2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数

函数与导数一、单选题1．（2024·全国）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ）A．B．C．D．2．（2024·全国）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ）A．B．C．D．3．（2024·全国）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ）A．B．C．1D．24．（2024·全国）设函数，若，则的最小值为（    ）A．B．C．D．15．（2024·全国）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ）A．B．C．D．6．（2024·全国）函数在区间的大致图像为（    ）A．B．C．D． 7．（2024·全国）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ）A．B．C．D．8．（2024·北京）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ）A．B．C．D．9．（2024·天津）下列函数是偶函数的是（   ）A．B．C．D．10．（2024·天津）若，则的大小关系为（   ）A．B．C．D．11．（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（    ）A．B．C．D．12．（2024·上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ）A．存在是偶函数B．存在在处取最大值C．存在是严格增函数D．存在在处取到极小值二、多选题13．（2024·全国）设函数，则（    ）A．是的极小值点B．当时，C．当时，D．当时，14．（2024·全国）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心三、填空题15．（2024·全国）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.16．（2024·全国）已知，，则．17．（2024·全国）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．18．（2024·天津）若函数有唯一零点，则的取值范围为．19．（2024·上海）已知则．四、解答题20．（2024·全国）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．21．（2024·全国）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．22．（2024·全国）已知函数．(1)求的单调区间； (2)若时，证明：当时，恒成立．23．（2024·全国）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，恒成立，求的取值范围．24．（2024·北京）已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）25．（2024·天津）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的取值范围；(3)若，证明．26．（2024·上海）若．(1)过，求的解集；(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．27．（2024·上海）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 参考答案：1．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.2．B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3．D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【解析】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.4．C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与 的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5．A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】，所以，故切线方程为，故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为故选：A.6．B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【解析】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.7．A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.8．A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.9．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.10．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为在上递增，且， 所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B11．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【解析】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．12．B【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【解析】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.13．ACD【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.14．AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心15．【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：16．64【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解析】由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.17．【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：18．【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当 时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.【解析】令，即，由题可得，当时，，有，则，不符合要求，舍去；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，或（正值舍去），当时，或，有两解，舍去，即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即，故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，由的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，（负值舍去）或，当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递减，故有，解得，故符合要求；综上所述，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19．【分析】利用分段函数的形式可求. 【解析】因为故，故答案为：.20．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）求出后根据可求的最小值；（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.【解析】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，当，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时.而当时，而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21．(1)(2)【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【解析】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【解析】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证23．(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数， 故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24．(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.【解析】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为，则切线方程为，将代入则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在无零点，与假设矛盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知.所以，则切线的方程为，令，则.，则，，记，满足条件的有几个即有几个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，综上所述，有两个零点，即满足的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25．(1)(2)(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足；（3）先确定的单调性，再对分类讨论.【解析】（1）由于，故.所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.（2）设，则，从而当时，当时.所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.设，则. 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.一方面，若对任意，都有，则对有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，则对任意都有，满足条件.综合以上两个方面，知的取值范围是.（3）先证明一个结论：对，有.证明：前面已经证明不等式，故，且，所以，即.由，可知当时，当时.所以在上递减，在上递增.不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当时，有，结论成立；情况二：当时，有.对任意的，设，则.由于单调递增，且有 ，且当，时，由可知.所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.故在上递减，在上递增.①当时，有；②当时，由于，故我们可以取.从而当时，由，可得.再根据在上递减，即知对都有；综合①②可知对任意，都有，即.根据和的任意性，取，，就得到.所以.情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.而根据的单调性，知或.故一定有成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 26．(1)(2)【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【解析】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.（2）因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.27．(1)证明见解析(2)存在，(3)严格单调递减【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【解析】（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．（2）由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．（3）设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①② 由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.