2022-2023学年福建省龙岩市一级校联盟九校联考高一（上）期中数学试卷

2022-2023学年福建省龙岩市一级校联盟九校联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合，，，则　　A．，B．C．D．，3，4，2．（5分）函数的定义域是　　A．，B．，，C．D．，，3．（5分）设命题，，则为　　A．，B．，C．，D．，4．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）关于的不等式的解集是　　A．B．C．D．6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．7．（5分）函数的图象的大致形状是　　A．B．第43页（共43页） C．D．8．（5分）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率．已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率约为　　（参考数据：，A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）若，则下列不等式一定成立的是　　A．B．C．D．10．（5分）若“，”为假命题，则的值可能为　　A．0B．C．1D．411．（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是　　A．B．在定义域上为增函数C．当时，D．不等式的解集为12．（5分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为　　第43页（共43页） A．B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）　　．14．（5分）函数的图象恒过的定点是　　．15．（5分）若，，且，则的最小值为　　．16．（5分）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设全集，，．求，，．18．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；（2）从以下两个条件①，②中选择一个作为条件，求关于的不等式的解集．（注：选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）19．（12分）已知幂函数是定义在上的偶函数．（1）求的解析式；（2）在区间，上，的图象总在函数图象的上方，求实数的取值范围．20．（12分）“绿水青山就是金山银山”，将生态治理和发展特色产业有机结合起来，就可走出一条生态和经济协调发展、人与自然和谐共生之路．若今年市财政预下拨专款100百万元，分别用于生态治理和发展特殊产业两个项目，生态治理项目五年内带来的生态收益（单位：百万元）与其投放资金（单位：百万元）呈正比例函数关系，且投放资金8百万元时可收益0.8第43页（共43页） 百万元，发展特色产业项目五年内带来的产业收益（单位：百万元）与其投放资金（单位：百万元）的函数关系是．（1）设分配给发展特色产业项目的资金为（单位：百万元），两个项目五年内带来的收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；（2）对两个项目的投放资金如何分配，可使收益总和达到最大？最大值是多少？21．（12分）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2），，，求实数的取值范围．22．（12分）已知实数，且函数，，，，，，，当，时，的最小值记为（a）．（1）若，求函数的单调递减区间；（2），，，（a），求实数的取值范围．第43页（共43页） 2022-2023学年福建省龙岩市一级校联盟九校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合，，，则　　A．，B．C．D．，3，4，【考点】交集及其运算【专题】对应思想；分析法；集合；数学运算【分析】根据交集的定义求解．【解答】解：由题可知，2，3，4，，所以，．故选：．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2．（5分）函数的定义域是　　A．，B．，，C．D．，，【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意得，解得且．故选：．【点评】本题主要考查了求函数定义域问题，属于基础题．3．（5分）设命题，，则为　　A．，B．，C．，D．，第43页（共43页） 【考点】特称命题的否定；存在量词和特称命题【专题】对应思想；分析法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据命题的否定的定义即可求解．【解答】解：根据命题的否定的定义可知，．故选：．【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．4．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算【分析】根据一元二次不等式的解法解，结合充分条件和必要条件的定义即可求解．【解答】解：由，可得或，“”是“”的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查了不等式，简易逻辑，学生的数学运算能力，属于基础题．5．（5分）关于的不等式的解集是　　A．B．C．D．【考点】指、对数不等式的解法【专题】不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用对数函数的定义以及单调性，将不等式转化为一元一次不等式组即可．【解答】解：不等式可化为：，于是，故选：．【点评】本题考查对数不等式的基本解法，注意真数大于0，属于基础题．6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．第43页（共43页） 【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】利用三个数值的大小的范围判断大小即可．【解答】解：，；，所以．故选：．【点评】本题考查对数值的大小比较，是基础题．7．（5分）函数的图象的大致形状是　　A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象的变换【专题】数形结合；分析法；函数的性质及应用【分析】分与两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当时，，此时；当时，，此时，则函数的图象的大致形状是：第43页（共43页） ，故选：．【点评】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．8．（5分）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率．已知某被测标本扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率约为　　（参考数据：，A．B．C．D．【考点】数列的应用；根据实际问题选择函数类型【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．【解答】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）若，则下列不等式一定成立的是　　A．B．第43页（共43页） C．D．【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质【专题】对应思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】：利用指数函数的单调性即可判断求解；：举反例即可判断；：利用作差法即可判断；：利用不等式的性质以及对数函数的单调性即可判断求解．【解答】解：：因为函数为单调递减函数，且，所以，故正确，：当，时，，故错误，，当时，，故正确，：因为，所以，则，故正确，故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，涉及到函数的单调性，属于基础题．10．（5分）若“，”为假命题，则的值可能为　　A．0B．C．1D．4【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算【分析】根据已知条件，推得，，再分，两种情况讨论，即可求解．