第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1锐角的三角函数第2课时正弦和余弦课件(沪科版)
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23.1锐角的三角函数1.锐角的三角函数第2课时正弦和余弦\n1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义,并进行相关计算;(重点、难点)2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点)学习目标\n导入新课回顾与思考1.分别求出图中∠A,∠B的正切值.\n2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想,此时,其他边之间的比是否也确定了呢?ABC邻边b对边a斜边c\n任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.你能试着分析一下吗?ABCA'B'C'讲授新课☆正弦的定义合作探究\n在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.ABCA'B'C'\n∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA,即ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c概念学习\n典例精析例1如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.解:在Rt△ABC中,即∴BC=200×0.6=120.ABC\n变式:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,求:△ABC的周长和面积.解:在Rt△ABC中,20┐ABC\n☆余弦的定义合作探究任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.你能试着分析一下吗?ABCA'B'C'\nABCA'B'C'在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值.\n∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c概念学习\n例2:如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.提示:过点A作AD⊥BC于D.556ABC┌D\n如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?AsinA的值越大,梯子越;cosA的值越,梯子越陡.陡小81068106A议一议\n例3:sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是()A.tan70°<cos70°<sin70°B.cos70°<tan70°<sin70°C.sin70°<cos70°<tan70°D.cos70°<sin70°<tan70°解析:根据锐角三角函数的概念,知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又cos70°=sin20°,锐角的正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>sin20°=cos70°.故选D.【总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时,0<sinA<1,1>cosA>0.当角度在45°<∠A<90°间变化时,tanA>1.D\n如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,正弦余弦归纳总结\n定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切(习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.\n例4:在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.┌BCA36想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系?\n求:AB,sinB.10┐ABC变式:如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?\n如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,归纳总结sinA=cosB\n1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值()A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinAsinB;(2)若sinA=sinB,则∠A∠B.ABC┌C==当堂练习\n3.如图,∠C=90°CD⊥AB.4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______.┍┌ACBD()()()()()()CDBCACABADAC5.如图:P是∠的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则cosα=_____,tanα=_______.xyo34Pα\n6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA、cosA、tanA的值.解:∵又∵ABC610\n变式1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,求sinA、tanA的值.解:∵ABC设AC=15k,则AB=17k所以∴\n变式2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=,求sinA、cosB的值.ABC8解:∵\n7.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,求sin∠ECM.解:设正方形ABCD的边长为4x,∵M是AD的中点,BE=3AE,∴AM=DM=2x,AE=x,BE=3x.由勾股定理可知,AMEDBC\n7.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,求sin∠ECM.AMEDBC由勾股定理逆定理可知,△EMC为直角三角形.\n8.如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=(1)求点B的坐标;(2)求cos∠BAO的值.ABH解:(1)如图所示,作BH⊥OA,垂足为H.在Rt△OHB中,∵BO=5,sin∠BOA=,∴BH=3,OH=4,∴点B的坐标为(4,3).\n8.如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=(2)求cos∠BAO的值.ABH解:(2)∵OA=10,OH=4,∴AH=6.∵在Rt△AHB中,BH=3,\n在Rt△ABC中=abtanA=课堂小结
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