北师版九年级数学 第三章 概率的进一步认识 知识归纳与题型突破（八类题型清单）

第三章概率的进一步认识知识归纳与题型突破（八类题型清单）01思维导图02知识速记一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；49 (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.03题型归纳题型一列举法求概率例题49 1．抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是（　　）A．B．C．D．巩固训练2．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（    ）A．B．C．D．3．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（    ）．A．B．C．D．题型二列表法或树状图法求概率例题4．下列说法正确的是（   ）A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是巩固训练5．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（       ）A．B．C．1D．6．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（    ）A．B．C．D．7．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（      ）A．摸出的2个球颜色相同B．摸出的2个球颜色不相同C．摸出的2个球中至少有1个红球D．摸出的2个球中至少有1个白球49 8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（   ）A．B．C．D．9．不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色小球共40个，它们除颜色外其余都相同，其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个．（1）求袋中蓝色球的个数．（2）求摸出1个球是黄色球的概率．（3）现再将2个黄色球放入布袋，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率．10．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样．(1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；(2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是．题型三游戏的公平性例题11．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．(1)小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）(2)你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色(3)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______．(4)在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明）巩固训练12．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：49 (1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．13．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？题型四几何概率例题14．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（    ）A．B．C．D．巩固训练15．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内．扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是（　）49 A．B．C．D．16．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　）A．B．C．D．题型五概率的应用例题17．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ）A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题巩固训练18．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ）A．有道理，池中大概有1200尾鱼B．无道理C．有道理，池中大概有7200尾鱼D．有道理，池中大概有1280尾鱼19．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D49 共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　；(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）题型六频率与概率的关系例题20．下列说法中，正确的是（    ）A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近巩固训练21．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（）A．的值一定是B．的值一定不是C．越大，的值越接近D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性22．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（    ）A．盖面朝下的频数为550B．该试验总次数是1000C．盖面朝下的频率为0.55D．盖面朝下的概率为0.523．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ）A．一定是B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性C．一定不是D．随着m的增大，越来越接近24．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（　　）A．P一定等于B．P一定不等于C．多抛一次，P更接近D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近题型七用频率估计概率例题49 25．在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（    ）A．12B．15C．18D．23巩固训练26．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率27．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200040005000800010000…摸到白球的次数m7491499298375160007501…摸到白球的频率0.74900.74950.74950.75020.7500.7501…根据试验结果可估算口袋中黑球有（    ）只．A．10B．20C．25D．3028．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（　　）49 A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．29．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s15030060090012601500摸到白球的频数n60126247369484609摸到白球的频率0.4000.420.412a0.4030.406(1)按表格数据格式，表中的______；(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；(3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）；(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值．30．实践任务：测量不规则草地面积（如图阴影图形）．方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如下：49 实验分组一组二组三组四组五组六组七组石子落在草地内的次数4067115149180209252投掷石子总次数120240360480600720840石子落在草地上的频率0.300.280.320.310.300.290.30数据分析：(1)通过各组实验可以发现，石子落在草地内的概率大约是________；(2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程．题型八概率在统计中的应用例题31．今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人；(2)补全条形统计图；(3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率．巩固训练32．成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．49 类别时长（单位：小时）人数A4B20CD8根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是°．(2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；(3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．33．