy1y2O二次函数图象的对称轴为，对应的函数值． 10、（吉林）如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：(1)抛物线y2的顶点坐标_____________；(2)阴影部分的面积S＝___________；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向__________，顶点坐标____________．11、（兰州）下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是____________．6.176.186.196.20①②③④12、（湖州）如图甲，在等腰直角三角形中，，点在第一象限，点坐标为．与关于轴对称．（1）求经过三点的抛物线的解析式；（2）若将向上平移个单位至（如图乙），则经过三点的抛物线的对称轴在轴的．（填“左侧”或“右侧”） （3）在（2）的条件下，设过三点的抛物线的对称轴为直线．求当为何值时，？13、（新疆）（1）用配方法把二次函数变成的形成．（2）在直角坐标系中画出的图象．（3）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系．（直接写结果）（4）把方程的根在函数的图象上表示出来． 14、（常德）已知二次函数过点A（0，），B（，0），C（）．（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M（1，）是否在直线AC上？（3）过点M（1，）作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形． 15、（河北）如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3－9－1－1AB（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 16、（重庆）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 参考答案真题训练题号123456答案ABCDDB7、88、（4，5）9、1，－810、（1）（1，2）（2）2（3）向上，（－1，－2）11、③12、解：（1）由题意可知：经过 三点的抛物线的顶点是原点，故可设所求抛物线的解析式为．，点坐标为．……在抛物线上，，…，经过三点的抛物线解析式是．（2）左侧．（3）由题意得：点的坐标为，抛物线过原点，故可设抛物线解析式为，抛物线经过点和点，得，．抛物线对称轴必在轴的左侧，，而，，，．即当时，．13、解：（1）．（2）对称轴，顶点坐标x…01234…y…30103…12-2-1-31231230xyDCx1x2 （3）（4）如图点的横坐标．14、（1）设二次函数的解析式为（），把A（0，），B（，0），C（）代入得解得a=2，b=0，c=－2，∴（2）设直线AC的解析式为，把A（0，－2），C（）代入得，解得，∴当x=1时，∴M（1，）在直线AC上 （3）设E点坐标为（），则直线EM的解析式为由化简得，即，∴F点的坐标为（）．过E点作EH⊥x轴于H，则H的坐标为（）．∴∴，类似地可得，，∴，∴△BEF是直角三角形．15、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．16、解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得……………………（2分）∴……………………（3分） ∴抛物线解析式为：(2)存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵∴C的坐标为：(0，3)直线BC解析式为：Q点坐标即为的解∴∴Q(－1，2)（3）答：存在。 理由如下：设P点∵若有最大值，则就最大，∴＝＝当时，最大值＝∴最大＝当时，∴点P坐标为