北师版八年级数学上册 第二章 实数（压轴专练）（十二大题型）

第二章实数（压轴专练）（十二大题型）题型1：立方根的性质1．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝．2．已知，且与互为相反数，求x，y的值．题型2：立方根的实际应用3．一个正方体木块的体积是343cm3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是(　　)A．cm2B．cm2C．cm2D．cm24．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　）A．B．C．D．5．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M﹣N恰是某正整数的立方，则这样的数共个．题型3：算术平方根的性质6．若满足关系式，则．7．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值为．题型4：实数的小数点移动规律性问题8．阅读下列材料：，则．请根据上面的材料回答下列问题：．9．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．题型5：算术平方根有关的规律题10．观察下列各式：＝＝＝2，即＝2＝＝＝3，即＝3，那么＝．11．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值．题型6：无理数的估算12．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：(1)的小数部分是________，的小数部分是________．(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．(3)若，其中x是整数，且，求的值．13．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足(其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：(1)的“青一区间”为；的“青一区间”为；(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．题型7：程序框图问题14．有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（      ）A．4B．C．2D．15．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ）A．①②B．②④C．①④D．①③16．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法：①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是；③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值；正确的个数是（    ）  A．0B．1C．2D．3题型8：算术平方根的应用17．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：  (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为如图2，当时，拼成的大正方形的边长为如图3，当时，拼成的大正方形的边长为(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．18．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．题型9：实数与数轴19．如图，已知正方形的边长为．(1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上．(2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________．(3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值．20．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．2023年9月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A 对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！  任务：(1)在图3中画图确定表示的点M．  (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．  (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．  (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．   题型10：新定义题21．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：______，______；(2)计算：；(3)计算：．22．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：．(1)___________．(2)若，求的值；(3)①若，则的最小值为___________；②已知点，当最小时，求点的坐标．题型11：实数的运算23．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有，，，，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第个数（用表示）；(3)求的值． 24．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．(1)若正整数a使得，则a的值为_________．(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．①若为“三元数组”，且，则________；②若为“三元数组”，且，则________，________；③“三元数组”共有_________个．题型12：二次根式难点分析综合25．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：．26．【阅读材料】：“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．【解决问题】：已知如图1在中，，，．(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；(3)求中边上的高与边上的高的积． 27．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求：①；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(2)代数式中的取值范围是；(3)计算：．28．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知，求的最小值【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 第二章实数（压轴专练）（十二大题型）题型1：立方根的性质1．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝．【答案】0或﹣1或﹣【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.【解析】∵﹣2x﹣1＝0，∴＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．故答案为：0或﹣1或﹣．【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.2．已知，且与互为相反数，求x，y的值．【答案】，，或者，，或者，【分析】将等式变型为，再两边同时立方，得到，再采用因式分解法求出x的值，再根据相反数的定义求出y的值，问题随之解得．【解析】，，，，， ，∴，或者，或者，∴，或者，或者，∵与，∴，∴，∴，∴，当时，，当时，，当时，，即，，或者，，或者，．【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出，或者，或者，是解答本题的关键．题型2：立方根的实际应用3．一个正方体木块的体积是343cm3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是(　　)A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【答案】D【解析】由题意可得每个小正方体的体积为：cm3，∴每个小正方体的边长为：，∴每个小正方体的表面积为：cm3.故选D.点睛：（1）正方体的棱长是其体积的立方根；（2）正方体的表面积=棱长的平方的6倍.4．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为 ，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查立方根的实际应用；设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解．【解析】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，则，解得：∴小康制作的正方体礼盒的体积为：∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小∴小明制作的正方体礼盒的体积为∴小明制作的正方体礼盒的边长为∴小明制作的正方体礼盒的表面积为故选：C．5．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M﹣N恰是某正整数的立方，则这样的数共个．【答案】6．【分析】设两位数M=10a+b，则N=10b+a，并且a、b为正整数，且1≤a，b≤9，那么得到M﹣N=(10a+b)﹣(10b+a)=9(a﹣b)=c3，进一步得到c3＜100，所以c≤4，而且c3是9的倍数，所以c=3，然后由此得到a﹣b=3，接着就可以解决问题．【解析】设两位数M=10a+b，则N=10b+a，由a、b为正整数，且1≤a，b≤9，∴M﹣N=(10a+b)﹣(10b+a)=9(a﹣b)=c3，又c是某正整数，显然c3＜100，∴c≤4，而且c3是9的倍数，所以c=3，即a﹣b=3，∴满足条件的两位数有41、52、63、74、85、96共6个． