北师版九年级数学 第一章 特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型）

第一章特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型）题型1：解答证明题题型2：折叠问题题型3：旋转问题题型4：最值问题题型5：取值范围问题题型6：定值问题题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题题型9：新定义题题型10：情景探究题题型11：其他动态问题、最值问题综合题型1：解答证明题1．在菱形中，，点E、F分别为上一点．(1)如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；(2)当时，①如图2，若，若，，求的长；②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．2．如图，在中，(1)若是菱形，，试求出的度数；(2)如图2，若，点在边的延长线上，连接．，若是的中点，连接，求证：；90 (3)如图3，，点是上动点，连结．过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论．题型2：折叠问题3．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接．(1)若．①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长；②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长；(2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值．4．【问题发现】如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到．（）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：；（）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点，①猜想线段之间的数量关系，并证明；②试说明的度数．90 【探究应用】（）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度．5．综合与实践(1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到的角．步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二：再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，交于点，连接．根据以上操作，图1中度数为的角是（只需写一个）；请你证明中的结论．(2)迁移探究：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．若正方形的边长为，求的长（结果保留小数点后一位，参考数据：(3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片沿着平行于的折痕折叠，使点分别落在边上，其余步骤不变．若，请直接写出的值为．题型3：旋转问题6．操作与证明：90 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是：　　；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．7．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．  (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明；(2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点且点恰好是的中点，连接，，若，，求；(3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系．题型4：最值问题8．问题提出  如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系．问题探究  （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系：问题拓展  （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）．90   9．【问题情境】(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．【继续探究】(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．【拓展提升】(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．题型5：取值范围问题10．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．90 (1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．11．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)90 (2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线(填“是”或“不是”)该图形的等积线．(3)在图3所示的“图形”中，，，．①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为．题型6：定值问题12．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．(1)如图1，当点E是中点时，______；(2)如图2．①求证：；②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．13．综合与实践90 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．试说明：矩形是1阶奇妙矩形．  　　  　　  　　  （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．90 (1)求直线的解析式；(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．15．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．16．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转90 得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题17．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q．90 (1)当时，点的坐标为______；(2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______；(3)如图3，当矩形的顶点落在l上时，①求的长度；②求．18．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒．    (1)如图1，当点运动到O处时，线段长为____________；如图2，当点与点B重合时，点P坐标为____________，线段长为____________，(2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形，(3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围．题型9：新定义题19．