福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

福建省厦门第一中学海沧校区2023级高一12月适应性练习数学试题满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.下列函数中最小值为4的是（）A.B.C.D.3.已知函数，则“在存在最大值点”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为（）A.B. C.D.5.在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（）A.B.C.2D.6.设函数，则f(x)（）A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减7.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A.B.C.D.8.设，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列函数中，与是同一个函数的是（）A.B.C.D. 10.已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则()A.曲线y=f(x)关于直线对称B.函数y=f()是奇函数C.函数y=f(x)在(,)单调递减D.函数y=f(x)的值域为[-2,2]11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（）A.，其中，且B.，其中，且C大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中D.大约经过22秒，盛水筒P到达最高点12.已知，且．则下列选项正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13.某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______． 14.已知函数最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______．15.若方程在的解为，则______．16.椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线，则与轴的交点个数______；若，与轴交点的横坐标从小到大排列为，则______．（这里，若，则；若，则）三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式：（2）求函数在的单调递减区间．18.已知定义域为的函数，满足对，均有，且当时，．（1）求证：在单调递增；（2）求关于的不等式的解集．19.如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点． （1）如果，点的横坐标为，求的值；（2）设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形．20.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间012345水温100.0092.0084.80783772.5367.27设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：①；②；③．（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（参考数据：．）21.记的内角为，已知．（1）求的取值范围；（2）若，请用角表示角和角．22.已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得．（1）求； （2）若方程恰有两个实根，求实数范围并证明． 福建省厦门第一中学海沧校区2023级高一12月适应性练习数学试题满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本练习卷上无效.3．答题结束后，学生必须将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设.故选：D2.下列函数中最小值为4的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3.已知函数，则“在存在最大值点”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的最值、充分和必要条件等知识求得正确答案.【详解】，，“在存在最大值点”，等价于“”，等价于“”，所以“在存在最大值点”是“”的必要不充分条件.故选：B 4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可.【详解】根据题意，函数，其定义域为，由，函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；当时，，，则，排除B.故选：A．5.在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（）A.B.C.2D. 【答案】D【解析】【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.【详解】展开过程中：,,故选：D.6.设函数，则f(x)（）A.是偶函数，且在单调递增B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.7.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.8.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先证明时，，由b，c结合商数关系作商比较，由b，a结合二倍角余弦公式作差比较.【详解】如图所示：在单位圆中，设，则，，，因为，所以，因为，所以，即，所以当时，，所以，则；，则，所以，故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是利用单位圆证明时，，再利用此结论结合作差法和作商法比较大小即可. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列函数中，与是同一个函数的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．【详解】的定义域为，值域为，对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.故选：AC．【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.10.已知函数f(x)=sin(>0)满足:f()=2,f()=0,则()A.曲线y=f(x)关于直线对称B.函数y=f()是奇函数C.函数y=f(x)在(,)单调递减D.函数y=f(x)的值域为[-2,2]【答案】ABD【解析】【分析】用辅助角公式化简,再利用,得出的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】,所以函数的值域为,故D正确；因为,所以,所以， 因为,所以,所以，所以,即，所以，因为，所以曲线关于直线对称,故A正确；因为即，所以函数是奇函数,故B正确；取,则最小正周期,故C错误.故选：ABD11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（） A.