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福建省厦门市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题(Word版附解析)

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福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.I卷(预习检测)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是()A.B.C.D.2.已知椭圆C:的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.13.已知双曲线的渐近线方程为,则A.B.C.D.4若直线与圆相切,则等于()A.B.C.D.5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则()A.16B.8C.4D.2 6.已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A.4B.9C.10D.187.椭圆的焦点为,P为椭圆上一点,若,则的面积是.A.B.C.D.8.已知A.B.C是双曲线上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若且,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.9.圆心在直线上,且经过点,的圆的方程为________.10.已知点,,若直线与线段(含端点)相交,则k的取值范围为________.三、解答题:共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.已知是等差数列的前项和,,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的最小值.12.圆的圆心为,且过点.(1)求圆的标准方程;(2)直线与圆交两点,且,求.13.已知顶点、、.(1)求直线BC的方程及其在y轴上的截距;(2)求边BC的垂直平分线l的方程(3)求面积. 14.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时,弦AB长4.求椭圆的方程;若求直线AB的方程.Ⅱ卷(巩固检测)四、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15已知,,且与平行,则等于()A.B.C.D.16.已知向量,,则在上的投影向量为()A.B.C.D.17.已知直四棱柱的棱长均为2,.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为()A.B.C.D.218.已知为的外心,,,,则的面积为()A.B.C.D.五、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台,经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的体积为28,上、下底面边长分别为 2,4,则该棱台的对角面面积为_______.20.在三棱锥中,,平面,,,则与所成角为__________.六、解答题:共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.在矩形中,,,是中点,是边上的三等分点(靠近点),与交于点.(1)设,,请用,表示和;(2)求与夹角的余弦值.22.如图,在正三棱柱中,,为的中点,、在上,.(1)试在直线上确定点,使得对于上任一点,恒有平面;(用文字描述点位置的确定过程,并在图形上体现,但不要求写出证明过程)(2)已知在直线上,满足对于上任一点,恒有平面,为(1)中确定的点,试求当的面积最大时,二面角的余弦值. 福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.I卷(预习检测)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过直线方程求出斜率,进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意,直线的斜率为,设直线的倾斜角为,即.故选:D.2.已知椭圆C:的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.1【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程可知值,根据焦点坐标得到值,即可求出代入离心率公式求解.【详解】由已知可得,,则,所以,则离心率.故选:C.3.已知双曲线的渐近线方程为,则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为,结合渐近线方程为,从而可得结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为,又渐近线方程为,所以,故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质,以及双曲线的渐近线,属于基础题.若双曲线方程为,则渐近线方程为.4.若直线与圆相切,则等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直线与圆相切,由圆心到直线距离等于半径,求的值.【详解】圆化成标准方程为,则且圆心坐标为,半径 为,直线与圆相切,则圆心到直线距离等于半径,即:,解得.故选:A5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则()A.16B.8C.4D.2【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质,设出基本量和,列出方程,可求解.【详解】设正数的等比数列的公比为,则,解得(负值舍去),.故选:B.6.已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A.4B.9C.10D.18【答案】C【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义可得,即可得结果.【详解】由题意可得:的焦点坐标为,准线为,设抛物线上横坐标为4点为,则,解得,故该抛物线的焦点到准线的距离为.故选:C. 7.椭圆的焦点为,P为椭圆上一点,若,则的面积是.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为,直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为,故所求面积为,故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积,椭圆焦点三角形的面积公式为,将题目所给数据代入公式,可求得面积.属于基础题.8.已知A.B.C是双曲线上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若且,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,连接,构造矩形;根据双曲线定义表示出各个边长,由直角三角形勾股定理求得的关系,进而求出离心率.【详解】设左焦点为,,连接, 则,,,,因为,且经过原点,所以四边形为矩形,在Rt△中,,将边长代入得,化简得,所以在Rt△中,,代入边长得化简得,即,故选:A.【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,根据题意画出草图,分析出为矩形是解题关键,然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度,最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.9.圆心在直线上,且经过点,的圆的方程为________.【答案】【解析】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心,圆心到A点的距离为半径,可得圆的方程.【详解】圆经过点和,,AB中点为,所以线段AB的垂直平分线的方程是.联立方程组,解得.所以,圆心坐标为,半径,所以,此圆的标准方程是.故答案为:10.已知点,,若直线与线段(含端点)相交,则k的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率,数形结合求得实数k的取值范围.【详解】由可得,可知直线为过定点,斜率为的直线,可得,若直线与线段(含端点)相交,则或,所以k的取值范围为.故答案为:.