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了数字问题，整数的混合运算，立方根的应用，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题．题型3：算术平方根的性质6．若满足关系式，则．【答案】201【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．【解析】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，，②×2-③×3得，y=4-m，将y=4-m代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案为：201．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．7．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值为．【答案】0【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可．【解析】及且x、y、z是两两不等的实数， 且，，，，与、均同号，或，又，，故、不同号，，，，故答案为0．【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键．题型4：实数的小数点移动规律性问题8．阅读下列材料：，则．请根据上面的材料回答下列问题：．【答案】54【分析】利用类比的思想，对比确定个位数是4的立方根，应该是个位数是4的数，再根据被开方数的前两位数或前三位数的范围，确定最终结果.【解析】，则，故答案为54.【点睛】本题考查的知识迁移能力，能够看懂题干是解题的关键.9．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______． （3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【解析】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．题型5：算术平方根有关的规律题10．观察下列各式：＝＝＝2，即＝2＝＝＝3，即＝3，那么＝． 【答案】n．【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可．【解析】解：＝n．故答案为：n．【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．11．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值．【答案】351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【解析】=1=3=6=10发现规律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案为：351【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．题型6：无理数的估算12．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：(1)的小数部分是________，的小数部分是________．(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．(3)若，其中x是整数，且，求的值．【答案】(1)，； (2)；(3)11．【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．【解析】（1）解：∵，∴的整数部分为3，∴的小数部分为，∵，∴，∴即，∴的整数部分为1，∴的小数部分为，故答案为：，；（2）解：∵，a是的整数部分，∴a=9，∵，∴的整数部分为1，∵b是的小数部分，∴，∴ ∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整数，且，∴x=9，y=，∴．【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．13．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足(其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：(1)的“青一区间”为；的“青一区间”为；(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；（2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；（3）利用非负性求出的值，再进行求解即可．【解析】（1）解：∵，∴的“青一区间”为；∵， ∴的“青一区间”为；故答案为：，；（2）∵无理数“青一区间”为，∴，∴，即，∵无理数的“青一区间”为，∴，∴，即，∴，∴，∵为正整数，∴或，当时，，当时，，∴的值为2或．（3）∵∴，即，∴，，∴，∵，∴的“青一区间”为．【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．题型7：程序框图问题 14．有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（      ）A．4B．C．2D．【答案】B【分析】依据运算程序进行计算即可．【解析】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．故选：B．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y．④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ）A．①②B．②④C．①④D．①③【答案】D【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解．【解析】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，即，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误；④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．16．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法：①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4；②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是；③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值；正确的个数是（    ）  A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，对各说法逐一判断即可．【解析】解：①若开始输入的数据为2，那么第1步操作后显示的结果是，第2步操作后显示的结果是，第3步操作后显示的结果是，第4步操作后显示的结果是， 第5步操作后显示的结果是，故说法①正确；②若开始输入的数据为，那么第1步操作后显示的结果是，第2步操作后显示的结果是，第3步操作后显示的结果是，第4步操作后显示的结果是，第5步操作后显示的结果是，第6步操作后显示的结果是，第7步操作后显示的结果是，……，由此可以发现，操作后结果是按照，，，每4步一个循环，∵，∴第2025步操作之后，显示的结果是，故说法②错误；③若开始输入的数据为，输入经过若干步操作后，得到的结果为16，则或或，∴或或．故说法③错误．综上，说法正确的只有1个．故选：B题型8：算术平方根的应用17．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：   (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为如图2，当时，拼成的大正方形的边长为如图3，当时，拼成的大正方形的边长为(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)；；(2)能，见解析(3)不能，见解析【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；（2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；（3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．【解析】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；当时，则正方形的面积为，边长为；当时，则正方形的面积为，边长为．（2）能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为 ∴解得：∴∴能裁出这样的长方形．（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为∴解得：∴又∵要求长方形的四周至少留出的边框因此加边框后的长至少要∵∴不能裁出这样的长方形．【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键．18．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的 的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴＞2.6，设＝2.6＋r，如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即≈2.65；（2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r，如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7，∴r≈0.006，即≈2.646；（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m∴设，如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，∴，∵r2较小故略去，得，∴，∵b＝n2＋m，∴，∴． 【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式．题型9：实数与数轴19．如图，已知正方形的边长为．(1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上．(2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________．