北师版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 （压轴专练）（八大题型）

第七章平行线的证明（压轴专练）（八大题型）题型1：平行线—M型（含锯齿型）1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．2．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．     经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，，．(1)当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．题型2：平行线—笔尖型3．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．56 （1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　　．4．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．题型3：平行线—“鸡翅”型5．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，  (1)求证：：56 (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　　．6．已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．题型4：平行线—“骨折”型7．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；56 （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．题型5：三角形的内角和与外角性质综合9．综合与探究如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现．(1)请你证明老师的发现；(2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？”①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明；②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）．10．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点．56 (1)设．①当时，求的度数；②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)；(2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：；②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由．题型6：平行线、三角形的内角和与外角性质综合11．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点．(1)当点O在四边形的内部时．①如图①，若，，，则_______°，(2)如图②，试探索和之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出和之间的数量关系．12．已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（A，B，C不与点O重合），连接，连接交射线于点D，设．56 (1)如图1，若，①的度数是_________；②当时，的度数是_________；当时，的度数是_________；(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求的值．题型7：几何中的存在，方程问题13．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，．(1)如图①，若，则与的数量关系为；(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；(3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由．14．已知，，直线交于点M，交于点N，（点E是线段上一点（不与M、N重合），P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、，平分交于点F，平分交直线于点G．(1)如图1，，，点G在线段上．①求的度数；②求的度数；56 (2)试探索与之间的数量关系；(3)已知．直线、交于点K，直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．题型8：全等三角形在本章的应用15．在通过构选全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：______；(2)如图2，，，．点D为的中点，求证：，(3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明．16．四边形,,点在上,点在上,连接,  (1)如图1,求证:;(2)如图2,点在上,连接,，,,求证：;(3)如图3,在（2）的条件下,过点作的平行线交于点,,,求的值．17．在中，，分别是和上的点，．过点作交于点，已知．56 (1)如图①，若，求证：；(2)在（1）的条件下，若，，求的长；(3)如图②，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．18．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．  (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______．(2)设，．①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．19．发现问题（1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则．探究问题（2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积．解决问题（3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形56 的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）56 第七章平行线的证明（压轴专练）（八大题型）题型1：平行线—M型（含锯齿型）1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【解析】（1）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，56 ，，，；故答案为：；（2）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．56 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．2．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．     经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，，．(1)当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．【解析】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：56 如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，56 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．题型2：平行线—笔尖型3．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　　．【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或【分析】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案；（2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案；②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．【解析】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，56 ∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，运动时间t＝＝3（秒），此时ME也运动了3秒，∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至＝9（秒）时，此时ME也运动了9秒，∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了（秒）∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意；综上所述，∠MEP的度数为60°或120°；②如图3，当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，56 当150°﹣20t＝120°时，t＝，当150°﹣20t＝60°时，t＝；当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝（不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合题意）故答案为：或．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题关键．4．