2024-2025九年级上册数学期末模拟卷（全解全析）（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟分值：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．测试范围：北师大版九上全册。4．难度系数：0.6。第Ⅰ卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形为，故选C．2．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（）,A．B．C．D．【答案】A【解答】解：电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，∴小灯泡发光的概率为，故选：A．3．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（）A．3B．4C．D．【答案】D【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝4，EF＝5，∴，∴，∴，故选：D．4．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的面积为（）,A．10B．24C．40D．48【答案】B【解答】解：菱形的面积＝，故选：B．5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0，方程可变形为（）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57【答案】B【解答】解：x2﹣8x+7＝0，x2﹣8x＝﹣7，x2﹣8x+16＝﹣7+16，（x﹣4）2＝9．故选：B．36．若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=−的图象上，则y1，y2，y3的大小关x系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【答案】C3【解答】解：∵反比例函数y=−中，k＝﹣3＜0，x∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．又∵﹣2＜0，∴点B（﹣2，y2）位于第二象限，∴y2＞0；又∵0＜1＜3，∴点A（2，y1），点C（3，y3）位于第四象限，∴y1＜y3＜0；∴y1＜y3＜y2，,故选：C．7．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA'＝1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【答案】D【解答】解：∵OA：AA'＝1：3，∴OA：OA'＝1：4，∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1：4，∴△ABC与△A'B'C'的面积比为1：16．故选：D．8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（）A．18.63（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝18.63C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63【答案】B【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．故选：B．9．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k≥1C．k≤1D．k＜1【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有实数根，,∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9k＝36﹣36k≥0，∴k≤1，故选：C．10．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵AC＝CB，∴OD＝OE，设A（﹣a，），则B（a，），故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，故选：C．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．如图，身高1.7m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝4m，CA＝1m，则树的高度为m．,【答案】8.5【解答】解：设树的高度为xm，由题意得：＝，∵BC＝4m，CA＝1m，∴＝，解得：x＝8.5，∴树的高度为8.5m，故答案为：8.5．12．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是．【答案】m＜﹣2【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故答案为m＜﹣2．13．已知x＝a是方程x2﹣2x﹣24＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣8的值为．【答案】40【解答】解：由条件可知：a2﹣2a＝24，∴2a2﹣4a﹣8＝2（a2﹣2a）﹣8＝2×24﹣8＝40，故答案为：40．14．如图，点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，连接BD、DE，则∠BDE＝°．,【答案】30【解答】解：∵点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，BD是正方形的对角线，∴∠ADB＝45°，∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AD＝AE，∴＝75°，∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝75°﹣45°＝30°，故答案为：30．15．如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．则PE+PF的值是．【答案】4.8【解答】解：连接DP，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵BD是斜边AC上的中线，∴BD＝CD＝AD＝AC＝5，,∴△BDC的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积＝×AB•BC＝××6×8＝12；∵PE⊥CD，PF⊥BD，∵△BDP的面积+△CDP的面积＝△BDC的面积，∴BD•PF+CD•PE＝12，∴5PF+5PE＝24，∴PF+PE＝4.8，故答案为：4.8．三、解答题（本题共8小题，共75分。其中：16-17每题8分，18-20题每题9分，21-22题每题10分，23题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）请你用指定的方法解下列方程：（1）配方法：x2﹣2x﹣7＝0；（2）公式法：3x2+x﹣5＝0．【解答】解：（1）原方程移项得，x2﹣2x＝7，x2﹣2x+12＝7+1，即（x﹣1）2＝8，，∴，；（4分）（2）由题意可得，∴Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝61＞0，∴，∴，．（8分）17．（8分）如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为（4，2），（6，﹣2）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OMN的位似△OPQ，所作新图形与原图形的相似比为1：2；（2）分别写出M、N的对应点P、Q的坐标；（3）求△OPQ的面积；（4）如果△OMN内部一点A的坐标为（a，b），直接写出点A在△OPQ内的对应点B的坐标．,【解答】解：（1）如图，△OPQ即为所求．（2分）（2）由图可得，P（﹣2，﹣1），Q（﹣3，1）．（4分）（3）△OPQ的面积为＝＝．（6分）（4）由题意得，点B的坐标为（）．（8分）18．