北师版九年级数学 第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单）

第二章一元二次方程知识归纳与题型突破（八类题型清单）01思维导图02知识速记一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系48 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：　　(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；　　三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；　　　答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.03题型归纳题型一　一元二次方程的概念及求参数例题1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ）48 A．B．C．D．巩固训练2．把化成一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．3．关于的方程是一元二次方程，则的值是（　　）A．B．C．D．为任意实数4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ）A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0题型二　一元二次方程的根及其应用例题5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是．巩固训练6．若m是方程的一个根，则代数式的值是．7．若是关于的方程的解，则的值为．题型三一元二次方程的解法例题8．一元二次方程的实数根为（    ）A．B．C．D．巩固训练9．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数10．方程的解为（    ）A．B．C．D．11．形如的方程，下列说法错误的是（    ）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ）A．化为B．化为C．化为D．化为13．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）48 A．B．C．D．14．方程的根的个数是（      ）A．1B．2C．3D．415．若实数，满足，则的值为（    ）A．5B．2.5C．2.5或D．5或16．一元二次方程的根是．17．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    )A．x1＝1，x2＝3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝218．用求根公式解方程，正确的是（　　）A．B．C．D．19．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ）A．B．C．D．20．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    )A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法21．用适当方法解下列方程：(1)；(2)；48 (3)；(4)；(5)；(6)．22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：解：原方程可以化为：第一步两边同时除以得：第二步系数化为1，得：第三步任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．题型四一元二次方程的代数应用例题23．代数式的最小值为（    ）．A．B．0C．3D．5巩固训练24．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝025．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ）A．2B．C．D．26．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ）A．≥B．＞C．≤D．＜48 27．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是．28．如果代数式与的值相等，那么x=．29．已知则的值=30．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为．题型五一元二次方程的几何应用例题31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ）A．11B．21C．11或21D．11或1巩固训练32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是．33．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为．34．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．  (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；(2)当t为几秒时，的长度等于；(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．题型六一元二次方程的根的判别式例题35．关于x的一元二次方程x2﹣8x+3＝0的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根B．无实数根48 C．有两个不相等的实数根D．无法确定巩固训练36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）A．B．C．且D．且37．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是．38．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断39．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有另一个根是D．有两个相等的实数根40．已知：关于x的一元二次方程．(1)当m取何值时，此方程没有实数根；(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．41．已知关于x的方程．(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；(2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长．42．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ）A．若，则B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根D．若m是方程的一个实数根，则43．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ）A．若，，则B．若，，则48 C．若，，则D．若，，则题型七一元二次方程的根与系数的关系例题44．方程的根是（   ）A．B．C．D．巩固训练45．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　）A．B．C．D．46．已知是方程的两个根，则的值为（     ）A．B．C．D．47．设、是一元二次方程的两个根，且，则．48．若是关于的一元二次方程（为正整数）的两根，则的值为．49．关于x的方程，的两个实数根为(1)若等腰三角形，其中两边的长度为且另一边的边长为6，求的周长；(2)若求m的值题型八一元二次方程的实际应用例题50．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（    ）A．B．C．D．巩固训练51．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　）48 A．B．C．D．52．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ）A．B．C．D．53．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题：(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．54．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．(1)甲运动后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？48 55．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同．(1)求该款汉服销售量的年平均增长率；(2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？56．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．东北育才学校生态园年春季规划素材一市场调研，两种型号的劳动工具价格．（1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元．（2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．素材二计划购买，两种型号的劳动工具（1），两种型号的劳动工具共个．（2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．素材三新规划一块矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，  问题解决任务一求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．求购买这批劳动工具的最少费用．48 任务二任务三设苗圃的一边长为．（1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________；（2）若苗圃的面积为，求的值；（3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）48 第二章一元二次方程知识归纳与题型突破（八类题型清单）01思维导图02知识速记一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解48 法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：　　(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；　　三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；　　　答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.03题型归纳题型一　一元二次方程的概念及求参数例题48 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解析】A.a=0时，是一元一次方程，故A错误；B.经化简，方程是一元一次方程，故B错误；C.经化简，方程为一元三次方程，故C错误；D.方程为一元二次方程，故D正确；故选D.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的判定.巩固训练2．把化成一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．【答案】30【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可．【解析】解：，，去括号：，移项合并同类项：，∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：；故答案为：；；；．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键．3．关于的方程是一元二次方程，则的值是（　　）A．B．C．D．为任意实数【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得且a+2≠0，求解即可．48 【解析】解：由题意，得且a+2≠0，解得：a=2，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ）A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0【答案】B【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．故选B．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．题型二　一元二次方程的根及其应用例题5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是．