第二届“巴蜀风韵·橙意邻水”文化旅游宣传周活动开幕式，2023年12月26日在邻水县邻州广场隆重举行，邻水人民欢迎各界朋友来邻水“观邻景、品邻果、赏邻韵”，共享发展良机，共谋开放平台，共创美好未来！邻水县有五个景区深受游客喜爱．一旅行社对以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向，在某小区居民做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，，并补全条形统计图：(2)若该小区有居民1200人，试估计去地旅游的居民约有多少人？(3)小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从四个景区中，任选两个去旅游，求选到49 两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）34．成都大运会闭幕式上，最后出场的“花花”流下的两滴“泪水”表达了不舍的情绪，让人非常感动．花花作为成都大熊猫繁育研究基地的“顶流明星”，无数游客前去成都大熊猫繁育研究基地看花花，园区采用单循环的观赏模式，每名左右游客看熊猫时间3分钟，保证不会有人群杂音、闪光灯等干扰到幼年熊猫的休息．某中学为了解学生对花花的喜爱程度，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为______人，扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为______；(2)若该校共有名学生，请你估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数；(3)本次调查中，“很喜欢”的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人前往成都大熊猫繁育研究基地观看花花，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．35．4月24日是中国航天日，为激发青少年热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：学生成绩统计表七年级八年级49 平均数7.5中位数8众数7合格率根据以上信息，解答下列问题：(1)统计表中________，________，________，________；(2)若该校八年级有600名学生，则该校八年级学生成绩合格的人数为________；(3)已知八年级获得10分的3名学生分别是一男两女，从中随机抽取两名学生去市里参加比赛，恰好是一男一女的概率为________.36．2024年3月22日至28日是第三十二届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量频数分布表用水量频数（户）49105249 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6根据以上信息，回答下列问题：(1)__________；(2)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；(3)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．49 第三章概率的进一步认识知识归纳与题型突破（八类题型清单）01思维导图02知识速记一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；49 (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.03题型归纳题型一列举法求概率例题49 1．抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】有正正，正反，反正，反反四种结果，所以P（一正一反）=，故选C．巩固训练2．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：这里的无理数有，，共2个，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．3．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】列举出所有情况，找出和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解析】从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，有10组：1＋2，1＋3，1＋4，1＋5，2＋3，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋5，和为偶数的有4组：1＋3，1＋5，2＋4，3＋5，∴和为偶数的概率为，故选：C．【点睛】本题考查列举法求概率，采用列举法求概率解题的关键是找出所有存在的情况，涉及到概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．题型二列表法或树状图法求概率例题4．下列说法正确的是（   ）49 A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是【答案】D【分析】根据概率公式可对A、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断，根据概率的意义可对C进行判断．【解析】解：A、摸到红球的概率＝，所以A选项错误；B、画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝，故B选项错误；C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误；D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．巩固训练5．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（       ）A．B．C．1D．【答案】D49 【分析】根据题意，列出表格，可得4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，再根据概率公式计算，即可求解．【解析】解：根据题意，列出表格，如下：黑白黑黑黑白黑白黑白白白一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，∴两次都摸到白球的概率是．故选：D【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．6．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，三人各抽一次（抽后放回），甲乙丙三人都是从3张卡片抽一张，画出树状图即可得出答案．【解析】设甲的生肖为A，乙的生肖为B，丙的生肖为C，梳妆图如下：共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1种，所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率=，故选：D．【点睛】本题考查了画梳妆图或列表求概率，根据题意画出梳妆图是解决本题的关键．49 7．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（      ）A．摸出的2个球颜色相同B．摸出的2个球颜色不相同C．摸出的2个球中至少有1个红球D．摸出的2个球中至少有1个白球【答案】D【分析】先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．【解析】解：画树状图如下，所有等可能的结果共6种，摸出2个球颜色相同的概率为：；摸出2个球颜色不相同的概率为：；摸出2个球中至少有1个红球的概率为：；摸出2个球中至少有1个白球的概率为：；所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，故选：D．【点睛】本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】将四张小图片分别记作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】解：将四张小图片分别记作A、B、C、DABCDAABACAD49 BBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12种情形，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为故选B【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色小球共40个，它们除颜色外其余都相同，其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个．（1）求袋中蓝色球的个数．（2）求摸出1个球是黄色球的概率．（3）现再将2个黄色球放入布袋，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率．【答案】（1）袋中蓝色球的个数是14个；（2）摸出1个球是黄色球的概率；（3）摸出1个球是黄色球的概率是【分析】（1）蓝色球的个数=（40-红色球20个+8）÷2；（2）根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；（3）先求出黄色球的个数，再除以全部情况的总数，即可求解．【解析】解：（1）（40-20+8）÷2=14（个）．答：袋中蓝色球的个数是14个；（2）（20-14）÷40=．故摸出1个球是黄色球的概率；（3）（20-14+2）÷（40+2）=．故摸出1个球是黄色球的概率是．49 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．10．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样．