安徽省芜湖市无为市部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（人教版）

2024届九年级期中综合评估数学▶上册21.1~24.1◀共8大题，计23小题．满分150分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列方程中，属于一元二次方程是()A.B.C.D.2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所之一．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字中间或上方的图案是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（）A.B.C.D.4.如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（） A.B.，C.，D.，5.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）A.B.C.D.6.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.7.某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（）A.125元B.150元C.175元D.200元8.若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（）A.B.C.D.9.如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（）A.B.CD.10.如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）. 从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度d（）之间的关系图象如图2所示，已知是点P是该图象的顶点，根据图象，下列说法正确的是（）A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为C.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大D.当小球的速度最大时，弹簧的长度为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11如图，将一块直角三角尺绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角______．12.《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______.13.如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为______． 14.如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车，中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其抛物线的解析式为．（1）点的坐标为__________．（2）当两辆消防车喷射口位置的水平距离为时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为__________为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：．16.图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，这是的正方形网格，点，，，均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出（点，，分别为点，，的对应点）．（2）画四边形，且四边形为中心对称图形．18.唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子直径.五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于的一元二次方程．（1）若这个方程没有实数根，求的取值范围．（2）方程的两个根分别为，若，求的值．20.课本再现如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．（1）求证：四边形是菱形．拓展延伸（2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若 ，求的长．六、（本题满分12分）21.我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，年国庆节游客人数约为3万，年国庆节游客人数约为万．（1）求年到年该风景区国庆节游客人数年平均增长率．（2）已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格元/人元/人元/人据预测，年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？七、（本题满分12分）22.在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，交直线于点F.（1）如图1，当D为的中点时，点F与点A重合，请写出线段与的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当D是边上任意一点时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由.八、（本题满分14分）23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧）． （1）当时，求线段的长．（2）请直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式．（3）若抛物线经过点，将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，求抛物线的顶点的坐标． 2024届九年级期中综合评估数学▶上册21.1~24.1◀共8大题，计23小题．满分150分，作答时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列方程中，属于一元二次方程的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C、含有两位未知数，故该选项不符合题意；D、是一元一次方程，故该选项不符合题意．故选：B2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所之一．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字中间或上方的图案是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念：“中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转，能与自身重合的图形”进行判断即可．【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3.如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余，根据直径所对的圆周角为，即可求解．【详解】解：∵是的直径，，，，故选：A．4.如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（）A.B.，C.，D.， 【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数与轴交点横坐标和一元二次方程的根的关系，求点出关于直线对称的点，两个点的横坐标即为所求．【详解】解：点出关于直线对称的点是，、是抛物线与轴的交点，，是一元二次方程的根．故选：B．5.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出的度数和得出．根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据圆周角定理求出．【详解】解：∵四边形是内接四边形，，∴，∵，∴，∵弧对的圆周角是，圆心角是，∴，故选：B6.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键．【详解】解：把，，分别代入得故故选：A．7.某超市销售某款商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为，则销售这款商品每天的最大利润为（）A.125元B.150元C.175元D.200元【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，由函数解析式，利用配方法转化，根据函数的性质求最值．【详解】解：∵，且，开口向下，∴当时，y有最大值，最大值，∴销售这款商品每天的最大利润为150元，故选：B．8.若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设较小偶数为x，则较大偶数是，根据两个连续偶数的积为528即可列出方程，解方程求得x的值，再求它们的和即可．【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数是， 则有，解得（不合题意，舍去），，∴二者之和为，故选：B．9.如图，将绕点C逆时针旋转度后得到，点A，B对应点分别为点D，E，连接与交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质和反证法进行证明即可得到答案．熟练掌握反证法是解题的关键．【详解】解：解：A．∵将绕点C逆时针旋转度后得到，∴，但无法确定，故选项错误，不符合题意；B．∵将绕点C逆时针旋转度后得到，∴，∴，，若，则，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴， ∵大小未知，故选项错误，不符合题意；C．∵将绕点C逆时针旋转度后得到，∴，∴，∵，∴，∴，故选项正确，符合题意；D．∵将绕点C逆时针旋转度后得到，∴，若，∵，∴，即是等边三角形，当且仅当时成立，故选项错误，不符合题意．故选：C．10.如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度d（）之间的关系图象如图2所示，已知是点P是该图象的顶点，根据图象，下列说法正确的是（）A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为C.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D.当小球的速度最大时，弹簧的长度为【答案】D【解析】【分析】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；由图象可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项B的说法错误，选项C的说法错误．