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：56 如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，56 ∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝∠FEG−∠BEG＝∠BEF＝55°．【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.题型3：平行线—“鸡翅”型5．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，  (1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　　．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)56 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出；（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论．【解析】（1）在图①中，过点C作，则．  ∵，∴，∴．（2）在图2中，过点Q作，则．  ∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．56 ∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．6．已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得56 ，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．【解析】（1）证明：；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，，，56 AF平分FH平分设，．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．题型4：平行线—“骨折”型7．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．56 （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．【解析】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，56 ∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．56 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【解析】解：（1）过E作EMAB，56 ∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，  ∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；56 （3）过P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，  ∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．题型5：三角形的内角和与外角性质综合9．综合与探究如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现．56 (1)请你证明老师的发现；(2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？”①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明；②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）．【答案】(1)见解析(2)①，证明见解析；②，证明见解析．【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键．（1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明结论；（2）①根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可．【解析】（1）证明：∵，的平分线相交于点O，∴，，∴56 ．∴．（2）解：①如图2：，证明如下：∵平分，平分，∴，，∴，∴．②如图3：，证明如下：∵平分，平分，∴，，∴．∴．10．已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点．56 (1)设．①当时，求的度数；②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)；(2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：；②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由．【答案】(1)①；②见解析(2)①见解析；②是定值，【分析】（1）①利用三角形内角和定理即可解答；②分别以点为圆心，小于的长为半径画弧与点，连接，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，即作，连接，点E即为所求；（2）①利用三角形内角和定理及邻补角的定义结合角平分线的定义即可证明；②如图，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，，由折叠的性质得到，即可求出，由①得，即可得出结论．【解析】（1）①解：，，，，，；②解：如图，作，点E即为所求，56 由①可得，，，，，与β互补；（2）①证明：如图3，根据题意得：平分，平分，，，，，，；②是定值，如图，56 ，，由折叠的性质得到，，即，，由①得．【点睛】本题考查尺规作图-作角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．题型6：平行线、三角形的内角和与外角性质综合11．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点．(1)当点O在四边形的内部时．①如图①，若，，，则_______°，(2)如图②，试探索和之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出和之间的数量关系．【答案】(1)125(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（）由平行线可得，，再根据得出，根据角平分线的定义即可得出，56 ，进而得出答案；（）由平行线可得，，再根据角平分线的定义即可得出，，又由外角的性质得出答案；（）根据角平分线的定义得出，，再根据四边形的内角和得出，最后根据三角形的内角和得出答案即可；【解析】（1）解：∵，∴，，∵，，∴，，∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点，∴，，∴，故答案为：；（2）解：，理由如下：∵，∴，，∴，，∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点，∴，，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵的平分线交边于点，的平分线交直线于点，∴，，在四边形中，∵，56 ∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，三角形内角和定理应用，掌握以上知识点是解题的关键．12．已知，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（A，B，C不与点O重合），连接，连接交射线于点D，设．(1)如图1，若，①的度数是_________；②当时，的度数是_________；当时，的度数是_________；(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求的值．【答案】(1)①；②，(2)的值是或或【分析】（1）①先利用角的平分线的定义，得到，再根据两直线平行，内错角相等，等量代换求得的度数即可；②当时，根据①得，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合；当时，根据①得，，再根据两直线平行，同旁内角互补，求得，结合解答即可；（2）利用分类思想，分；三种情况解答即可．56 【解析】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；②当时，根据①得，∵，∴；∴，∴；当时，根据①得，，∵，∴；∴，∴，故答案为：①；②，；（2）①当时，如图，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；56 ②当点C在F左边，时，∵，平分，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴；③当点C在F右边，时，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴；∴；∵，∴，∴；综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或．56 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，垂直的定义，直角三角形的性质，角的平分线定义，分类思想．本题利用角平分线的定义，三角形内角和定理求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．题型7：几何中的存在，方程问题13．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，．(1)如图①，若，则与的数量关系为；(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；(3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，或，．