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．90 (1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．题型10：情景探究题20．如图，点分别在菱形的各边上．90 【初步认识】（1）如图，若，则四边形一定是（   ）A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形【变式探究】    （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形．【深入思考】（3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论．（4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式．题型11：其他动态问题、最值问题综合21．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．  (1)如图1，求证：：(2)直线与相交于点G．90 ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．22．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．①如图2，若四边形为菱形，求的值；②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．90 第一章特殊平行四边形（压轴专练）（十一大题型）题型1：解答证明题题型2：折叠问题题型3：旋转问题题型4：最值问题题型5：取值范围问题题型6：定值问题题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题题型9：新定义题题型10：情景探究题题型11：其他动态问题、最值问题综合题型1：解答证明题1．在菱形中，，点E、F分别为上一点．(1)如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；(2)当时，①如图2，若，若，，求的长；②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．【答案】(1)(2)；【分析】本题考查了正方形、菱形的性质，等边三角形与平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等多个知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．（1）延长至Ｇ点，使，构造，得到，又可证，通过等量代换即可证得结果．（2）①连接BD，过D点作，垂足为点N．由菱形的性质并结合可得和90 是等边三角形，然后证明，则，于是可证是等边三角形．再利用可求得、的值，于是可求得的值，最后在由勾股定理可得的值，于是得到的值．②过D作的平行线，过D作的垂线，利用类似于②的思路同样可求得结果．【解析】（1）解：如图，延长至G点，使．由菱形，则四边形是正方形．∴，∴，∴，∵，∴，即，∴又，∴，∴；又，∴；故答案为：．（2）解：①如图，连接，过D点作，垂足为点N．90 ∵四边形是菱形，，，，则和是等边三角形，，，；，；在和中，，，则，∴由可知是等边三角形．，∵，，∴，∴，在中，，∴，．，在中，，．90 ②如图，过点D作，交于点P；过点D作，交于点Q；自点D作的垂线，垂足为点M．连接．因，∴四边形与四边形均为平行四边形．∴．∵E为的中点，∵E为的中点，同①证法可知，，，．，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，90 由平行四边形可知，2．如图，在中，(1)若是菱形，，试求出的度数；(2)如图2，若，点在边的延长线上，连接．，若是的中点，连接，求证：；(3)如图3，，点是上动点，连结．过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案；（2）延长交于点，连接，证明是矩形，进而可得，根据已知可得，根据三线合一即可得证；（3）连接，证明，可得，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论．【解析】（1）解：∵是菱形，∴，∵，∴，∴90 （2）证明：如图所示，延长交于点，连接∵∴又∵是的中点，∴，又∴∴，∴四边形是平行四边形，∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，∴，∴∵∴∵∴（3）连接  ．90 在和中，又，，，∵，，∴，∴，∴，，，在和中，又90 在中，．  在和中，．，又，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．题型2：折叠问题3．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接．(1)若．①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长；90 ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长；(2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解；②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解；（2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解．【解析】（1）解①：∵四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴；设，∵，∴，∵，即，解得：，∴；②如图，连接，过点E作，90 由折叠可得：，，∵，∴，∴，由折叠可得：，∴，由①同理可求：，设，则，∵，解得：，∴，∴，∵，∴；（2）连接∵，点E为的中点，设，，则，，∴；由折叠性质可得：，，90 ∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键．4．【问题发现】如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到．（）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：；（）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点，①猜想线段之间的数量关系，并证明；②试说明的度数．【探究应用】（）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度．【答案】（）证明见解析；（）①，证明见解析；②；（）．【分析】（）证明即可求证；90 （）①．连接，证明，得到，进而由即可求证；②由折叠得，由，得，进而得即可求解；（）由翻折可得，，，即得，得到，进而得到，，再得到，由此得到，最后证明，得到；本题考查了正方形的性质，折叠的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【解析】（）证明：∵将正方形纸片沿直线折叠得到，点恰好落在对角线上∴，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，即，在与中，，；90 （）①．证明：连接，正方形纸片沿直线折叠得到，∴，∵，，在与中，∴，，，；②由折叠得，∵，∴，90 ，，．（）由翻折可得，，，又，，∴，在中，，，，，，在中，，，∵，，∵，，，由（）可知，，∴为等腰直角三角形，，在与中，，90 ．5．综合与实践(1)操作判断：没有作图工具时，可以采用图1的方法得到的角．步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二：再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，交于点，连接．根据以上操作，图1中度数为的角是（只需写一个）；请你证明中的结论．