(1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；(2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，可列表如下，然后计算求解即可；（2）由题意知，第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，根据概率的计算公式求解即可．【解析】（1）解：由题意知，可列表如下花生豆沙芝麻芝麻花生（花生，豆沙）（花生，芝麻）（花生，芝麻）豆沙（豆沙，花生）（豆沙，芝麻）（豆沙，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）芝麻（芝麻，花生）（芝麻，豆沙）（芝麻，芝麻）吃的两个汤圆共有12种等可能的情况，都是芝麻馅的汤圆共有4种情况∴吃的两个汤圆中，都是芝麻馅的概率为．（2）解：第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，∴是芝麻馅的概率为故答案为：．【点睛】本题考查了列举法求概率，概率的计算公式．解题的关键在于熟练掌握求概率的方法．题型三游戏的公平性例题49 11．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．(1)小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）(2)你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色(3)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______．(4)在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明）【答案】(1)随机事件，不可能事件(2)白(3)4(4)公平；理由见解析【分析】（1）根据随机事件，不可能事件的含义可得答案；（2）由，可得摸到白色球的机会最大；（3）利用概率公式建立方程求解即可；（4）分别求解小颖获胜与小英获胜的概率即可．【解析】（1）解：小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件；（2）解：∵∴摸到白色小球的可能性最大；∴小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是白色；（3）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，∴，解得：，经检验符合题意；（4）解：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，∴摸到红球，小颖获胜的概率为，小英获胜的概率为；∴这个游戏对双方公平；49 【点睛】本题考查的是事件的分类与判定，简单随机事件的概率的计算，已知概率求解数量，分式方程的解法，理解题意是关键.巩固训练12．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：(1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______；(2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不公平，理由见解析【分析】本题考查概率公式，游戏的公平性，三角形的三边关系，（1）直接根据概率公式求解即可；（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，再根据概率公式求解即可；（3）因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，再求出小明与小华参加的概率，继而可得答案．【解析】（1）解：（1）转动转盘一次，转出的数字为3的概率是，故答案为：；（2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，49 所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是，故答案为：；（3）这个游戏不公平，理由如下：因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，所以小明参加的概率为，小华参加的概率为，因为，所以这个游戏不公平．13．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人．(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？【答案】(1)(2)这个游戏不公平【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求出即可；（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论．【解析】（1）解：共10名志愿者，女生4人，49 选到女生的概率是：；故答案为：．（2）解：根据题意画图如下：共有12种情况，和为偶数的情况有4种，牌面数字之和为偶数的概率是，甲参加的概率是，乙参加的概率是，这个游戏不公平．题型四几何概率例题14．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．【解析】解：A、小球落在阴影部分的概率为；B、小球落在阴影部分的概率为；C、小球落在阴影部分的概率为；D、小球落在阴影部分的概率为；小球落在阴影部分的概率最小的是A，故选：A．【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．巩固训练15．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内．扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是（　）49 A．B．C．D．【答案】C【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答.【解析】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于.故选C【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．16．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：小球落在4号地砖上的概率就是4号地砖的面积与总面积的比值．【解析】解：如图，49 由“七巧板”地砖的特点设，，，∴4号地砖的面积为，整个正方形的面积为，∴小球停在4号地砖上的概率是，故选D题型五概率的应用例题17．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ）A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题【答案】D【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．【解析】解：①若两次求助都用在第1题，假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；②若在第1第2题各用一次求助，49 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，因此第一题答对的概率为：，第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，故此时该选手通关的概率为：；③两次求助都用在第2题，画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，  共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.∵，∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，故选：D．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．巩固训练18．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ）A．有道理，池中大概有1200尾鱼B．无道理C．有道理，池中大概有7200尾鱼D．有道理，池中大概有1280尾鱼【答案】A【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．49 【解析】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解；∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；故选A．【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．19．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　；(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）【答案】(1)(2)(3)，建议小明在第一题使用“求助”【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；（3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答案．【解析】（1）解：∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：，故答案为；（2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：49 ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：；（3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C），画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1，所以他顺利通关的概率=，若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为，而＞，所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．