福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷（解析版）

班级：座号：姓名：（在此卷上答题无效）厦门一中2023级高一入学考试数学试卷本试卷共4页，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3.考试结束，考生只须将答题卡交回.一、单项选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案.1.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物.将0.0000025用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由科学记数法的概念表示出0.0000025即可.【详解】.故选：D.2.已知，则下列关系一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取特值可判断ABD；作差法可判断C. 【详解】对于A，取，，故A错误；对于B，取，所以，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误.故选：C.3.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设这辆汽车原计划的速度是，再表示出实际速度，利用时间列方程．【详解】设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，根据题意所列方程是．故选：A．4.今年是我国现行宪法公布施行40周年.为贯彻党的二十大精神，强化宪法意识，弘扬宪法精神，推动宪法实施，某学校开展法律知识竞赛活动，全校一共100名学生参与其中，得分情况如下表.则分数的中位数和众数分别是（）分数（分）60708090100人数822203020A.80，90B.90，100C.85，90D.90，90【答案】C【解析】【分析】本题根据中位数和众数的概念进行解答即可.【详解】把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第两个数， 所以全班名同学的成绩的中位数是，出现了次，出现次数最多，则众数为.所以分数的中位数和众数分别是.故选：C.5.如图，将矩形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得，进而可得，即得.【详解】∵，∴，∴，由，可得，∴.故选：A．6.如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积（）①④②⑤③ A.①或③B.②或③C.①或④D.以上选项都可以【答案】A【解析】【分析】根据题意设②号小矩形的宽为，④号正方形的边长为，然后可表示出其他小矩形的长和宽，即可得出答案.【详解】设②号小矩形的宽为，④号正方形的边长为，则②号小矩形的长为，因为⑤号正方形边长为1，所以①号小矩形的宽为，长为，③号小矩形的宽为，长为，大矩形的长为，宽为，所以①号小矩形的周长为，③号小矩形的周长为，大矩形的面积为，所以要算出这个大矩形的面积只需要知道的值即可，所以知道①或③小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积.故选：A.7.如图，平面直角坐标系中.直线分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边，以AO为边向左作等边，连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意求出C和D点坐标，求出直线CD的解析式，再与直线AB解析式联立方程组即可求出交点E的坐标．【详解】解：令直线中，得到，故， 令直线中，得到，故，由勾股定理可知：，因为，且，所以，，过C点作CH⊥x轴于H点，过D点作DF⊥x轴于F，如下图所示：因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，所以，同理，因为为等边三角形，所以，，所以，所以，所以，设直线CD的解析式为，代入和，得到：，解得，∴CD的解析式为：，与直线联立方程组， 解得，故E点坐标为，故选：A．8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图的Rt△ACB，∠C=90°.∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以类比这种方法，若已知锐角α的正弦值为锐角β的余弦值为则α+β=（）A.22.5°B.C.36°D.【答案】D【解析】【分析】本题根据题干提供数形结合方法，通过构造几何图形可得为等腰直角三角形，从而求得的值为45°.【详解】构造如图所示的三角形，在中，，设，延长至使，根据三角形外角的性质可知，设，在中，根据勾股定理得,，所以，故构造图形符合题意，又，即， 在中，根据勾股定理得，所以，所以，所以是等腰直角三角形，所以.故选：D.9.21982145917308330487013369的13次方根可以是（）A.99B.89C.87D.79【答案】B【解析】【分析】由，和，对其进行展开可判断ABD；由的个位数为可判断C.【详解】对于A，，对其进行展开，可知只有才会影响到的十位数和个位数，，故A错误；对于B，，对其进行展开，可知只有才会影响到的十位数和个位数，，故B可能正确；对于C，因为的个位数为，故C错误；对于D，，对其进行展开，可知只有才会影响到的十位数和个位数，，故D错误；故选：B.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题利用等面积法及勾股定理求出，当时，证明，结合三角函数知识表示出，列出y与x的关系式，当时，根据相似，结合三角函数知识表示出，列出y与x的关系式，根据关系式判断图像即可.