2025届高三一轮复习 第一章　运动的描述 匀变速直线运动的研究第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题练习

第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题素养目标　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性。2.能灵活处理多过程问题。一、自由落体运动1.运动性质：自由落体运动和竖直上抛运动都是匀变速直线运动。2.自由落体运动(1)条件：物体只受重力，从静止开始下落。(2)基本规律①速度与时间的关系式：v＝gt。②位移与时间的关系式：h＝gt2。③速度与位移的关系式：v2＝2gh。二、竖直上抛运动1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。2.运动性质：匀变速直线运动。3.基本规律(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。基础自测1.伽利略从斜面实验外推到自由落体运动的情景模型如图1所示，下列说法符合史实的是(　　),图1A.伽利略先猜想下落物体的速度随时间均匀增加，然后通过斜面实验直接得出v∝tB.伽利略通过斜面实验得出：从静止开始小球必须沿光滑的斜面运动才有s∝t2C.伽利略采用“冲淡”重力的方法，实质是增大小球的位移，延长小球的运动时间D.伽利略发现，改变斜面的倾角，s∝t2依然成立，斜面的倾角越大，越大答案　D解析　伽利略的时代，无法直接测出瞬时速度，不能直接得出v∝t的结论，是通过s∝t2间接推理得出v∝t，然后得出落体运动是一种匀变速直线运动，A错误；伽利略通过斜面实验得出小球从静止开始沿着斜面向下运动，运动的距离与时间的平方成正比，即s∝t2，但用来做实验的斜面不一定光滑，B错误；伽利略采用“冲淡”重力的方法，其实质是减小小球的加速度，延长小球的运动时间，C错误；伽利略发现，改变斜面的倾角，s∝t2依然成立，斜面的倾角越大，越大，D正确。2.如图2所示，身高1.75m的小明在篮板正下方原地竖直向上跳起，手指恰好能摸到篮板下沿，已知篮板下沿距离地面高度2.90m，小明双脚离地时速度约为(　　)图2A.3m/s　　B.4m/sC.5m/s　　D.6m/s答案　B解析　小明做竖直上抛运动，手指恰好能摸到篮板下沿，考虑手臂的长度，上升的高度约为h＝(2.90－2.10)m＝0.8m，由速度位移关系有v＝2gh，解得v0＝≈,4m/s，故B正确。考点一　自由落体运动1.初速度为0的匀变速直线运动规律都适用。2.Δv＝gΔt：相同时间内，竖直方向速度变化量相同。3.位移差公式：Δh＝gT2。例1(2023·江苏无锡高三期中)如图3所示，甲突然释放刻度尺，乙迅速夹住，由此判断乙的反应时间。现在尺上贴上间隔0.02s的刻度制成反应时间尺。下列说法正确的是(　　)图3A.反应时间尺的“0”刻度位于A处B.反应时间尺的刻度疏密均匀C.反应时间尺的刻度A处较密D.反应时间尺的刻度B处较密答案　D解析　反应时间为零指的是甲一释放刻度尺，乙就夹住，刻度尺并未下落，故反应时间尺的“0”刻度位于B处，A错误；做匀加速直线运动的物体，相同时间内的位移逐渐增大，即随着刻度尺的下落，每隔0.02s的位移逐渐增大，可知反应时间尺的刻度疏密不均匀，反应时间尺的刻度B处较密，A处较疏，B、C错误，D正确。例2蹦极是一项刺激的户外休闲活动，可以使蹦极者在空中体验几秒钟的“自由落体”。如图4所示，蹦极者站在高塔顶端，将一端固定的弹性长绳系在腰上，然后双臂伸开，双腿并拢，头朝下跳离高塔。设弹性绳的原长为L,，蹦极者下落第一个时速度的增加量为Δv1，下落第五个时速度的增加量为Δv2，把蹦极者视为质点，蹦极者离开塔顶时的速度为零，不计空气阻力，则满足(　　)图4A.1<<2B.2<<3C.3<<4D.4<<5答案　D解析　蹦极者下落高度L的过程，可视为自由落体运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶(－2)∶…，可知＝＝＋2，即4<<5，根据Δv＝gt，可得4<<5，故D正确，A、B、C错误。跟踪训练1.屋檐离地面的高度为45m，每隔相等时间滴下一滴水，当第7滴水刚滴下时，第一滴水恰好落到地面上，则第3滴水与第5滴水的高度差为(　　)A.5mB.10mC.15mD.20m答案　C解析　根据题意画出水滴下落过程的示意图如图所示，根据自由落体运动的规律可知，在连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶…，所以第3滴水与第5滴水的高度差h＝H＝H＝15m，故C正确，A、B、D错误。,2.(2022·江苏徐州市王杰中学模拟)中国发射的“嫦娥四号”探测器是人类第一次近距离访问月球背面，此次访问为我国进一步探索深空积累了重要经验。