《锐角三角函数》教案

《锐角三角函数》教案教学目标1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．2．感知当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．3．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．4．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．学习重点1．理解正弦、余弦、正切的概念并根据其概念进行正确的计算．2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．教学难点1．当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定值的事实．2．30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．教学过程一、寻疑之自主学习1．活动问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为am，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值．思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值．【答案】思考1：100米　2am思考2：是定值　3．通过自主练习寻找疑问（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．（2）在直角三角形ABC中，若直角三角形DEF中∠D=∠B，则（）．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB等于（D）．A．B．C．D．（4）（2014·天津）cos60°的值等于（A）．A．B．C．D．（5）（2014·厦门）sin30°的值是（C）．A．B．C．D．1（6）（2014·包头）计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是（A）．A．2　B．1　C．　D． （7）已知α是锐角，且sin（α+15°）=（）．二、解惑之例题解析例1　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．ABC34ABC135解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB2=BC2+AC2，AB=5，∴sinA==，sinB==．（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2=AB2-BC2，AC=12∴sinA==sinB==【归纳总结】sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．例2　在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA、cosA、tanA的值．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2=AB2-BC2，AC=8 ∴sinA==，cosB==tanA==例3如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）解：设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．设PD=x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．在Rt△PAD中，，∴．在Rt△PBD中，，∴．又∵AB=80.0米，∴，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米．∴DB=2x=49.2米．答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．例4（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，求∠A的度数． ABC解：（1）在图中，∵sinA==∴∠A=45°（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α．ABO解：（2）在图中，圆锥的母线，底面半径，高线正好构成直角三角形，根据三角函数就可以求解设圆锥的底面半径OB为x，则圆锥的高AO等于x．∴tanα==，又∵tan60°=，∴α=60°．三、尝试之知识巩固1．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13．则sinA=（），sinB=（）． 2．正方形网格中，∠AOB按如图放置，则cos∠AOB的值为（A）．A．B．C．D．23．a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a∶b∶c=1∶∶，则cosB的值为（B）．A．B．C．D．4．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanA的值是（A）．A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，AB=3AC，则tanA=（C）．A．B．3C．D．6．如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于E，F，G，H，点P是HG上的一点，则tan∠EPF的值是_1_． 四、培优之达标测试1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，则AB等于（C）．A．8B．9C．10D．122．在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=6．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=2，求AC，AB的长．解：∵sinA=，∴=，∴AB=4BC=4×2=8，∴AC===．4．若∠A是锐角，tanA=，则∠A=_30°_．5．已知α为锐角，且cos（90°-α）=，则α=_30°_．6．（2014·凉山州）在△ABC中，若|cosA-|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（C）．A．45°B．60°C．75°D．105° 7．如果在△ABC中，sinA=cosB=，那么下列最确切的结论是（C）．A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形8．计算．（1）（3.14-π）0+（-）-2+|1-|-4cos45°；解：原式=1+4+-1-4×=4．（2）+2sin60°·tan60°-+tan45°．解：原式=1+3-+1=5-．9．如图，在⊙O中，过直线AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为（）．10．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα=（）．11．菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=，求DE的长和菱形ABCD的面积． 解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．在Rt△AED中，sinA=，即=，解得DE=6，∴菱形ABCD的面积为：10×6=60（cm2）．12．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（）．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则sinA的值是（C）．A．B．C．D．14．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（B）．A．B．C．D． 点拨：连接OA，OB，OP，延长OB交PA的延长线于点F，由切线长定理可得AC=CE，ED=DB，PA=PB，可知△PCD的周长为2PA，∴PA=PB=，由Rt△BFP∽Rt△OAF，得AF=，在Rt△PBF中，PF2=PB2+BF2，∴（+）2-（）2=BF2，解得BF=，∴tan∠APB=/=．15．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m，求点B到地面的垂直距离BC．解：在Rt△DAE中，∠DAE=45°，DE=m，∴sin45°=，∴AD=6m，在Rt△ACB中，∠BAC=60°，AB=AD=6m，∵sin60°=，∴BC=m．五、课堂小结：1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与_斜边_边的比叫做∠A 的正弦，记作_正弦_，即sinA=a/c．2．我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作_cosA_，即cosA=_b/c_．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作_tanA_，即tanA=．4．填写下表：30°45°60°sinαcosαtanα1六、作业设置：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．求：（1）DE，CD的长；（2）tan∠DBC的值． 七、自我反思：本节课我的收获：．附作业答案解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC，∴ED=DC，在Rt△ADE中，=cos A=，∴AD=10．由勾股定理可知ED=8，∴DE=CD=8．（2）由（1）知AC=AD+DC=18，cosA==，∴=，AB=30，BE=30-6=24，∴BC=BE=24，∴tan∠DBC==．