【答案】【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键．【解析】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，∴将代入方程得：，解得：，故答案为：．巩固训练6．若m是方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．48 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：是方程的一个根，，，．故答案为：．7．若是关于的方程的解，则的值为．【答案】【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键．【解析】解：∵是关于的方程的解，∴，∴，故答案为：．题型三一元二次方程的解法例题8．一元二次方程的实数根为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．【解析】，48 两边同除以得：，利用直接开方法得：，解得，故选：A．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．巩固训练9．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．10．方程的解为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．【解析】解：移项，得，两边直接开平方，得，即或，解得：，．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．11．形如的方程，下列说法错误的是（    ）48 A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为【答案】D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ）A．化为B．化为C．化为D．化为【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】故B错误．且ACD选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．13．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　）A．48 B．C．D．【答案】C【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．14．方程的根的个数是（      ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．【解析】解：∵∴=24，∴x=±2，∴方程的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．15．若实数，满足，则的值为（    ）A．5B．2.5C．2.5或D．5或【答案】A【解析】略48 16．一元二次方程的根是．【答案】，【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，x﹣2＝0或2x﹣5＝0，所以，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键．17．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    )A．x1＝1，x2＝3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵，∴，∴，∴x-4=0或x+2=0，∴．故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．18．用求根公式解方程，正确的是（　　）A．B．48 C．D．【答案】D【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可．【解析】解：，则一般式是，则，，，那么，把，，都代入中，得，故选：D．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键．19．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．20．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    )A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法【答案】D【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法.④2(5x48 －1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法.所以选D.21．用适当方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解为：，；48 （3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解为：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解为：，【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：解：原方程可以化为：第一步两边同时除以得：第二步系数化为1，得：第三步任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．【答案】(1)二48 (2)或，过程见解析【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．（1）第二步不符合等式的性质；（2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误，故答案为：二；（2）解：或，解得：或．题型四一元二次方程的代数应用例题23．代数式的最小值为（    ）．A．B．0C．3D．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式∵，∴即代数式，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．巩固训练48 24．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.25．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ）A．2B．C．D．【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案．【解析】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，，∴，，∴，故选：D．26．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ）A．≥48 B．＞C．≤D．＜【答案】A【解析】因为,且a＜0,所以≥,故选A.27．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是．【答案】【分析】根据配方法可进行求解．【解析】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），若x取任何实数，A的值都不是负数，∴（3）≥0，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．28．如果代数式与的值相等，那么x=．【答案】2【分析】由题可得，整理得到即解出即可．【解析】解：根据题意得故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．29．已知则的值=【答案】或48 【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可．【解析】解：依题意得a,b是方程的解，解得：，当时，a+b=，当时，a+b=，当时，，故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．30．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为．【答案】或/或【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．【解析】解：一元二次方程的解为，，，解得，一元二次方程可化为，，，解得，．一元二次方程的解为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．题型五一元二次方程的几何应用例题48 31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ）A．11B．21C．11或21D．11或1【答案】A【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【解析】解：由可得，∴或，解得x＝1或x＝11，当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．巩固训练32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是．【答案】直角三角形【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【解析】解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∵，∴的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．48 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．33．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为．【答案】-5或或【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值．【解析】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长，当a=2时，即x=2，代入，得：，解得：k=-5，或k=1（舍），当a=3时，即x=3，代入，得：，解得：k=，或k=，故答案为：-5或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．34．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．  (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；(2)当t为几秒时，的长度等于；(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t48 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)存在，【分析】（1）根据路程=速度×时间，，，结合已知解答即可．（2）根据勾股定理，列式计算即可．（3）根据列式计算即可．【解析】（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．∴，，∴，故答案为：，．（2）∵，，，∴，整理，得，解得，当运动时间为或运动时间为时，的长度等于．（3）∵，，，∴，∴，整理，得，48 解得（舍去），故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键．题型六一元二次方程的根的判别式例题35．关于x的一元二次方程x2﹣8x+3＝0的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式即可求出答案．【解析】解：由题意可知：△＝64﹣4×1×3＝52＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的情况，比较简单，需要牢记根的判别式的取值与方程根的个数的关系.巩固训练36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）A．B．C．且D．且【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式，结合一元二次方程的定义计算出答案即可．【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得∵方程是一元二次方程48 ∴，∴且，故选：D．37．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数．【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根，∴，且，∵，，，∴，即，解得且，∴其中可取的最大整数是，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点．38．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【答案】A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，48 ∴方程没有实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．