(2)迁移探究：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．若正方形的边长为，求的长（结果保留小数点后一位，参考数据：(3)拓展应用：参照（2）的方式操作，如图3，将正方形纸片沿着平行于的折痕折叠，使点分别落在边上，其余步骤不变．若，请直接写出的值为．【答案】(1)①（答案不唯一）；②证明见解析；(2)0.5；(3)．【分析】（1）①根据题意即可得出答案；②连接，由第一次对折可得，由第二次折叠可得，，证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得解；（2）由(1)可得，由正方形的性质可得，，设，则，由勾股定理得出，从而得出，由第二次折叠可得，，，证明，得出，设，则90 ，，再由勾股定理计算即可得出答案；（3）设，则，由正方形的性质得出，，由第一次折叠可得：，从而得出，由第二次折叠可得：，，，，从而得到，，，推出，证明，得到，设，则，，，由勾股定理得出，即可得解．【解析】（1）解：①根据以上操作，图1中度数为的角是(答案不唯一)；②证明：如图，连接，由第一次对折可得，垂直平分，∴，                                                      由第二次折叠可得，，∴，∴为等边三角形，∴.∴；（2）解：正方形是特殊的矩形,由(1)可得，，∵四边形是正方形，∴，，设，则，90 在中，，解得，∴，由第二次折叠可得，，，∴，，在和中，，∴，∴，设，则，，∴，解得：，∴；（3）解：∵，∴设，则，∵四边形为正方形，∴，，由第一次折叠可得：，∴，由第二次折叠可得：，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，90 设，则，，，由勾股定理得：，∴，整理得：，∴，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．题型3：旋转问题6．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；结论：DM、MN的关系是：　　；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由见解析.90 【分析】（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形；（2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题；（3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论.【解析】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN，证明：∵在Rt△ADF中，M是AF的中点，∴DM=AF，∵M是AF的中点，N是EF的中点，∴MN=AE，MN∥AE，∵AE＝AF，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MAD＝∠ADM，90 ∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，∵MN∥AE，∴∠NMF＝∠EAF，∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，∴DM⊥MN，∴MN＝DM，MN⊥DM，故答案为MN＝DM，MN⊥DM；（3）解：结论仍然成立．理由：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，∵在Rt△ADF中，M是AF的中点，∴DM=AF，∵M是AF的中点，N是EF的中点，∴MN=AE，MN∥AE，∴MN＝DM，90 ∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，∴∠DOG＝∠ECG＝90°，∵NM∥AE，∴∠DOG＝∠DMN＝90°，∴MN⊥DM，MN＝DM．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质定理，找准角与角之间的关系是解题的关键.7．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．  (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明；(2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点且点恰好是的中点，连接，，若，，求；(3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)，，证明见详解(2)(3)【分析】（1）延长交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论；（2）过点作于点，证明，得出，证明90 ，由全等三角形的性质得出，，求出的长，由三角形面积公式可得出答案；（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．【解析】（1），．证明：如图1，延长交于点，  在正方形和正方形中，，，，在和中，，，，，，，；（2）过点作于点，  ，，90 ，，，又，，，，，，，，，，，，，，；（3）．证明：在上截取，连接，  正方形和正方形中，，，，，，，，平分，，又，，，90 ，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．题型4：最值问题8．问题提出  如图1，正方形的对角线与交于点，点在上，连接，作交于点，平分交于，探究与的数量关系．问题探究  （1）先将问题特殊化，如图2，当点与重合，点与重合时，直接写出与的数量关系；（2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系：问题拓展  （3）如图3，连接，若正方形的边长为，请直接写出的最小值为________（用含的式子表示）．  【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正方形的性质结合已知条件可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定得到，进而可得结论；（2）如图1，过E作于P，于H，证明四边形是正方形，则，90 ，证明可得是等腰直角三角形，，利用等腰三角形的判定，结合三角形的外角性质得到即可；（3）如图3，推导出，故要求的最小值，只需求的最小值，作点A关于的对称点，连接、、，由，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用勾股定理求解的长．【解析】解：（1），证明：如图2，∵四边形是正方形，∴，，∵点与重合，点与重合，平分，∴为等腰直角三角形，，∴，∵，，∴，∴；（2）．证明：如图1，过E作于P，于H，则，∴四边形是矩形，又，∴，∴,∴四边形是正方形，则，；∵，∴，∴，又，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，90 ∵平分，∴；∵，，∴，∴；  （3）如图3，连接，∵正方形的边长为，∴，由（2）知，∵，∴要求的最小值，只需求的最小值，作点A关于的对称点，连接、、，则，，∴，当、F、O共线时取等号，此时最小，最小值为的长，过O作于M，则，    在中，，，∴，90 ∴的最小值为，此时的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．9．【问题情境】(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．【继续探究】(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．【拓展提升】(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．【答案】(1)，(2)①结论：，，理由见解析，②(3)90 【分析】（1）由“”可证，可得结论．