，其中，且B.，其中，且C.大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中D.大约经过22秒，盛水筒P到达最高点【答案】ABD【解析】【分析】若为筒车轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令，易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.【详解】由题意知，如图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，筒车的角速度，令且，∴，故，而，∴，其中，且，又，若，且，所以，此时 ，故，其中，且，故A、B正确；当时，，且，，∴，故盛水筒没有进入水中，C错误；当时，，且，，故盛水筒到达最高点，D正确.故选：ABD12.已知，且．则下列选项正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，且，.A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.B选项，，当且仅当时等号成立.则， 由两边平方得，所以，所以B选项正确.C选项，，所以C选项错误.D选项，，且，若，则无解，所以，则，解得，所以，由于，所以，所以，D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13.某地中学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是______．【答案】【解析】【分析】先求得既喜欢游泳，又喜欢足球的人数，从而求得正确答案.【详解】既喜欢游泳，又喜欢足球人数有，所以该地喜欢足球的中学生中，喜欢游泳的学生占的比例是.故答案为：14.已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案.【详解】函数的最小正周期为， 所以，向左平移个单位后，得到，所得函数为奇函数，所以，故可取的一个值为.故答案为：（答案不唯一）15.若方程在的解为，则______．【答案】##【解析】【分析】先求得，然后根据的关系式以及二倍角公式求得.【详解】由于，所以，由于，所以，根据正弦函数的性质可知，且，，所以.故答案为： 16.椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．已知椭圆曲线，则与轴的交点个数______；若，与轴交点的横坐标从小到大排列为，则______．（这里，若，则；若，则）【答案】①.3②.【解析】【分析】首先由零点存在定理以及三次多项式最多3个根即可得出第一问的答案；再得出若是的一个根，则也是的一个根，进一步，（其中），从而即可得解.【详解】对于第一空：设，则，又因三次方程至多3个根，所以有三个实根，即；对于第二空：不妨设是的一个根，即，则，则，所以也是的一个根，因为，所以，所以，即，（其中），因为恰有三个实根，所以， 所以，即.故答案为：3，.【点睛】关键点睛：第一空的关键是零点存在定理，第二空的关键是得出，（其中），从而即可顺利得解.三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式：（2）求函数在的单调递减区间．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象求得，也即求得的解析式.（2）根据三角函数单调区间的求法求得在的单调递减区间．【小问1详解】由图可知， 所以，，，所以，所以.【小问2详解】由（1）得，由解得，，令可得函数在的单调递减区间为.18.已知定义域为的函数，满足对，均有，且当时，．（1）求证：在单调递增；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）证明见解析.（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】（1）用定义法判断函数的单调性；（2）根据函数的单调性求不等式的解集.【小问1详解】设，则，因为当时，，又，所以，即，所以在单调递增.【小问2详解】 化为，因为，则原式可化为:，即，因为在单调递增，所以，，，令，，，当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为.19.如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点．（1）如果，点的横坐标为，求的值；（2）设的终边与单位圆交于均与轴垂直，垂足分别为，求证：以线段的长为三条边长能构成三角形．【答案】（1）（2）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.（2）先求得，然后根据三角形的知识求得正确答案.【小问1详解】依题意，是锐角， 由，解得由于的横坐标为，则纵坐标为，所以，所以.【小问2详解】由于，由（1）得，所以，所以在第二象限，且，依题意可知：，即，，，，所以以线段的长为三条边长能构成三角形．20.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间012345水温100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：①；②；③． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；（参考数据：．）【答案】（1）选②，理由详见解析，解析式为（2）最佳饮用口感的放置时间为【解析】【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.【小问1详解】根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，所以选②，且，，利用加减消元法解得，所以.【小问2详解】由，得，两边取以为底的对数得，.答：最佳饮用口感的放置时间为.21.记的内角为，已知．（1）求的取值范围；（2）若，请用角表示角和角． 【答案】（1）（2）、【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的取值范围.（2）根据三角恒等变换的知识求得正确答案.【小问1详解】依题意，即，由于，所以，所以，，由于，所以，所以的取值范围是.【小问2详解】,，，所以，由于，所以.由于，所以.22.已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得．（1）求； （2）若方程恰有两个实根，求实数的范围并证明．【答案】（1）（2）；证明见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数性质求解；（2）先将方程化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到，消元证明不等式.【小问1详解】因为，且是奇函数，所以，即，所以，，所以，所以，所以，即，所以，解得，当时，，因为，存在，不满足题意，当时，，当时，，此时，满足题意，所以.【小问2详解】由（1）得，，所以， 所以方程恰有两个实根转化为恰有两个实根，转化为，令，所以，令，所以，所以单调递增，因为，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以，因为有两个不等实数根，所以.因为两个实根，所以，因为，所以，整理得：，因为，所以且，解得，要证成立，只需证成立，即证，由得，即证，只需证， 设函数，，，因为为增函数，且当时，，所以，所以原不等式成立.【点睛】①利用奇函数性质化简求t，注意化简过程；