39．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有另一个根是D．有两个相等的实数根【答案】A【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可．【解析】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，代入得：，解得：，∵核对时发现所抄的比原方程的值小1，故原方程中，原方程为，∴∴原方程的根的情况是不存在实数根，故选：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键．40．已知：关于x的一元二次方程．(1)当m取何值时，此方程没有实数根；(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键．48 （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答；（2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值．【解析】（1）解：关于x的一元二次方程，可得，当，即时，此方程没有实数根；（2）解：∵有两个实数根，∴，∴；∴m的最小整数值为．41．已知关于x的方程．(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；(2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长．【答案】(1)见详解(2)的周长为11或10．【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质.（1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明．（2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长．【解析】（1）证明：，∵，即，∴无论取任何实数，方程总有实数根．48 （2）当腰长为4时，把代入，得，，解得；方程化为，则其另一个解为，此时的周长为．当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根，∴，∴，此时方程化为，即,解得：，此时的周长为．综上所述，的周长为11或10．42．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ）A．若，则B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根D．若m是方程的一个实数根，则【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可．【解析】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意；B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有48 成立错误，故此选项符合题意；C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意；D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意；故选：B．43．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键．由题意得，，根据、判定出、的符号，再由得，代入即可确定判别式的符号，得出的值，从而确定答案．【解析】解：A、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意；B、∵，，∴，，即，，∴∵，∴，∵，∴，故此选项不符合题意；C、∵，，，，即，，，而，，，，；故此选项符合题意；D、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定的符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意；故选：C．题型七一元二次方程的根与系数的关系48 例题44．方程的根是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，．先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可．【解析】解：∵，∴，∴，．故选：D．巩固训练45．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的两根，，，故选：A．46．已知是方程的两个根，则的值为（     ）A．B．C．D．48 【答案】B【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【解析】∵，是方程的两个根，∴，，∴，故选：B．47．设、是一元二次方程的两个根，且，则．【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．【解析】解：、是一元二次方程的两个根，且，，原方程为，解得：，，，故答案为：．48．若是关于的一元二次方程（为正整数）的两根，则48 的值为．【答案】2024【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及分式的混合运算，首先由一元二次方程根与系数的关系求出，再将变形为，可得，再把所求式子进行裂项变形计算即可得到结果【解析】解：∵是关于的一元二次方程（为正整数）的两根，∴，∴，∴，∴；故答案为：2024．49．关于x的方程，的两个实数根为(1)若等腰三角形，其中两边的长度为且另一边的边长为6，求的周长；(2)若求m的值【答案】(1)的周长为或(2)或48 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义；（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值．【解析】（1）解：∵的两个实数根为∴解得：当时，，则解得：∵等腰三角形其中两边的长度为且另一边的边长为6，∴周长为当，则有一个根为，∴解得：或（舍去）∴原方程为解得:∴的周长为，综上所述，的周长为或（2）∵的两个实数根为∴又∵∴，48 ∴∵∴∴或由（1）可得，当时，当时，∴∴解得：综上所述，或题型八一元二次方程的实际应用例题50．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“销售量从年的万辆到年的万辆”列方程求解．【解析】解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意得，故选：B．巩固训练48 51．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．【解析】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：这两个数的平方和为：，两数相差4，．故选：D．52．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案．【解析】解：将三条路平移，如图所示：48 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，，故选：C．53．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题：(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．【答案】(1)6(2)不能，理由见解析【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可；（2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可．【解析】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为，，解得：（舍去），∴最小的数为6．（2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为，，解得：（舍去），由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数，∴最小数与最大数的乘积不能为33．48 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．54．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．(1)甲运动后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？【答案】(1)(2)它们运动了秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．（1）将代入，计算求解即可；（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可．【解析】（1）解：当时，，答：甲运动后的路程是；（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，∴，整理得，，∴，解得，或（舍去）．答：它们运动了秒．55．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同．(1)求该款汉服销售量的年平均增长率；48 (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？【答案】(1)该款汉服销售量的年平均增长率为(2)该款汉服的实际售价应定为140元【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．（1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可；（2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．【解析】（1）解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该款汉服销售量的年平均增长率为；（2）解：设该款汉服的实际售价为y元/套，依题意，得：，整理，得：，解得：，，∵要尽可能让顾客得到实惠，∴答：该款汉服的实际售价应定为140元．56．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．东北育才学校生态园年春季规划市场调研，（1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元．48 素材一两种型号的劳动工具价格．（2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．素材二计划购买，两种型号的劳动工具（1），两种型号的劳动工具共个．（2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．素材三新规划一块矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，  问题解决任务一求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．任务二求购买这批劳动工具的最少费用．任务三设苗圃的一边长为．（1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________；（2）若苗圃的面积为，求的值；（3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元任务三；（1）；（2）8；（3）不能【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，48 ，计算求解，然后作答即可；任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具个，总费用为元，依题意得，，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可；任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可．【解析】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，解得，，经检验，是原分式方程的解，∴，∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元；任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具个，总费用为元，依题意得，，解得，，，∵，∴当时，总费用最少，元，∴购买这批劳动工具的最少费用为元；任务三；（1）解：依题意得，的长是（），故答案为：；（2）解：由题意知，，解得，，依题意得，，解得，或（舍去），∴的值为8；48 （3）解：令，整理得，，∵，∴方程无实数解，故答案为：不能．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键．48