【解答】解：“，”为假命题，则，，当时，，符合题意，当时，，解得，故的值可能为0，1．故选：．【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．11．（5分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是　　A．B．在定义域上为增函数第43页（共43页） C．当时，D．不等式的解集为【考点】函数奇偶性的性质与判断【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意和函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数图象，结合图形，利用函数的单调性解不等式，依次判断选项即可．【解答】解：因为是定义域为上的奇函数，所以，且，时，，令，则，有，所以，故错误；故，所以，故正确；函数图象如图所示，所以是定义域为上为增函数，故正确；不等式转化为（1），则，解得，故正确．故选：．【点评】本题考查函数性质的应用，属于基础题．12．（5分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域第43页（共43页） 中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为　　A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素【专题】函数的性质及应用；对应思想；定义法；数学抽象【分析】根据题意结合倒函数定义可依次判断．【解答】解：对于，函数定义域为，当时，，故不是倒函数；对于，，定义域为，满足定义域中任意给定的实数，都有，又，则，故是倒函数；对于，，定义域为，，，当时，则，，，故不是倒函数；对于，，满足对于其定义域中任意给定的实数，都有，当时，，则，，则，同理当时，也满足倒函数定义，故是倒函数；故选：．【点评】本题考查对函数新定义的分析和理解能力，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）　1　．【考点】对数的运算性质【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据分数指数幂的运算和对数的运算性质化简计算即可．【解答】解：原式．故答案为：1．【点评】本题考查分数指数幂的运算和对数的运算性质，属于基础题．第43页（共43页） 14．（5分）函数的图象恒过的定点是　　．【考点】49：指数函数的图象与性质【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；51：函数的性质及应用【分析】据指数函数恒过定点，令求出点的坐标．【解答】解：指数函数恒过定点，令得，此时，故函数的图象恒过的定点是，故答案为：．【点评】本题考查指数函数的性质：恒过定点．15．（5分）若，，且，则的最小值为　4　．【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；对应思想；数学模型法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用乘”1“法，再结合基本不等式求最值即可．【解答】解：，，且，，当且仅当时等号成立，则的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．16．（5分）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是　　．【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意可知函数在上不单调，结合幂函数、一次函数和对勾函数的单调性分类讨论当第43页（共43页） 、、、时函数的单调性，即可求解．【解答】解：由题意知，函数在上，存在使得成立，则函数在上不单调．，若，，，因为函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，不符合题意；若，，，当时，易知在上单调递减，有，当时，，则函数在，上单调递减，则，不符合题意；当时，，，对于对勾函数，在上和单调递减，在和上单调递增，则函数在上单调递增，在上单调递减，且对于，使得，所以存在，使得成立，所以．即实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设全集，，．求，，．【考点】交、并、补集的混合运算【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算【分析】分别求出集合，，进而由集合的交集，并集及补集的定义求解．第43页（共43页） 【解答】解：全集，，，所以；；或，或，所以或．【点评】本题考查集合的运算性质的应用，属于基础题．18．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；（2）从以下两个条件①，②中选择一个作为条件，求关于的不等式的解集．（注：选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）【考点】一元二次不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学抽象【分析】（1）结合一元二次不等式根与系数关系直接求解即可；（2）若选①可得，对分类讨论即可求解；若选②，可得，对分类讨论即可求解；【解答】解：（1）因为解集为或，所以2和1是的解，所以，，即，；（2）若选①，则，令得，，当时，的解集为；当时，的解为；第43页（共43页） 当时，的解为；若选②，则，令得，，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为．【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的转化，还考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．19．（12分）已知幂函数是定义在上的偶函数．（1）求的解析式；（2）在区间，上，的图象总在函数图象的上方，求实数的取值范围．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得且为正偶数，由此求得的值，（2）转化为在，上恒成立，结合二次函数的性质即可求解结论．【解答】解：（1）幂函数是定义在上的偶函数，且为正偶数，可得，，（2）在区间，上，的图象总在函数图象的上方，即在，上恒成立，记，即在，上恒成立，当即时，函数在，上单调递减，（1），解得，故；当即时，函数在，上单调递增，第43页（共43页） ，解得，故；当即时，函数在，上单调递减，在，上递增，，解得，故；综上可得：实数的取值范围为：．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，以及二次函数性质的应用，考查计算能力和转化能力，属于中档题．20．（12分）“绿水青山就是金山银山”，将生态治理和发展特色产业有机结合起来，就可走出一条生态和经济协调发展、人与自然和谐共生之路．若今年市财政预下拨专款100百万元，分别用于生态治理和发展特殊产业两个项目，生态治理项目五年内带来的生态收益（单位：百万元）与其投放资金（单位：百万元）呈正比例函数关系，且投放资金8百万元时可收益0.8百万元，发展特色产业项目五年内带来的产业收益（单位：百万元）与其投放资金（单位：百万元）的函数关系是．（1）设分配给发展特色产业项目的资金为（单位：百万元），两个项目五年内带来的收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；（2）对两个项目的投放资金如何分配，可使收益总和达到最大？最大值是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）根据正比例函数的概念可得，将两个生态收益项目相加，即可求解；（2）由（1），利用基本不等式计算，即可求解．【解答】解：（1）由题意知，设，则，解得，所以，所以，即．（2）由（1），得，当且仅当即时，等号成立，此时，第43页（共43页） 所以投资生态治理项目资金为5百万元，投资发展特色产业项目资金为95百万元时，总收益最大，且最大收益为190.5百万元．【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．21．