【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，通过全等三角形的对应边相等，得到；（2）由（1）同理可得，得，，通过可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解析】（1）解：，理由如下：56 故答案为：（2）解：，理由如下又，故答案为：（3）解：①点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，，当时，，，，当，，满足，故，符合题意②点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，，，56 当时，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，，当，时，满足，故，符合题意；综上，，或，14．已知，，直线交于点M，交于点N，（点E是线段上一点（不与M、N重合），P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、，平分交于点F，平分交直线于点G．(1)如图1，，，点G在线段上．①求的度数；②求的度数；(2)试探索与之间的数量关系；(3)已知．直线、交于点K，直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)①  ②(2)或56 (3)或或【分析】（1）①过点作，然后利用平行线的性质得到，，然后根据垂直的定义得到，然后解题即可；②过点作，然后利用平行线的性质解题即可；（2）分为当点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况，利用平行线的性质解题即可；（3）分为，和三种情况，画图，利用平行线的性质和三角形的外角的性质解题即可．【解析】（1）解：①过点作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴；②过点作，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵平分交于点F，平分交直线于点G，∴，，∴；56 （2）解：如图，当点G在线段上时，过点作，∵，∴，∴，，过点作，∵，∴，∴，，∵平分交于点F，平分交直线于点G，∴，，∴；如图，当点G在射线上时，过点G作，∵，∴，则，∴；56 （3）如图，当时，∵，，∵由（2）得：，，又∵与平行，∴，∴旋转时间为：；如图，当时，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴旋转时间为；当时，，56 又∵，∴，∴旋转时间为；综上所述，满足条件的t的值为或或．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，掌握平行线的性质、三角形外角性质是解题的关键．题型8：全等三角形在本章的应用15．在通过构选全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：______；(2)如图2，，，．点D为的中点，求证：，(3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)见解析(3)．见解析56 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识．（1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解；（2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到；（3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到．【解析】（1）解：延长到点E．使，连接，∵是的中线，∴，又，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴，解得，故答案为：；（2）证明：延长至G，使，连接，则∵点D为的中点，∴，56 在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴．（3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，∵点F是边的中点，∴，∵，∴，∴，，56 ∴，∴，∵，∴，∵，∴．∴，，∵，∴，∴，∴．16．四边形,,点在上,点在上,连接,  (1)如图1,求证:;(2)如图2,点在上,连接,，,,求证：;(3)如图3,在（2）的条件下,过点作的平行线交于点,,,求的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】本题考查全等三角形判定及性质,三角形内角关系,正确做出辅助线是解出本题的关键．（1）由,得,利用三角形各内角关系即可得出结论;（2）利用三角形内角关系证明,即可得;（3）延长于点,使得,连接,可证明,利用全等三角形性质及条件再证明,继而得出答案．56 【解析】（1）解:证明:∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴．（2）解:证明:∵,,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,在和中,,∴,∴．（3）解:如图,延长于点,使得,连接,  ∴在和中,56 ,∴,∴,∵,∴,作于点,交的延长线于点,在和中,,∴,∴,,∵,,∴,在和中,,∴,∴,∴,∴,∴,∵,,,∴,∵,∴,在和中,56 ,∴,∴,∴的值为．17．在中，，分别是和上的点，．过点作交于点，已知．(1)如图①，若，求证：；(2)在（1）的条件下，若，，求的长；(3)如图②，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)成立，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出，设交于点，根据三角形内角定理得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据全等三角形的性质可得,，进而根据等面积法得出，即可求解；（3）设交于点，作垂足分别为，先根据证明，进而得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论．【解析】（1）证明：∵，∴，如图所示，设交于点，56 ∵∴又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴,，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）成立，如图所示，设交于点，作垂足分别为，∵∴∵∴，即又∵，56 ∴∴，∵∴，又，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，二次根式的性质化简，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．18．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连结．  (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______．(2)设，．①如图2，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点在直线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【答案】(1)(2)①；②，【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；根据全等三角形的判定证明是解题的关键．（1）结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解；（2）①结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得56 ，根据三角形的内角和定理即可求解；②当点在射线上时，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解；当点在射线的反向延长线上时，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角性质即可求解．【解析】（1）解：∵，，且，，∴；在和中，∴；∴；∴；故答案为：．（2）解：①；理由：∵，，且，，∴；在和中，∴；∴；∴，即，∴、存在的数量关系为．②当点在射线上时，如图1，56   ∵，，且，，∴；在和中，∴；∴；∴，即，∴、存在的数量关系为；当点在射线的反向延长线上时，如图2，  ∵，，且，，∴；在和中，56 ∴；∴；∴，即，∴、存在的数量关系为．19．发现问题（1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则．探究问题（2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积．解决问题（3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．（1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解；56 （2）先求得，再证明得到，，由求解即可；（3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可．【解析】解：（1）∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：7；（2）∵长方形的周长为36，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，即四边形的面积为48；（3）连接，如图，56 由题意知B、F关于对称，∴，∴，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，，∵，，由（2）可知，∴，∴，，∴，，∵，则，，即当最小时，多边形的面积为：，∴多边形的面积为144．56