一物体从月球表面某高度处由静止释放，自开始下落计时，得到物体离月球表面高度h随时间t变化的图像如图5所示，则(　　)图5A.月球表面重力加速度大小为1.8m/s2B.物体落到月球表面的速度大小为20m/sC.1s末物体的速度大小为1.6m/sD.前4s内物体的平均速度大小为6.4m/s答案　C解析　根据h＝g月t2，代入数据，解得g月＝1.6m/s2，物体落到月球表面的速度大小为v＝g月t＝1.6×5m/s＝8m/s，故A、B错误；1s末物体的速度大小为v1＝g月t1＝1.6×1m/s＝1.6m/s，故C正确；前4s内物体的位移h4＝g月t42＝×1.6×42m＝12.8m，前4s内物体的平均速度大小为＝＝m/s＝3.2m/s，故D错误。考点二　竖直上抛运动,1.重要特性：(如图6)(1)对称性(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。2.研究方法分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)若v＞0，物体上升，若v＜0，物体下落若h＞0，物体在抛出点上方，若h＜0，物体在抛出点下方例3一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10m/s2)(　　)A.80mB.40mC.20mD.无法确定答案　C解析　物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，则A、B间距离为hAB＝g＝×10×(2.52－1.52)m＝20m，故C正确。,例4(2023·江苏常州市八校联考)如图7甲所示，四楼老张家楼下有一水塘，疫情期间，老张在家里就开始打窝钓鱼。情景模拟如下：可视为质点的小球在楼层上竖直上抛，上升后落入鱼塘并在速度正好减为0时沉底。整个过程中的速度—时间(v－t)图像如图乙所示，已知楼层到水面的高度为8m，t3＝5.5t1，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2(答案可保留根式)。求：图7(1)时间t1；(2)小球入水时的速度大小；(3)鱼塘水深。答案　(1)s　(2)6m/s　(3)4.5m解析　(1)小球做上抛运动上升过程的高度x所对应图像的面积为阴影部分①甲小球从最高点下落高度x所对应图像的面积为阴影部分②乙楼房的高度所对应的面积为阴影部分③,丙根据题意得8x＝8m，解得x＝1m所求时间为x＝gt，解得t1＝s。(2)小球从最高点自由下落的高度为9x，如图丁对应图像的面积为阴影部分④丁v2＝2g·9x，解得v＝6m/s。(3)根据题意得，小球在水中的运动时间为1.5t1，鱼塘水深h对应的面积为阴影部分⑤戊h＝×1.5t1·v＝4.5m。跟踪训练3.(2023·辽宁沈阳模拟)一名外墙清洁员乘坐吊篮从地面开始以2m/s的速度匀速上升，中途一个小物体从吊篮上掉落，随后2s清洁员听到物体落地的声音，忽略空气阻力对物体运动的影响，此时吊篮离地面的高度约为(　　)A.15mB.20mC.24mD.30m答案　B解析　设物体掉落时吊篮离地面的距离为h1，物体掉落后做竖直上抛运动，初速度大小为v0＝2m/s，忽略声音在空中传播经历的时间，则物体在空中运动的时间为t＝2s。规定竖直向下的方向为正方向，由运动学公式可得h1＝－v0t＋gt2，,解得h1＝16m，吊篮匀速上升，故物体在空中运动的过程中，吊篮上升的距离为h2＝v0t＝4m，故此时吊篮离地面的高度约为h1＋h2＝20m，故B正确。考点三　多运动过程问题1.一般的解题步骤(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。2.解题关键多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。例5(2023·山西吕梁模拟)2021年9月29日万里黄河第一隧道“济南黄河济泺路隧道”建成通车，隧道全长s＝4760m。某次通车前实验时一辆小型汽车在距隧道口一定距离处由静止开始做匀加速直线运动，当汽车速度达到某速度后(未超过隧道限定速度)开始匀速运动。某坐在副驾驶位的乘客从汽车刚进入隧道口时开始计时，发现汽车匀加速直线运动过程中经过距隧道入口50m和紧接着100m的两段路程用时相等，忽略汽车的长度。图8(1)求汽车开始运动的位置距隧道入口的距离；(2)若汽车从(1)问中开始运动的位置以a′＝2.5m/s2的加速度由静止开始匀加速直线运动，速度达到90km/h后保持匀速运动，求汽车从开始运动到刚穿出隧道所用的时间。答案　(1)6.25m　(2)195.65s解析　(1)汽车做匀变速直线运动，设经过隧道入口x1＝50m与紧邻的x2＝100m,相等的时间间隔为t，则根据Δx＝at2可得Δx＝at2＝x2－x1＝50m则经过隧道入口50m时，速度大小为v＝汽车由开始运动到经过隧道入口50m时，有v2＝2ax联立以上各式得x＝＝56.25m故汽车开始运动的位置到隧道口的距离为x0＝x－x1＝6.25m。