（2）①延长，交于点，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论．②过点作，交延长线于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．（3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可．【解析】（1）解：如图1中，延长交于．四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，，，，，即，，故答案为：，．（2）解：①结论：，．理由：如图，延长，交于点，90 四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，．②如图3，过点作，交延长线于点，，，，，，又，，，，，，．（3）解：如图4中，90 由（2）可知，，点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，，，，，，，，，的最小值为，故答案为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．题型5：取值范围问题10．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．90 ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．【解析】（1）①如图，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴,，∴，∵为的中点，∴，则，在中，90 ，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，证明：如图，延长交于点，连接，∵四边形和四边形都是正方形，∴，，∵落在对角线的延长线上，∴，∴，90 ∴在的延长线上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，设，，∴，，∵，90 ∴，即，∴；（2）如图，连接，∵∴当在上时，如图，此时最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，此时，90 综上所述，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．11．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点90 的直线分别交边、于点、，则直线(填“是”或“不是”)该图形的等积线．(3)在图3所示的“图形”中，，，．①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为．【答案】(1)①②③(2)是(3)①1；②；③【分析】（1）如图，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，由此可直接进行判断；（2）如图2，证明，根据割补法可得直线是图形的面积平分线；（3）①如图4，先计算图形的面积，可得出矩形的面积，由此可得出的长；②如图5，根据面积平分线可知梯形的面积为，根据面积公式列式可得的长，根据勾股定理可得的最大值；③如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，列不等式可得的取值．【解析】（1）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，∴直线是该“图形”等积线的是①②③；故答案为：①②③；（2）如图2，，，90 ，点是的中点，，在和中，，，，，，即，，即，直线是图形的等积线．故答案为：是；（3）①图形的面积，延长交于点，，若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图所示，矩形的面积，，90 ②如图，当与重合时，最大，过点作于，是图形的面积平分线，梯形的面积，即，，，，由勾股定理得：；即的最大值是；③在与水平方向的两条边、相交的等积线，如图，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于，则，即，，，故答案为：．90 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．题型6：定值问题12．已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．(1)如图1，当点E是中点时，______；(2)如图2．①求证：；②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)①见解析；②是，1【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可；（2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形，证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可．【解析】（1）解：如图1，连接，90 ∵菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∵E是中点，∴，即，∴，∴，∴，故答案为：；（2）①证明：如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形，∴，，∴，即，∵菱形，∴，∵，，，∴，∴；90 ②解：如图3，连接，∵菱形，∴，，由①可知，，∴，即，∵，，，∴，∴，同理，，，∴，∴的值为定值，且定值为1．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键．13．综合与实践定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；90 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．试说明：矩形是1阶奇妙矩形．  　　  　　  　　  （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）将代入，即可求解．（2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解．【解析】解：（1）当时，，故答案为：．（2）如图（2），连接，90   设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得设，则根据折叠，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1阶奇妙矩形．（3）用正方形纸片进行如下操作（如图）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接；第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．矩形是2阶奇妙矩形，  90 理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，  设，则根据折叠，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴当时，∴矩形是2阶奇妙矩形．（4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，  设，则根据折叠，可得，，90 在中，，∴，在中，∴整理得，∴四边形的边长为矩形的周长为，∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．题型7：特殊平行四边形与平面直角坐标系—存在性问题14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．(1)求直线的解析式；(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．