7.3.2多边形的内角和 (1)

三角形四边形五边形由平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形．六边形复习：新课导入 三角形的内角和等于180°，外角和等于360°． 长方形的内角和等于360°，外角和等于360°． 五边形六边形、七边形、n边形的内角和是多少度？外角和是多少度？ 知识与能力了解多边形的内角和公式．过程与方法1．通过测量、类比、推理，探索多边形的内角和公式，感觉数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力；2．通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法；3．通过探索多边形内角和公式，经历从实验几何过渡到论证几何的过程．教学目标 情感态度与价值观通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高自己学习热情．教学目标 重点探索多边形内角和公式．难点探索多边形内角和公式时，如何把多边形转化成三角形．教学重难点 任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．你能得出什么结论？1234∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°． 怎样证明你的结论？1234ABCD证明：连接对角线AD．因为∠3＋∠BDC＋∠CBD＝180°，∠1＋∠ADB＋∠ABD＝180°．所以四边形ABCD的内角和＝∠3＋∠BDC＋∠CBD＋＋∠1＋∠ADB＋∠ABD＝360°．从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，它将四边形分为2个三角形，四边形的内角和等于180°×2＝360°． 还有其他的证明方法吗？●ABCDMABCDP● 用同一种方法分别求出任意五边形、六边形的内角和等于多少度？180°×3=540°180°×4=720°5－26－2 观察下列图形，从多边形的一个顶点出发可以引多少条对角线？这些对角线把多边形分成几个三角形？你能猜想n边形的内角和是多少度吗？5432 一般地，怎样求n边形的内角和呢？A1A2A3A4An画多边形时，倒数第二边应画成虚线，表示还有很多边未画出来．从n边形的一个顶点出发，可以引(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)． 多边形的边数图形分割出的三角形的个数多边形的内角和345·························nn－2123(3－2)×180º(4－2)×180º(5－2)×180º(n－2)×180º n边形的内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°．知识要点 证明多边形内角和定理的基本思想是什么？AnA1A2A3A4AnA1A2A3A4AnA1A2A3A4PO●● n边形内角和等于180°×（n-2）解：九边形内角和：180°×（9－2）=1260°十二边形内角和：180°×（12－2）=1800°你能说出九边形的内角和吗？十二边形呢？答：九边形的内角和是1260°，十二边形的内角和是1800°． 一个多边形当边数增加2时，它的内角和增加多少度？解：设边数为n，则内角和等于(n－2)•180º，当边数增加2时，内角和等于(n＋2－2)•180º因为(n＋2－2)•180º－(n－2)•180º＝n•180º－n•180º＋360º＝360º答：它的内角和增加360º．练一练 解：设这个多边形是n边形，依题意得，180°×（n-2）=1260．解得：n=9答：这个多边形是九边形．一个多边形的内角和等于1440，它是几边形？练一练 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．n12345AnA1A2A3A4A5多边形的外角知识要点 在多边形的每个顶点外各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n12345AnA1A2A3A4A5图中，多边形的外角和为:∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋···＋∠n． ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋···＋∠n＝？解：n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°．因此n边形的n个外角加上与它们相邻的内角，所得总和为n×180°．这个总和就是n边形的外角和加上内角和，所以这个外角和等于总和减去内角和，即外角和为：n×180°－（n－2）×180°＝360°．练一练 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步． （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？（2）他跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5等于多少吗？你是怎样得到的？身体转过的角是∠1、∠2、∠3、∠4和∠5．360°．1+2+3+4+5=360°．由于跑了一圈，所转的各个角的和等于一个周角，所以1+2+3+4+5=360°． 利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来，能否利用多边形的内角和的结论推导出多边形外角和的结论呢？ 解：设这个多边形的边数为n（n≥3）．则它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360º．所以(n-2)×180°=2×360º得：n=6答：它是八边形．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，它是几边形？练一练 1．如果正多边形的一个外角是72，那么它的边数是（）A．4B．5C．6D．72．已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为（）A．8B．10C．12D．14BC随堂练习 3．一个多边形的内角和与外角和的总度数是1440°，求此多边形的边数．解:设这个多边形的边数为n（n≥3）由多边形内角和公式与外角和可知:(n-2)×180°+360°=1440°n×180°－360°＋360°=1440°n×180°＝1440°n=8答：多边形的边数为8． 1．n边形的内角和是(n-2)·180º．2．任意多边形的外角和都是360º．课堂小结 1．略．2．（1）4x＋60＝（5x－2）×180，解这个方程得x＝120．3．多边形的边数3456812内角和180°360°540°720°1080°1800°外角和360°360°360°360°360°360°习题答案 4．五边形的内角和＝（5－2）×180°＝540°，正五边形的每个内角是，即108°．十边形的内角和＝（10-2）×180°＝1440°，正十边形的每个内角是，即144°．5．九边形．6．（1）三角形．（2）六边形． 7．由∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，得∠A＋∠D＋∠A＋∠D＝360°，即∠A＋∠D＝180°．因此AB∥CD．同理可得BC∥AD．8．（1）由BC⊥CD，得∠BCD＝90°．由∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠2，得∠1＝∠2＝45°．由∠1＝∠2＝∠3，得∠3＝45°．在△CDO中，∠COD＝180°－∠1—∠3＝90°．因此CO是△BCD的高． （2）由∠COD＝90°，∠COD＝60°，得∠5＝90°－60°＝30°．（3）由∠5＝30°，∠5＝∠6，得∠5＝90°－∠4＝90°－60°＝30°．在△ABD中，∠ABD＝180°－∠4－∠DAB＝180°－60°－60°＝60°．∠ABC＝∠2＋∠ABD＝45°＋60°＝105°．∠BCD＝90°．∠ACD＝∠1＋∠4＝45°＋60°＝105°． 9．五边形的内角和＝（5－2）×180°＝540°．由五边形ABCDE的内角都相等，可得∠CDE＝∠E＝∠C＝＝108°．由∠1＋∠2＋∠E＝180°，∠1＝∠2＝36°．同理得∠3＝∠4＝36°．∠ADB＝∠CDE－∠1－∠3＝108°－36°－36°，即x＝36° 10．六边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．由六边形ABCDEF的内角和都相等，可得∠CDE＝∠B＝∠C＝∠E＝＝120°．在四边形ABCD中，∠ADC＝360°－∠DAB－∠B－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°．∠ADE＝∠CDE－∠ADC＝120°－60°＝60°．由∠DAB＝∠ADE，得AB∥DE．由∠DAB＋∠B＝60°＋120°＝180°，得BC∥AD．由∠ADC＋∠E＝60°＋120°＝180°，得EF∥AD．由BC∥AD，EF∥AD，得BC∥EF．