（12分）已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2），，，求实数的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）根据奇函数的定义域关于原点对称求出实数的值，再利用奇偶性的定义证明即可；（2）先根据复合函数同增异减，得到函数在上单调递增，然后将问题转化为，进而可求出实数的取值范围．【解答】解：由函数是奇函数，，即，因为奇函数的定义域关于原点对称，则必有，此时，证明如下：，故函数是奇函数，；（2），，时单调递增，，时单调递增，根据复合函数同增异减可知：函数在上单调递增，，，，，第43页（共43页） 又，，解得或．故实数的取值范围是，，．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）已知实数，且函数，，，，，，，当，时，的最小值记为（a）．（1）若，求函数的单调递减区间；（2），，，（a），求实数的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）首先求出，的解析式，再解关于的不等式，即可求出的解析式，从而求出函数的单调递减区间；（2）首先令，求出方程的解，从而确定的解析式，再根据二次函数的性质求出的最小（a），从而求出（a），依题意只需，令，求出，即可求出参数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，，由，解得，由，解得或，则当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在，上单调递增，第43页（共43页） 故函数的单调递减区间为．（2）令，得，解得或，，解得，，解得或，，，又因为函数关于直线对称，所以，令，由，，得，，由，，，有（a）成立，可知，故，又时，，所以，解得，故实数的取值范围为．【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．在解决有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．第43页（共43页） 考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．第43页（共43页） 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．存在量词和存在量词命题【知识点的认识】存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．第43页（共43页） 存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．5．存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】第43页（共43页） 写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．6．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．7．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；第43页（共43页） ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．8．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．第43页（共43页） 证明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．9．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，第43页（共43页） 用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式第43页（共43页） 3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．第43页（共43页） 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换第43页（共43页） 点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．10．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式第43页（共43页） （6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：11．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3第43页（共43页） 故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．12．函数的概念及其构成要素【知识点的认识】初中函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．高中函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），第43页（共43页） x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示．【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较多，以小题与大题出现，可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，难度比较大．13．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．第43页（共43页） 14．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】第43页（共43页） 1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y第43页（共43页） 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．15．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），第43页（共43页） 所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．16．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜恒成立，∵x2+x+1＝（x+）2+≥，∴0＜≤，∴m≤0．17．幂函数的概念【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．第43页（共43页） 解析式：y＝xa＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．18．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y第43页（共43页） 轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．19．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．20．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）21．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征第43页（共43页） ，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题第43页（共43页） ①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；第43页（共43页） D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．22．数列的应用第43页（共43页） 【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．23．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，第43页（共43页） 即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B第43页（共43页）