(2)依题意知v1＝90km/h＝25m/s速度达到25m/s时，有v＝2a′x3代入数据求得x3＝125m用时t1＝＝10s故匀速运动的距离x4＝s＋x0－x3＝4641.25m匀速运动时，有x4＝v1t2可得t2＝185.65s故从开始运动到刚穿出隧道用时t＝t1＋t2＝195.65s。A级　基础对点练对点练1　自由落体运动1.(2023·江西南昌模拟),四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚要开始运动时各小球相对地面的位置的是(　　)答案　C解析　依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地，又因为四个小球做的都是初速度是零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，即在相等的时间间隔内位移越来越大，因此从下到上相邻两个小球之间的位移差越来越大，A、B、D错误，C正确。2.(2023·盐城月考)甲、乙两物体的质量之比为m甲∶m乙＝5∶1，甲从高H处自由落下的同时，乙从高2H处自由落下，若不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中错误的是(　　)A.在下落过程中，同一时刻二者速度相等B.甲落地时，乙距地面的高度为HC.甲落地时，乙的速度大小为D.甲、乙在空气中运动的时间之比为2∶1答案　D解析　自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，与物体质量无关，在下落过程中，同一时刻两物体的速度相等，A正确；甲落地时乙距离地面的距离h＝2H－H＝H，B正确；甲落地时的速度与乙的速度相同，有v2＝2gH，解得v＝，C正确；根据h＝gt2，解得时间之比为1∶，D错误。3.如图1所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5、…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。根据图中的信息，下列判断不正确的是(　　),图1A.位置“1”是小球释放的初始位置B.小球做匀加速直线运动C.小球下落的加速度为D.小球在位置“3”的速度为答案　A解析　由题图可知，连续相等时间内位移差相等，均为d，所以小球做匀加速直线运动，小球下落的加速度为a＝＝，B、C正确；小球在位置3的瞬时速度的大小为v3＝＝，D正确；由于v3＝v1＋a·2T，a＝，解得v1＝，A错误。4.甲、乙两球从足够高的同一位置相隔1s先后自由落下，在下落过程中(　　)A.两球的速度差始终不变B.两球的速度差越来越大C.两球的距离越来越小D.两球的距离始终不变答案　A解析　设甲球下落时间为t，由v＝gt，可得Δv＝gt－g(t－1)＝g，故两球的速度差始终不变，故A正确，B错误；两球的距离为Δh＝gt2－g(t－1)2＝gt－g，距离越来越大，故C、D错误。5.(2021·湖北卷，2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10,米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m完成技术动作，随后5m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)A.0.2sB.0.4sC.1.0sD.1.4s答案　B解析　陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝＝s≈1.4s，下落前5m的过程所用的时间为t1＝＝s＝1s，则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4s，B正确，A、C、D错误。6.(2023·江苏高邮一中高三开学考)一小球做自由落体运动，落地前40m所用的时间为2s，g取10m/s2，则小球落地的速率为(　　)A.30m/sB.35m/sC.40m/sD.45m/s答案　A解析　落地前40m的平均速度为＝＝m/s＝20m/s，又v＝，这段时间的中间时刻的瞬时速度为v＝20m/s，从该中间时刻又经过t1＝1s小球落地，小球落地的速率v1＝v＋gt1＝20m/s＋10×1m/s＝30m/s，A正确，B、C、D错误。7.如图2所示，甲、乙两物体从地面上某点正上方不同高度处，同时做自由落体运动，已知甲的质量比乙的质量大，下列说法正确的是(　　),图2A.甲、乙可能在空中相撞B.甲、乙落地时的速度相等C.下落过程中，甲、乙速度变化的快慢相同D.从开始下落到落地，甲、乙的平均速度相等答案　C解析　物体做自由落体运动，加速度为g，与物体的质量无关，下落过程中，甲、乙速度变化的快慢相同，甲、乙不可能在空中相撞，故A错误，C正确；根据v2＝2gh，物体落地时的速度v＝，故两物体到达地面时速度不同，故B错误；由平均速度＝＝知两物体平均速度也不相等，故D错误。