（9分）在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602a0.590.630.620.6030.602摸到黑球的频（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近（精确到0.1）；（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．【解答】（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，故答案为：0.6；（2分）（2）从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下：,黑白白白黑﹣（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）﹣（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）﹣（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）﹣由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为．（9分）19．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；（2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长．【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又EF⊥AD，,∴平行四边形AEDF为菱形；（5分）（2）由（1）知四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，DF＝AF，∴＝，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，即＝，解得：DF＝．（9分）20．（9分）某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天盈利1200元，请回答：（1）每件衬衫应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得：（200﹣x﹣160）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝20，x2＝10，答：每件衬衫应降价20元或10元；（5分）（2）由（1）可知，售价为200﹣20＝180（元），∴180÷200＝0.9，答：该名牌衬衫应按原售价的9折出售．（9分）21．（10分）综合探究等腰直角△ABC与等腰直角△CDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD．（1）如图1，当点B，D，E在同一条直线上时，连接AE，求证：AE＝BD；（2）在（1）的条件下取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC＝ME；（3）如图2，求证：AC•CF＝CE•CG．,【解答】证明：（1）∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠ABC＝45°，AC＝BC，EC＝DC，∵∠ECA+∠ACG＝∠ACG+∠BCG＝90°，∴∠ECA＝∠BCG，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（3分）（2）由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC，∵∠DBC+∠BFC＝90°，∠BFC＝∠AFE，∴∠EAC+∠AFE＝90°，即∠AEF＝90°，在Rt△AEB中，点M为AB中点，∴，又∵，∴MC＝ME．（6分）（3）在△ECF和△BCG中，∠E＝∠CBG，∠ECA＝∠BCG，∴△ECF∽△BCG，∴，∵AC＝BC，∴，∴AC•CF＝CE•CG．（9分）,22．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AD时，求的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝；（3分）（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，,∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3，∴DF＝＝，∴AF＝＝2，∴BC＝AD＝AF+DF＝2；（6分）（3）如图，过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AD，∵BC＝BF，∴NF＝，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，,解得y＝x，∴BF＝BG+GF＝2x+＝x，∴．（10分）23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点B（n，4），其中a，b满足．（1）直接写出k，n的值及点A的坐标；（2）点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且﹣4＜m＜﹣1，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接BC，AD，四边形ABCD的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由；（3）点P是x轴负半轴上一点，以BP为边向线段BP右侧作等边△BPF，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵+|b﹣3|＝0，∴a＝1，b＝3，∴一次函数的解析式为y＝x+3，当y＝0时，x+3＝0，解得：x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把点B（n，4）代入y＝x+3得：n+3＝4，解得：n＝1，∴B（1，4），把B（1，4）代入y＝得：4＝，,解得：k＝4；（4分）（2）四边形ABCD的面积可以为12．过点A作AF∥y轴交CD于F，过点B作BG∥y轴交CD于G，由题意得：D（m，），直线CD的解析式为y＝x，则C（﹣m，﹣），∵A（﹣3，0），B（1，4），∴F（﹣3，﹣），G（1，），当﹣4＜m＜﹣3时，点D在AF的左侧，则S四边形ABCD＝S△ADF+S四边形ABGF+S△BCG＝AF•（xA﹣xD）+（AF+BG）•（xB﹣xA）+BG•（xG﹣xB）＝××（﹣3﹣m）+×（+4﹣）×（1+3）+×（4﹣）×（﹣m﹣1）＝﹣﹣2m+6，∵S四边形ABCD＝12，∴﹣﹣2m+6＝12，解得：m＝﹣1或m＝﹣2，∵﹣4＜m＜﹣3，∴此时无解；当﹣3≤m＜﹣1时，点D在AF的右侧，则S四边形ABCD＝S四边形ABGF+S△BCG﹣S△ADF,＝（AF+BG）•（xB﹣xA）+BG•（xG﹣xB）﹣AF•（xD﹣xA）＝×（+4﹣）×4+×（4﹣）×（﹣m﹣1）﹣××（m+3）＝﹣﹣2m+6，∵S四边形ABCD＝12，∴﹣﹣2m+6＝12，解得：m＝﹣1或m＝﹣2，∵﹣3≤m＜﹣1，∴m＝﹣2；（8分）（3）如图，以BP为边向右侧作等边三角形BPF，以B为顶点作等边三角形BCD，使CD边在x轴上，设直线CF交y轴于点G，则C（1+，0），∠PBF＝∠DBC＝∠BDC＝∠BCD＝60°，BP＝BF，BD＝BC，∴∠PBD+∠DBF＝∠DBF+∠FBC，∠PDB＝120°，∴∠PBD＝∠FBC，∴△PBD≌△FBC（SAS），∴∠FCB＝∠PDB＝120°，∴∠PCF＝∠FCB﹣∠BCD＝120°﹣60°＝60°，∴OG＝OC•tan60°＝（1+）×＝+4，∴G（0，﹣﹣4），∴直线CG的解析式为y＝x﹣﹣4，∵点F在双曲线y＝（x＞0）关于x轴对称的图象上，∴点F在双曲线y＝﹣（x＞0）的图象上，,联立得，解得：，，∴F1（，﹣），F2（1，﹣4），设P（x，0），且x＜0，当F（，﹣）时，则BP＝BF，∴（x﹣1）2+42＝（﹣1）2+（﹣﹣4）2，解得：x＝3+（舍去）或x＝﹣﹣1，∴点P的坐标为（﹣﹣1，0）；当F（1，﹣4）时，则PB＝BF＝8，∴（x﹣1）2+42＝82，解得：x＝1+4（舍去）或x＝1﹣4，∴点P的坐标为（1﹣4，0）；综上所述，点P的坐标为（﹣﹣1，0）或（1﹣4，0）．（12分）