90 【答案】(1)(2)(3)点N的坐标为或或【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答；（3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时．【解析】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，∴，∵绕点O顺时针旋转得，∴，∴，设直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为．（2）∵，∴，∵点E在线段上，∴设，∵轴，轴，90 ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为，把代入得：；把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵，∴，解得：．∴．（3）①当为矩形的边时，过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点，根据作图可得：四边形和四边形都是矩形，∵，∴，∵，∴，∵绕点O顺时针旋转得，∴，在和中，，∴，∴，∵点M为线段的中点，，∴，，即点N为中点，90 ∵，∴，设直线的解析式为，把点代入得：，∴直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立直线和直线的解析式为：，解得：，∴，②当为矩形的对角线时，过点M作轴于点P，过点M作轴于点N，∵，，∴轴，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴点C和点N重合，90 ∴，综上：点N的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．15．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．(1)求直线的解析式；(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)，90 (3)，，，【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式；（2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标；（3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标．【解析】（1）解：在中，令，得，，令，得，，，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，直线的解析式为；（2）解：由可得，，，设点是轴上一点，且满足，，90 ，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，记直线的解析式为，将代入可得，直线的解析式为，联立，解得，则，显然点为的中点，如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：，过点作于点，交轴于点，点即为所求，易得直线的解析式为：，则；（3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时，时，如图所示，过点作轴于点，根据题意可得，，则，则，90 易得，则，由，可得，在Rt中，，，，，同理可得，；时，如图所示，根据题意可得，，轴，；Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时，根据题意可得，，轴，又，可得；90 综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．16．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)90 (3)存在，的面积的最大值为【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解；（3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】（1）解：∵四边形．点，)，，，，矩形是由矩形旋转得到，，在中，，;故答案为：．（2）如图，过点作于，过点作于，连接，，，四边形是矩形，90 ，，，，()，，又，()，，，又，点与点重合，，，，点，点，点三点共线，  ，，，设在中，，，，，，，，；（3）解：依题意，，，，，当边上的高最大时，面积最大，如图，当轴于点时，则，此时面积最大，90 连接，，的面积的最大值为．【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．题型8：特殊平行四边形与平面直角坐标系—其他问题17．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q．(1)当时，点的坐标为______；90 (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______；(3)如图3，当矩形的顶点落在l上时，①求的长度；②求．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】本题主要考查一次函数与几何综合、一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．（1）根据旋转的得到的坐标即可；（2）根据在，然后利用勾股定理即可解答；（3）①根据已知条件得到，设，则，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根据即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴．由旋转的性质，可知：，∴当时，点的坐标为．故答案为．（2）解：在中，，∴，∴当点落在l上时，点P的坐标为．故答案为．（3）解：①当四边形的顶点落在l上时，在和中，，∴，90 ∴．设，则．在中，，∴，即，解得：，∴；②∵，∴．故答案为．18．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒．    (1)如图1，当点运动到O处时，线段长为____________；如图2，当点与点B重合时，点P坐标为____________，线段长为____________，(2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形，(3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围．【答案】(1)；；(2)见解析(3)或或90 【分析】（1）当点运动到O处时，直接利用勾股定理求解即可；当点与点B重合时，设，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，得出关于x的方程，解方程即可求解；（2）过P作于H，利用证明，得出，即可得证；（3）分①当P在上时，②P在上，当F、A重合；③P在上，F、B重合时，此时Q与C重合，三种情况讨论即可．【解析】（1）解：当点运动到O处时，，∵点D为，∴，∵，矩形，∴，，，∵，∴四边形是矩形，∴，∴；当点与点B重合时，设，则，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∵，，在中，，，，∴，∴，解得，90 ∴P的坐标为，，故答案为：；；；（2）证明：过P作于H，  则四边形是矩形，∴，又，∴，又，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：①当P在上时，当D的对应点F在上，  ∵四边形与矩形重叠部分是轴对称图形，∴，又，，∴，∴，在中，，，90 ∴，解得，当时，F在矩形内部，符合题意，∴当时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形；②当P在上，当F、A重合时，符合题意，如图  则，在中，，∴，解得；③当P在上，F、B重合时，此时Q与C重合，符合题意，如图，  则四边形是正方形，∴，∴，∴，综上，当或或时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形．