题型六频率与概率的关系例题20．下列说法中，正确的是（    ）A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近【答案】D【分析】根据随机事件和利用频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解析】A、随机事件的发生具有偶然性，但反复试验也有规律可循，故本选项错误；B、随机事件的发生具有规律性，第一次试验不一定代表最后结果，故本选项错误；49 C、试验的次数越少，频率的分布越不集中，不一定稳定在一个数附近，故本选项错误；D、试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近，故本选项正确；故选：D．【点睛】此题考查了随机事件和利用频率估计概率，熟练掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．巩固训练21．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（）A．的值一定是B．的值一定不是C．越大，的值越接近D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性【答案】D【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；故选：．【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．22．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（    ）A．盖面朝下的频数为550B．该试验总次数是1000C．盖面朝下的频率为0.55D．盖面朝下的概率为0.5【答案】D【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．【解析】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确；B、该试验总次数是1000，此选项正确；C、盖面朝下的频率是，此选项正确；D、1000次试验的盖面朝下的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误；故选：D．49 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．23．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ）A．一定是B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性C．一定不是D．随着m的增大，越来越接近【答案】B【分析】利用频率估计概率求解即可．【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性，故选：B．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.24．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（　　）A．P一定等于B．P一定不等于C．多抛一次，P更接近D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近【答案】D【分析】根据频率与概率的关系作答．【解析】解：硬币只有正反两面，投掷时正面朝上的概率为根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，稳定在附近故选：D【点睛】本题考查了利用频率估计概率.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．题型七用频率估计概率例题49 25．在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（    ）A．12B．15C．18D．23【答案】A【分析】由题意可设盒子中红球的个数x，则盒子中球的总个数x，摸到红球的频率稳定在30%左右，根据频率与概率的关系可得出摸到红球的概率为30%，再根据概率的计算公式计算即可．【解析】解：设盒子中红球的个数x，根据题意，得：解得x=12，所以盒子中红球的个数是12，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率以及概率求法的运用，利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=；频率与概率的关系生：一般地，在大量的重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p．巩固训练26．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率【答案】C49 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意；D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．27．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200040005000800010000…摸到白球的次数m7491499298375160007501…摸到白球的频率0.74900.74950.74950.75020.7500.7501…根据试验结果可估算口袋中黑球有（    ）只．A．10B．20C．25D．30【答案】A【分析】本题考查了用频率估计概率．先根据统计表中第三行的数据求出频率的稳定值，用频率估计概率可得摸到白球的概率，利用概率公式即可求得．【解析】解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；∴摸到白球的概率为0.75，所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）．故选：A．28．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（　　）49 A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．【答案】C【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：A、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．29．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s15030060090012601500摸到白球的频数n6012624736948460949 摸到白球的频率0.4000.420.412a0.4030.406(1)按表格数据格式，表中的______；(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；(3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）；(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值．【答案】(1)0.41(2)0.4(3)0.6(4)15【分析】本题考查了利用大量重复性实验得到的频率可以估计事件发生的概率．解题的关键是根据摸到白球的频率得到相应的等量关系．（1）直接根据摸球的次数×摸到白球的频率计算即可；（2）直接根据表中摸到白球的频率这一数据观察，看在何数附近摆动即可；（3）先根据摸到白球的频率估计摸到白球的概率，再计算摸到红球的概率；（4）用白球的个数÷摸到白球的频率求出球的总数，再减去白球的个数就得到红球的个数．【解析】（1）解：，故答案为：0.41；（2）通过表中的数据可以看出，随着实验次数的增多，摸到白球的频率越来越接近0.400，所以当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，故答案为：0.4；（3）∵当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，∴根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为0.4，∵袋子中只有白球，红球两种不同颜色的球．∴摸到红球的概率为，故答案为：0.6；（4）∵白球一共有10个，且摸到白球的频率是0.4．∴袋中球的总个数为．∴袋中红球的个数为．49 即口袋中有红球15个．30．实践任务：测量不规则草地面积（如图阴影图形）．方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如下：实验分组一组二组三组四组五组六组七组石子落在草地内的次数4067115149180209252投掷石子总次数120240360480600720840石子落在草地上的频率0.300.280.320.310.300.290.30数据分析：(1)通过各组实验可以发现，石子落在草地内的概率大约是________；(2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程．【答案】(1)(2)；见解析【分析】本题主要考查了频率估计概率，理解频率和概率的定义是解题关键．（1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率；（2）根据概率公式估算出草地面积即可．【解析】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是；（2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是，∴草地的面积大约为：．题型八概率在统计中的应用例题49 31．今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人；(2)补全条形统计图；(3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率．