【详解】因为，所以，所以，在中，，所以.①当时，如图所示，因为，且，所以，在中，，由三角函数知识可知，，，所以， 所以四边形CEPF的面积为，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为直线；②当时，如图所示，易求，同理可得，在中，由三角函数知识可知，，所以，所以四边形CEPF的面积为，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为直线.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知，且，则______【答案】或.【解析】【分析】对已知式进行因式分解，即可得出答案.【详解】因为，所以，所以或，所以或.故答案为：或.12.如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______. 【答案】【解析】【分析】先根据不等式组的解集初步判断的取值范围，再检查端点值是否符合题意，即可求解．【详解】原不等式组可化为，因为解集是，，当时，则有，此时解集为，不符合题意，.故答案为：13.设a为整数，且方程有两个正数根，且一根比1大，一根比1小，则a=______.【答案】1【解析】【分析】根据韦达定理列出不等式，再结合a为整数，可求出a的值，再验证即可得出结果.【详解】因为有两个正数根，所以，解得，又因为a为整数，所以或，当时，，解得，所以符合题意，当a=2时，，解得，所以a=2不符合题意.综上得，.故答案为：1.14.在折纸手工中，我们时常需要对一张方形纸的某条边进行若干等分，若被要求折成两份，则很容易做到：但对于其他等分，例如五等分，则可以使用藤本近似折法进行操作，具体步骤如下：（1）如图（1），在纸张大致的位置折出痕迹，用E表示与五等分位置的误差；（2）如图（2），将折痕右边的部分对折；（3）如图（3），将第（2）步折出的折痕右侧的部分对折；（4）如图（4），将第（3）步折出的折痕左侧的部分对折； （5）如图（5），将第（4）步折出的折痕左侧的部分对折.最后的折痕将更加接近真实的五等分点位置，上述步骤具有可循环操作的特点，再次操作将会使得折痕更加精确.现已知小明有一条长度为70厘米的纸带，想要类比上述近似方法确定纸带上最左侧的七等分点，他在第一步折叠时，选取的折叠位置距离左边12厘米.若要使得最终确定的位置与实际位置误差小于0.5毫米，则最少需要进行______次折叠.（注：近似操作中每个步骤算作一次折叠）.【答案】7【解析】【分析】类比方法确定七等分的步骤，并明确每次对折都将误差变为原来的一半，即可利用等比数列通项公式结合误差要求建立不等式求解.【详解】类比五等分点的方法，七等分可以使用藤本近似折法进行操作，具体步骤如下：（1）在纸带大致的位置（左起）折出痕迹，用E表示与七等分位置的误差；（2）将折痕右边的部分对折，则可得到纸带大致的位置（左起）；（3）将第（2）步折出的折痕左侧的部分对折，则可得到纸带大致的位置（左起）； （4）将第（3）步折出的折痕左侧的部分对折，则可得到纸带大致的位置（左起），最后的折痕将更加接近真实的七等分点位置.再次循环操作上述步骤中第步，将会使得折痕更加精确.设纸带总长为，由题意选取的折叠位置距离左边12厘米，折痕在实际位置右侧，第1次折痕后，设折痕左边长度为，此时折痕即确定的最左侧七等分点，与实际位置误差为；第2次折痕后，折痕左边长度为，即；第3次折痕后，折痕左边长度为，即；第4次折痕后，折痕左边长度为，即，此时折痕即确定的最左侧七等分点，与实际位置误差为；故步骤每操作一遍误差变为原来的，由题意可知，，由，且，故要使得最终确定位置与实际位置误差小于0.5毫米，最少需要进行次折叠.故答案为：7.15.如图，直线y＝3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝(k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝(k≠0)上的点D1处，则a＝_____． 【答案】2【解析】【分析】由题意求出点的坐标，过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，然后利用三角形全等可求出点的坐标，求出反比例函数的析式，再求出点D1的坐标，从而可求出a的值【详解】解：对于直线y＝﹣3x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，∴∠OAB＝∠EBC，在△AOB和△BEC中， ，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，∴C（4，1），把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即，同理得到△DFA≌△BOA，∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，∴D（3，4），把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D1（1，4），则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝(k≠0)上的点D1处，即a＝2，故答案为：2．16.已知中，点，，.则的面积为________.【答案】10【解析】【分析】由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可.【详解】解：由两点式的直线BC的方程为＝，即为x+2y﹣8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，∴△ABC的面积为×4×＝10，故答案为：10.