对点练2　竖直上抛运动8.(2023·江苏南京师大附中月考)升降机从井底以5m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是(　　)A.螺钉松脱后做自由落体运动B.井的深度为45mC.螺钉落到井底时的速度大小为40m/sD.螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时16s答案　D解析　螺钉松脱后由于具有竖直向上的速度，会做竖直上抛运动，而不是做自由落体运动，A错误；规定向下为正方向，根据v＝－v0＋gt，螺钉落到井底时的速度大小v＝－5m/s＋10×4m/s＝35m/s，C错误；螺钉下降的距离h1＝－v0t＋gt2,＝－5×4m＋×10×42m＝60m，因此井深h＝v0t＋h1＝80m，B错误；螺钉随升降机从井底出发到落回井底的时间与升降机从井底升到井口的时间相同为t＝＝16s，D正确。9.如图3所示，音乐喷泉竖直向上喷出水流，喷出的水经3s到达最高点，把最大高度分成三等份，水通过起始的第一等份用时为t1，通过最后一等份用时为t2。空气阻力不计，则满足(　　)图3A.1<<3B.3<<5C.5<<7D.7<<9答案　B解析　根据初速度为零的匀变速直线运动规律，水通过连续相等位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…，将水的运动逆向看成自由落体运动，可知＝＝＋≈3.15，即3<<5，故B正确，A、C、D错误。B级　综合提升练10.(2022·江苏南京模拟)广场喷泉是城市一道亮丽的风景。如图4，喷口竖直向上喷水，已知喷管的直径为D，水在喷口处的速度为v0。重力加速度为g，不考虑空气阻力的影响，则在离喷口高度为H时的水柱直径为(　　),图4A.DB.C.D.答案　C解析　设Δt时间内，从喷口喷出的水的质量为Δm，则Δm＝ρΔV，ΔV＝v0πΔt，在离喷口高度为H时，速度v2－v＝－2gH，且v0Δtπ＝vΔtπ，解得D′＝，故C正确。11.(2023·江苏南京市中华中学高三开学考)如图5所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为L，小球与空心管的轴线重合，小球直径小于空心管内径。假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是(　　)图5A.两者同时静止释放，小球在空中不能穿过空心管B.小球自由下落，空心管固定不动，小球穿过空心管的时间为t＝C.小球以一定初速度,向下抛出，同时从静止释放空心管，则小球一定能穿过空心管，穿过空心管的时间与当地重力加速度有关D.静止释放小球，经过很短的时间t后静止释放空心管，则小球一定能穿过空心管，穿过空心管的时间与当地重力加速度无关答案　A解析　若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下降的高度相同，可知小球在空中不能穿过空心管，故A正确；若小球自由下落、空心管固定不动，小球穿过空心管的时间是小球到达空心管的下端与到达空心管的上端的时间差，根据自由落体运动公式h＝gt，h＋L＝gt，解得Δt＝t2－t1＝－，故B错误；以空心管为参考系，小球相对空心管匀速运动，可知小球穿过空心管的时间t＝，与当地重力加速度无关，故C错误；释放空心管时，小球的速度为v＝gt，以空心管为参考系，小球相对空心管以速度v做匀速运动，则小球穿过空心管的时间t′＝＝，小球能通过空心管，但是穿过空心管的时间与当地重力加速度有关，故D错误。12.利用弹射装置将可以视为质点的A球以大小为v0＝50m/s的速度竖直向上从地面弹出，经过一段时间后从离A球被弹出的位置高度为h＝150m的位置释放另一个小球B，A、B两球在运动过程中始终在同一竖直线上，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。求：(1)若在A球被弹出的同时释放B球，问经过多长时间A、B两球会在A球上升的过程中相遇；(2)若在A球被弹出后4s再释放B球，则A、B两球相遇时他们的位置离地面的高度是多少。答案　(1)3s　(2)105m解析　(1)若在A球被弹出的同时释放B球，在上升的过程中两球相遇，则有xA＋xB＝hA、B两小球的位移分别为,xA＝v0t－gt2xB＝gt2联立解得t＝3s。(2)A球被弹出后经过时间t1＝＝5s到达最高点，其上升高度为hA＝v0t1－gt＝125m在A球被弹出4s后再释放B球，则B球在A球被弹出后第5s内下降的高度为hB＝gt＝5m由于hA＋hB<150m故A、B球应在A球的下降阶段相遇，取竖直向下为正方向，设释放B球后经过时间t′A、B两球相遇，相遇时A、B两球的位移之和为h，有xA＝v0(t′＋4)－g(t′＋4)2xB＝gt′2xA＝h－xB联立解得t′＝3s所以A、B两球相遇位置离地面的高度为h′＝h－gt′2＝105m。