(3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值．【答案】(1)图见详解(2)；(3)【分析】（1）根据勾股定理，即可找到相应的格点，即可得到答案；（2）根据数轴上点表示的数字及点到原点距离关系直接求解，即可得到答案；（3）根据夹逼法得到点D表示数字的范围得到a和b，即可得到答案．【解析】（1）解：根据勾股定理可得，，∴正方形在网格中的图如下图，；（2）解：∵点A与数重合，边在数轴上，边长为，∴点D表示的数为：；故答案为：； （3）解：∵，∴，∴，∵a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，∴，，∴．【点睛】本题考查勾股定理，数轴上数的表示，无理数小数部分及整数部分计算，解题的关键是找到点D代表的数字．20．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．2023年9月22日天气：晴无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！  任务：(1)在图3中画图确定表示的点M．   (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．  (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．  (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．  【答案】(1)见解析(2)见解析(3)不能，理由见解析(4)数轴见解析，【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答；（2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形；（3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可．【解析】（1）解：如图，点M即为所作；  （2）解：如图所示；  （3）解：不能．理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为，设面积为的长方形纸片的宽为，则长为，∴，解得：（舍去负值），∴长方形纸片的长为．∵，∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片；（4）解：在数轴上表示数和的点如图，  有数轴可知：．【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键．题型10：新定义题21．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：______，______；(2)计算：；(3)计算：．【答案】(1)，1(2)(3)【分析】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及正确理解题目所给的复数的定义．（1）把代入即可求解；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据计算即可；（3）先归纳出每4个数为一组，每组按照的顺序排列，即可进行计算．【解析】（1）解：∵，∴，，故答案为：，1；（2）解：，；（3）解：根据题意可得：∵i，，，，，，，……∴每4个数为一组，每组按照的顺序排列；， ∴．22．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：．(1)___________．(2)若，求的值；(3)①若，则的最小值为___________；②已知点，当最小时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或；(3)①；②点【分析】（1）找出中最大数即可求解；（2）根据题意分和两种情况讨论，即可求解；（3）①根据题意分和两种情况讨论，得到，据此即可求解；②根据题意得当时，才能取最小，据此即可求解．【解析】（1）解：∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：当时，∴或，当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去；当时，；∴或，当时，，满足条件；当时，，不满足条件，舍去；综上所述，或；（3）解：①当时，；当时，；综上所述，；∴的最小值为；②当时，才能取最小，∴或；当时，；当时，；而，因此时，最小，则点．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集、理解新定义列出不等式组是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．题型11：实数的运算23．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有，，， ，成立，且．(1)求，的值；(2)猜想第个数（用表示）；(3)求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；（2）先计算出即可发现，；（3）先推出据此求解即可．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵ ∴，∴，∴，∵，，，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了与实数运算有关的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．24．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．(1)若正整数a使得，则a的值为_________．(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．①若为“三元数组”，且，则________；②若为“三元数组”，且，则________，________；③“三元数组”共有_________个． 【答案】(1)120(2)①270；②，；③3【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；（2）①由可得，即可解答；②设，（，为正整数而且），由可得，进行求解即可；③设，，（，，为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解．【解析】（1）解：∵，∴，∴，故答案为：；（2）①∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：270，②∵，∴，∴，设，（，为正整数而且），∴，即，∵，∴，， ∴，，∴，；故答案为：120，1080；③设，，（，，为正整数而且），∵，∴，∴，又∵∴，，当时，，此时，，当，∴，∴，当时，同②，，，；当时，，，，；综上所述：“三元数组”共有3个．故答案为：3.【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．题型12：二次根式难点分析综合25．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为， 所以．(1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．【解析】（1）解：∵，且，∴；（2）解：∵∴，化简后两边同时平方得：，∴，经检验：是原方程的解；（3）解： ．26．【阅读材料】：“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．【解决问题】：已知如图1在中，，，．(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；(3)求中边上的高与边上的高的积．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式”计算即可；（2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，即可；（3）由三角形的面积公式求出边的高，再由（2）可得，再求出乘积即可．【解析】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，．（2）解：过作于，设，则，在中，，在中，，， 解得：．在中，，；（3）解：设三角形中边上的高为由（2）可知三角形中边上的高所以三角形中与边上的高的积为．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理等知识，等积法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．(1)已知：，求：①；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(2)代数式中的取值范围是；(3)计算：．【答案】(1)①，②；(2)；(3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．【解析】（1）解：①∵，，∴；故答案为：②由①得，已知，两式相加得到，，即，则，解得，经检验，是原方程的根，即方程的解是；（2）解：由二根式有意义的条件得到，解得，即的取值范围是，故答案为：；（3）解： ，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．28．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知，求的最小值【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知，求的最小值；(3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．【答案】(1)， (2)(3)【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可；（2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可；（3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可．【解析】（1）解：由题意可得：的线段和；（2）作点关于的对称点，连接，则，则的最小值即为的长，在中，由勾股定理得，，即的最小值为；故答案为：；（3），如图，，，，，，设， 则，当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，可得，，由勾股定理得，，的最大值为．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题．