【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，明确题意，合理分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．题型9：新定义题90 19．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可；（2）由题意，直线的解析式为，当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x90 的对称点落在y轴上，观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，由此可得结论；（3）如图2中，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，如图3中，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．求出这两种特殊位置的坐标，可得结论．【解析】（1）解∶点关于y轴的对称点为，∵直线l是经过且平行于x轴的一条直线，∴点关于直线l的对称点为；故答案为：（2）解∶如图，设直线的解析式为，∵点E的坐标为，∴，∴直线的解析式为，当点K关于y轴的对称点在x轴的正半轴上时，关于直线y=x的对称点落在y轴上，观察图象可知，当K点坐标为时，正好落在线段上，观察图象可知当时，在正方形内部，故答案为：；（3）解∶如图2，当点N与S重合，且在y轴上时，连接交直线于点K，交y轴于点J，连接90 ，设直线l交x轴于点D，交y轴于点C，∵，∴，∵和关于直线l对称，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴此时点，如图3，当点T与原点重合，N与重合时，和都与重合，此时．90 根据题意得：，观察图象得：满足条件的的纵坐标为．故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题．题型10：情景探究题20．如图，点分别在菱形的各边上．【初步认识】（1）如图，若，则四边形一定是（   ）A．梯形  　B．矩形  　　C．菱形   　　D．正方形【变式探究】    90 （2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形．【深入思考】（3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论．（4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式．【答案】（1）（2）证明见详解（3）且（4）或【分析】（1）连接，交与点，根据菱形的性质可得，，即证明四边形是平行四边形，再证明，，即可得到，故可选出．（2）根据菱形性质可得，易证，，从而得出，四边形是平行四边形，根据，得四边形是矩形．（3）根据已知条件可得，即，分两种情况和，，分开讨论做矩形，找到他们的公共解集即可．（4）当时，即；当，，和的取值范围均为，根据旋转的性质可得，综合两种情况即可．【解析】（1）解：连接，交与点，90 ∵四边形是菱形，∴，又∵，∴，又∵，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴四边形是矩形，故选．（2）证明：∵四边形是菱形，∴，，∴，又∵，，90 ∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∴，∴四边形是矩形．（3）∵，，∴，∴，①当四边形形成的矩形如图一样时，此时，此时满足的条件为，②当四边形形成的矩形如图一样时，，，由图可得最大为，点与点重合，最小时，点与点重合，点与点重合，对角线、交于点，，∵，，，，∴，90 带入数值得，解得，∴由勾股定理可得，∴当时，满足四边形为矩形，当时，，如图所示，∴此时四边形同时满足①②，∴故不能形成两个矩形，不满足题意，综上可得，当满足且时，可作出两个不同矩形．（4）由（3）可得①当时，即，②∵的取值范围为，根据旋转的性质可得的取值范围为，即，综上可得：或．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型11：其他动态问题、最值问题综合90 21．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、．  (1)如图1，求证：：(2)直线与相交于点G．①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形；②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．【解析】（1）解：证明：四边形是正方形，，，，，，，；（2）①证明：如图，设与相交于点．90   ，，，．，．，，，四边形是矩形，四边形是正方形，，，．又，，，矩形是正方形；②作交于点，作于点，    此时．90 ，，，最大时，最小，，，由（2）①可知，是等腰直角三角形，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22．在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中．(1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值．(2)若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发．①如图2，若四边形为菱形，求的值；②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是________．③如图4，在异于、所在矩形边上取、，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：________．【答案】(1)或(2)①7；②；③【分析】（1）连接交于点，根据矩形的性质，得到，分点在点上方和点在点下方两种情况进行讨论，即可求出的值；（2）①连接交于点，结合菱形的性质和矩形的性质证明，从而证出直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，利用勾股定理求出的值，求出90 的值，即可求解的值；②连接、，根据题意求出四边形的面积，证明四边形是平行四边形，推出，求出，再根据即可求出的值；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小，根据勾股定理即可求解．【解析】（1）解：连接交于点，如图所示∵四边形是矩形，，∴∵、分别是、中点∴，∵四边形是矩形∴∴当点在点上方时，当点在点下方时，∵速度均为每秒2个单位长度∴的值为或（2）解：①连接、，交于点，如图所示90 ∵四边形为菱形∴，，，∵，∴∵矩形∴在和中∵∴∴∴∴直线是线段的垂直平分线∴设，则在中，∴，解得：∴∴的值为7②连接、，如图所示90 ∵四边形的面积是矩形面积的∴四边形的面积为：∵是的垂直平分线∴，由①可得：，由题意可得：，∴∴同理可得：∴∴四边形是平行四边形∴由题意可得：∵∴，解得：∴当四边形的面积是矩形面积的，则的值是，故答案是：；③作关于的对称点为点，连接、，过点作的垂线，交延长线于点，如图所示90 由②可得：四边形是平行四边形∴四边形周长∵对称∴∴当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，此时四边形周长最小∵∴∵=∴四边形周长最小值为．故答案是：．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理、最值等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的性质，在解题中灵活运用．90