【点睛】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置. 17.（1）计算：；（2）先化简再求值：其中【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；（2）先化简原式，再将数值代入即可得出答案.【详解】（1）.（2）因为，所以原式.18.已知关于的一元二次方程：有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；（2）根据根与系数的关系得出，，分和两种情况计算求解即可．【小问1详解】关于的一元二次方程有两个实数根，所以，即 解得．故的求值范围为．【小问2详解】根据根与系数的关系：，，因为满足，①当时，，把代入，得，解得，，，．②当时，，，解得：，，，所以．故的值为或.19.教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：平均每周劳动时间的频数统计表劳动时间/小时频数请根据图表信息，回答下列问题． （1）参加此次调查的总人数是_______人，频数统计表中_______；（2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是_______；（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的男女中随机挑选人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1），（2）（3）树状图见解析，【解析】【分析】（1）根据组中，平均每周劳动时间的频数与占比，即可计算总人数；然后可计算的值；（2）在扇形统计图中，由（1）可计算组占比，根据圆的周角为，即可计算答案；（3）列出树状图，找到总的样本点个数，以及恰好抽到一名男生和一名女生包含的样本点的个数，根据古典概型概率计算公式，计算得答案.【小问1详解】由题意，平均每周劳动时间的频数为，占比，所以总人数为，频数统计表中；【小问2详解】在扇形统计图中，组占比为，所以组所在扇形的圆心角度数是；【小问3详解】画树状图如下：共有种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．20.如图，斜坡AB长130米，坡度现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE. （1）若修建的斜坡BE的坡角为求平台DE的长；（结果保留根号）（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin3）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可知，然后利用特殊角的三角函数值可求出的长度，最后利用求解即可；（2）过点作、，先通过求出的长度，在中，求出的长度，最后利用求解.【小问1详解】过作，垂足为，因为，所以，因为为AB中点  所以为中点，在，,设，，则,所以即，，所以，，因为在中，，所以，所以， 所以平台DE的长为（）米  .【小问2详解】过作、，垂足分别为、，所以四边形为矩形，所以，因为，，所以，因为为AB中点，所以为中点即，所以，因为在中，，在中，，所以.所以广告的长度约为米.21.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E.（1）求证：是⊙O的切线；（2）求证：；（3）若求的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可．【小问1详解】连接，因为平分，所以，因，所以，所以，所以，因为，所以，所以是的切线．【小问2详解】由（1）得，，因为，，所以，所以，因为，所以，所以，所以．【小问3详解】因为，所以，设的半径为，所以，所以，因，所以，，因， 所以，因，所以，因为，所以．22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标；（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，米的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件代入计算即可求出系数a和c，即可得抛物线的解析式；（2）过点P作，过点D作，进一步证明，从而得到，求出即可求出，从而得出P点的坐标；（3）过点N作轴，交直线AD于点H，则 ，进一步得出，从而，再用待定系数法求出直线AD的方程，设得N点的坐标为，从而得出，再利用二次函数性质分析最值即可.【小问1详解】因为，在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的表达式为.【小问2详解】如图所示，过点P作于点E，过点D作于点F，所以，因为C为抛物线与y轴的交点，所以，又，所以，所以，，在中由勾股定理得，，因为，，所以，所以，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，，， 所以，所以，所以点P的坐标为.【小问3详解】过点N作轴，交直线AD于点H，则，又因，所以，所以，由点A的坐标为2,0，由点D的坐标为，可求得直线AD的表达式为，当时，，所以直线AD与y轴交点的坐标为，所以，设，所以N点坐标为，其中，所以，所以，因为，所以当时，取最大值，最大值为.【点睛】关键点点睛：（1）把点代入抛物线方程即可求得参数；（2）关键是作辅助线，即过点P作于点E，过点D作于点F，然后证明，再用勾股定理的运用求线段PC的长度；（3）关键是过点N作轴得，从而， ，再用待定系数法求出直线AD的方程，设得N，从而，再利用二次函数的性质分析最值即