【答案】(1)，(2)见解析(3)【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用乘以的人数占抽取的人数的百分比，即可得扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数；根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案.（2）求出B．比较了解的人数，补全条形统计图即可.（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及和两名同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解析】（1）抽取的学生人数为(人),∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；估计全校非常了解交通法规的约有(人)，故答案为:，；（2）B．比较了解的人数为(人)，49 补全条形统计图如图所示.学生对交通法规了解情况条形统计图（3）画树状图如下：共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种,∴和两名同学同时被选中的概率为．巩固训练32．成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．类别时长（单位：小时）人数A4B20CD849 根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是°．(2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；(3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．【答案】(1)50人；144．(2)432人．(3)【分析】本题主要考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．（1）用D类的人数除以其对应的百分比即可解答；用B类所占的比例乘以即可求得B类扇形所占的圆心角；（2）先求出C类的人数，然后用学生数乘以C类所占的比例即可解答；（3）先列表求得所有等可能结果数和两名都是女生的结果数，然后运用概率公式求解即可；【解析】（1）解：本次调查的学生总人数为（人）．扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是．故答案为：50人；144．（2）解：调查的C类学生数有：（人）．∴估计类别为C的学生人数约432人．（3）解：根据题意列表如下：男男女女49 男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种，∴恰好抽到两名女生的概率为．33．第二届“巴蜀风韵·橙意邻水”文化旅游宣传周活动开幕式，2023年12月26日在邻水县邻州广场隆重举行，邻水人民欢迎各界朋友来邻水“观邻景、品邻果、赏邻韵”，共享发展良机，共谋开放平台，共创美好未来！邻水县有五个景区深受游客喜爱．一旅行社对以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向，在某小区居民做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，，并补全条形统计图：(2)若该小区有居民1200人，试估计去地旅游的居民约有多少人？(3)小军同学已去过地旅游，暑假期间计划与父母从四个景区中，任选两个去旅游，求选到两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）【答案】(1)，，补全图形见解析(2)人(3)【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）由去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，即可解决问题；49 （2）由该小区有居民人数乘以去B地旅游的居民所占的百分比即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选到A，C两个景区的结果由2种，再根据概率公式求解即可．【解析】（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是，则，即，景区人数为人，补全条形图如下：故答案为：，；（2）估计去地旅游的居民约有；（3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到两个景区的有2种结果，所以选到两个景区的概率为．34．成都大运会闭幕式上，最后出场的“花花”流下的两滴“泪水”表达了不舍的情绪，让人非常感动．花花作为成都大熊猫繁育研究基地的“顶流明星”，无数游客前去成都大熊猫繁育研究基地看花花，园区采用单循环的观赏模式，每名左右游客看熊猫时间3分钟，保证不会有人群杂音、闪光灯等干扰到幼年熊猫的休息．某中学为了解学生对花花的喜爱程度，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．49 根据统计图信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为______人，扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为______；(2)若该校共有名学生，请你估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数；(3)本次调查中，“很喜欢”的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人前往成都大熊猫繁育研究基地观看花花，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)，(2)人(3)【分析】（1）由题意知，本次调查的学生总人数为（人），扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可；（3）记男生为，女生分别为，依题意画树状图，然后求概率即可．【解析】（1）解：由题意知，本次调查的学生总人数为（人），扇形统计图中“喜欢”对应的扇形圆心角度数为，故答案为：，；（2）解：∵，∴名学生中估计对花花的喜爱程度为“一般”的学生人数人；（3）解：记男生为，女生分别为，依题意画树状图如下；49 ∴共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生共有6种等可能的结果，∵，∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握条形统计图、扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键．35．4月24日是中国航天日，为激发青少年热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理如图表：学生成绩统计表七年级八年级平均数7.5中位数8众数7合格率根据以上信息，解答下列问题：49 (1)统计表中________，________，________，________；(2)若该校八年级有600名学生，则该校八年级学生成绩合格的人数为________；(3)已知八年级获得10分的3名学生分别是一男两女，从中随机抽取两名学生去市里参加比赛，恰好是一男一女的概率为________.【答案】(1)；；；(2)510人(3)【分析】（1）利用平均数的定义求得，根据众数和合格率的定义，结合扇形统计图中的数据，可以求得和的值，根据中位数的定义和直方图可以求得的值；（2）根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；（3）画出树状图，利用概率公式解答即可．【解析】（1）解：由扇形统计图可知，8分的人数最多，所以根据题意，6分及6分以上为合格，则由频数分布直方图可得，八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，第10位和第11位成绩分别为7、8，故中位数是故答案为：；；；（2）由统计表可知，八年级合格率为（人）故答案为：510（3）画树状图为：共有6种等可能的结果数，恰好是一男一女的有4种情况，所以恰好是一男一女的概率为49 故答案为：【点睛】本题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，算术平均数，中位数，众数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．36．2024年3月22日至28日是第三十二届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量频数分布表用水量频数（户）491052信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.149 中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6根据以上信息，回答下列问题：(1)__________；(2)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；(3)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．【答案】(1)(2)90户(3)【分析】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等：（1）根据中位数的定义进行计算即可；（2）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解析】（1）解：∵随机抽取了30户居民，中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．∴乙小区3月份用水量的中位数，故答案为：；（2）解：（户），即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户；（3）解：画树状图如图：49 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，∴抽取的两名同学都是男生的概率为．49