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福建省龙岩市某校2024-2025学年高三上学期数学开学考试卷
福建省龙岩市某校2024-2025学年高三上学期数学开学考试卷
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2025届高三开学考数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.12.设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a=( )A.–4B.–2C.2D.43.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.B.C.D.4.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( )A.B.C.D.5.若在是减函数,则的最大值是()A.B.C.D.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( )A.B.C.D.7.设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )A.B.C.1D.28.已知a,bR且ab≠0,对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分. 9.已知四边形ABCD为等腰梯形,,l为空间内的一条直线,且平面ABCD,则下列说法正确的是( )A.若,则平面ABCDB.若,则C.若,,则平面ABCDD.若,,则平面ABCD10.定义在上的函数满足,则( )A.B.C.为奇函数D.单调递增11.设a,b,c为实数,记集合若{S},{T}分别为集合S,T的元素个数,则下列结论可能的是( )A.{S}=1且{T}=0B.{S}=1且{T}=1C.{S}=2且{T}=3D.{S}=2且{T}=2三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分12.不等式的解集是13.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________14.如图所示,函数的图象由两条射线和三条线段组成.若,,则正实数的取值范围是. 四、解答题:本大题共5个小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为50%,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.16.已知函数.(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;(2)证明:当时,.17.如图,在锥体中,四边形ABCD为边长为1的菱形,且∠DAB=60°,,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点,(1)证明:AD⊥平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值. 18:当且仅当,即时,,所以..为圆周率,为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间;(2)求,,,,,这6个数中的最大数与最小数;(3)将,,,,,这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 19.通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,,、、、、,我们有如下运算法则:①; ②;③; ④.(1)设,,求和.(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:①② ③.试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.(3)若,集合,.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明). 龙岩一中2025届高三开学考数学试题参考答案DBBDABDC9:AC10:BCD11:ABD12:13:14:15:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,:第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,X400500800P第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,∴P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=.(2)X的可能取值为400,500,800,并且∴X的分布列为P(X=400)=1-,P(X=500)=,P(X=800)==,EX=400×+500×+800×=506.25 16:(1)的定义域为,,则,解得:,故.易知在区间内单调递增,且,由解得:;由解得:,所以的增区间为,减区间为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分(2)[方法一]:【最优解】放缩法当时,.设,则.当时,;当时,.所以是的最小值点.故当时,.因此,当时,.[方法二]:【通性通法】隐零点讨论因为,所以在区间内单调递增.设,当时,,当时,,所以在区间内单调递减,在区间内单调递增,且,所以.设,则.所以在区间内单调递减,故,即成立.[方法三]:分离参数求最值要证时,即,则证成立.令,则.令,则,由知在区间内单调递减,从而在内单调递增,在区间内单调递减.所以,而,所以恒成立,原命题得证.[方法四]:隐零点讨论+基本不等式,结合与的图像,可知有唯一实数解,不妨设,则 .易知在区间内是减函数,在区间内是增函数.所以.由,得..17:(1)取的中点,连接,∵四边形ABCD是边长为1的菱形,且,是边长为1的正三角形,得,且,,,且,∵,平面,平面分别是的中点,,即四边形为平行四边形,∴,∵平面DEF,平面DEF,∴PB平面DEF,同理可证:OB平面DEF,∵,平面平面,平面;(2)由(1)知:∠POB为二面角P-AD-B的平面角,又PB=2,所以,即二面角P-AD-B的余弦值为18::(1)函数的定义域为,因为,所以,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减;故函数的单调增区间为,单调减区间为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分(2)因为,所以,,即,,于是根据函数、、在定义域上单调递增,所以,, 故这6个数的最大数在与之中,最小数在与之中,由及(1)的结论得,即,由得,所以,由得,所以,综上,6个数中的最大数为,最小数为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分(3)由(2)知,,,又由(2)知,,故只需比较与和与的大小,由(1)知,当时,,即,在上式中,令,又,则,即得①由①得,,即,亦即,所以,又由①得,,即,所以,综上所述,,即6个数从小到大的顺序为,,,,,.19:【详解】(1)因为,,所以,(2)设,,,、、、、、、,则,,故①不成立,,,,, 因为,,所以,故②正确;,,,,设,,,则,,,所以,故,即③错误;(凌晨讲数学)(3)设满足条件的,,、,则,,因为为任意的复数,不妨设且,由定义可得,即,则,所以,则,以下证明对任意的,不等式恒成立,只需计算的最小值,不妨令,则,则,当,时取得最小值,此时与之前得到的相同,结论得证;推广结论:对于任意复向量,,若对于任意的,当且仅当时,取到最小值.
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