由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项D的说法正确；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如图，将一块直角三角尺绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角______．【答案】28【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据旋转的性质得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形全等及找到旋转角是解本题关键．【详解】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得，，，，又，， ，故答案为：28．12.《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______.【答案】【解析】【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键．【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为，根据题意得：，故答案为：．13.如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得．【详解】解：∵， ∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．14.如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车，中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其抛物线的解析式为．（1）点的坐标为__________．（2）当两辆消防车喷射口位置的水平距离为时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为__________为．【答案】①.②.12.8【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用．（1）令，求出函数值，即可得到点坐标；（2）根据题意，得到，进而得到点的横坐标为，求出相应的函数值，得到的长，用即可．求出相应自变量的函数值，是解题的关键．【详解】解：（1）∵，∴当时，，∴； 故答案为：；（2）由题意，得：，∵平行于的直线为轴，∴点的横坐标为，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：分解因式得：，，，．16.图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长． 【答案】【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，由旋转的性质得：，，再根据勾股定理即可求出．【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，∴，，．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，这是的正方形网格，点，，，均为格点（网格线的交点）．（1）将绕点顺时针旋转得到，画出（点，，分别为点，，的对应点）．（2）画四边形，且四边形为中心对称图形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图-中心对称，旋转变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，掌握中心对称的性质和旋转的性质．（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，并顺次连接即可．（2）由题意画四边形，且四边形为中心对称图形即可．【小问1详解】如图，即所求．【小问2详解】如图，四边形即所求． 18.唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子直径.【答案】该桨轮船的轮子直径为【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．【详解】解：依题意，得，，如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，则在中，,解得，故答案为该桨轮船的轮子直径为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知关于的一元二次方程．（1）若这个方程没有实数根，求的取值范围．（2）方程的两个根分别为，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；（2）由根与系数的关系可求得，代入，可得k的值．【小问1详解】解：∵方程没有实数根，∴，∴；【小问2详解】解：∵原方程的两实数根为和，∴，，∵，∴．故答案为：20.课本再现如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．（1）求证：四边形是菱形．拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论；（2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：连接，∵，C是的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，同理，∴，∴四边形是菱形；（2）连接，∵是等边三角形，∴，∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段， ∴，∴，，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键．六、（本题满分12分）21.我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，年国庆节游客人数约为3万，年国庆节游客人数约为万．（1）求年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率．（2）已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格元/人元/人元/人据预测，年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】21.．22.当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元．【解析】【分析】（1）设年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，则年该风景区国庆节游客人数人为，根据年国庆节游客人数约为万人，再列方程，解方程可得答案；（2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，，再列出与 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键．【小问1详解】解：设年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，由题意，得，解这个方程，得（舍去）答：年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%．【小问2详解】设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，由题意，得化简，得，，∴当时，取最大值，为万元．答：当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元．七、（本题满分12分）22.在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，交直线于点F.（1）如图1，当D为的中点时，点F与点A重合，请写出线段与的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当D是边上任意一点时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析 【解析】【分析】（1）连接，证明四边形是正方形，即可得到结论；（2）连接，证明，则，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，，证明形是平行四边形，由、、即可得到.【小问1详解】，理由如下：连接，∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，∵在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵D为的中点，∴，，∴，∵，点F与点A重合，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴四边形是正方形，∴是等腰直角三角形，在中， ，∴；【小问2详解】连接，∵在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，，∴，在中，，则 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形和正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定和性质是解题的关键.八、（本题满分14分）23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧）．（1）当时，求线段的长．（2）请直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式．（3）若抛物线经过点，将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，求抛物线的顶点的坐标．【答案】（1）线段的长为5（2）抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为（3）抛物线为或，抛物线的顶点的坐标为或【解析】【分析】（1）求出当时，抛物线与x轴的两个交点坐标，即可得到线段的长；（2）把抛物线化为顶点式，再根据关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得到答案；（3）根据抛物线L经过点求出a的值，根据平移规律求出抛物线的解析式，化为顶点式，即可得到答案．小问1详解】解：当时，抛物线，即，当时，，即，解得， ∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，即线段的长为5；【小问2详解】解：∵，关于原点O对称点的横纵坐标均互为相反数，∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为，即，∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为；【小问3详解】解：∵抛物线L经过点，∴，即，解得，∴抛物线或，∴将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线为或，∴抛物线的顶点的坐标为或．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的平移、二次函数的顶点式、关于原点对称的点的特征等知识，熟练掌握二次函数的平移、二次函数的顶点式是解题的关键．