三、解答题:共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.已知是等差数列的前项和,,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的最小值.【答案】(1)(2)12【解析】【分析】(1)设出公差,利用等差数列通项公式基本量列出方程,求出公差,进而求出通项公式;(2)在第一问的基础上,求出,得到不等式,求出,结合,得到的最小值.【小问1详解】设数列的公差为,因为,所以.解得.所以.【小问2详解】,所以.令,得,解得:(舍去).因为,所以的最小值是12.12.圆的圆心为,且过点.(1)求圆的标准方程;(2)直线与圆交两点,且,求.【答案】(1)(2)或 【解析】【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径,写出圆的标准方程;(2)求出圆心到直线的距离,利用垂径定领列出方程,求出.【小问1详解】设圆的半径为,则,故圆的标准方程为:;【小问2详解】设圆心到直线的距离为,则,由垂径定理得:,即,解得:或.13.已知顶点、、.(1)求直线BC的方程及其在y轴上的截距;(2)求边BC的垂直平分线l的方程(3)求的面积.【答案】(1);;(2);(3).【解析】【分析】(1)由题可得直线的斜率,然后根据点斜式即得;(2)由题可知的中点坐标及中垂线的斜率,进而即得;(3)根据两点间距离,点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.【小问1详解】因为、, 所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即,令,得,即直线的方程在y轴上的截距为;小问2详解】由题可知的中点为,直线的斜率为,线段的垂直平分线的斜率为,所以线段的垂直平分线的方程为,即;【小问3详解】因为直线的方程为,又,所以到的距离为,又,所以的面积为.14.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时,弦AB长4.求椭圆的方程;若求直线AB的方程.【答案】(1)(2)或【解析】 【分析】,,又,解得:,即可求出椭圆的方程;分类讨论,将直线AB,CD方程代入椭圆方程中,求出,,利用,求出k,即可求直线AB的方程.【详解】由题意知,,又,解得:,所以椭圆方程为:当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知,不满足条件;当两弦斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为,则直线CD的方程为.将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得,则,所以.同理,.所以解得,所以直线AB方程为或【点睛】本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,熟练计算弦长公式是关键,属于中档题.Ⅱ卷(巩固检测)四、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15.已知,,且与平行,则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先求出向量与的坐标,然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为,,所以,,若与平行,则,得x=2.故选:C.16.已知向量,,则在上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解法1:根据向量坐标表示与运算求解;解法2:结合图形处理问题.【详解】解法1:因为,,则在上的投影向量为.解法2:因为,由图可得,在轴上的投影数量为,则在上的投影向量.故选:B.17.已知直四棱柱的棱长均为2,.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为()A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点,再找到截面圆的半径和交线. 【详解】如图所示:由已知,连接,则因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,,所以为等边三角形.且平面,取的中点,连接,则,又平面,所以,又,所以平面,故平面截球面的截面圆的圆心是点,取和的中点,连接,则,故在球面上,,,所以为直角三角形,,球面与侧面交线是侧面上以为圆心,为半径的圆弧.故选:B.18.已知为的外心,,,,则的面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据外心求出,利用条件得出,结合面积公式可得答案.【详解】设的中点为D,由为的外心可得,,,又,所以,又,可得,故,则的面积为,故选:D.五、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.19.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台,经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的体积为28,上、下底面边长分别为2,4,则该棱台的对角面面积为_______.【答案】【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式,梯形的面积公式,即可求解【详解】设该正四棱台的的高为,则根据题意可得: ,∴,又易知对角面为上下底分别为与,且高为的等腰梯形,∴该棱台的对角面面积为.故答案为:.20.在三棱锥中,,平面,,,则与所成的角为__________.【答案】##【解析】【分析】如图,以,为邻边将补成矩形,连接,则(或其补角)为与所成的角,由线面垂直的判定定理证得平面,则,所以,代入求解即可得出答案.【详解】如图,以,邻边将补成矩形,连接,则(或其补角)为与所成的角.由平面,平面,得,又,,平面,所以平面.因为平面,所以.又,所以.故与所成的角为.故答案为:.六、解答题:共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.在矩形中,,,是的中点,是边上的三等分点(靠近点),与交于点. (1)设,,请用,表示和;(2)求与夹角的余弦值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用平面向量的线性运算即可得解;(2)法一:利用平角向量的数量积运算求得,,,从而得解;法二:建立直角坐标系,得到各点坐标,从而求得,,,由此得解.【小问1详解】依题意,作出图形如下,因为是的中点,是边上的三等分点(靠近点),所以,.【小问2详解】法一:依题意得,,,则,,所以,,,由于与的夹角等于与的夹角, 所以与夹角的余弦值为,即与夹角的余弦值为.法二:建立直角坐标系,如图,则,,,,,,故,,,,则,由于与的夹角等于与的夹角所以与夹角的余弦值为,即与夹角的余弦值为.22.如图,在正三棱柱中,,为的中点,、在上,.(1)试在直线上确定点,使得对于上任一点,恒有平面;(用文字描述点位置的确定过程,并在图形上体现,但不要求写出证明过程) (2)已知在直线上,满足对于上任一点,恒有平面,为(1)中确定的点,试求当的面积最大时,二面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)延长至点,使,点即所求的点,然后证明出平面平面,利用面面平行的性质可得出结论;(2)分别延长、,所得交点即点,连接,则二面角即二面角,推导出,可知,当最大时,最大,利用基本不等式求出的最大值,及其等号成立的条件,分析可知为等腰直角三角形,取的中点,则,在平面内过点作,垂足为,连接,分析可知为二面角的平面角,计算出三边边长,即可求得的余弦值,即为所求.【小问1详解】解:延长至点,使,点即所求的点,图形如下:证明如下:连接、,在正三棱柱中,且,所以,, 又因为,所以,,所以,,则,故,因为平面,平面,所以,平面,因为,则,因为为的中点,,则,故,所以,,所以,,因平面,平面,所以,平面,又因为,、平面,所以,平面平面,当点在线段上运动时,平面,故平面.【小问2详解】解:分别延长、,所得交点即点,连接,则二面角即二面角.因为、直线,且,则,因为平面,平面,所以,平面,合乎题意,因为,且,所以,所以. 所以,所以当最大时,最大.由基本不等式可得,当且仅当时等号成立.此时,且为等腰直角三角形.取的中点,则,在平面内过点作,垂足为,连接.因为平面,平面,所以,又,平面,平面,所以平面.因为平面,所以,又,平面,平面,所以平面.因为平面,所以.所以为二面角的平面角.因为,所以,,因为平面,平面,则,所以,所以.即二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-10-08 18:42:02 页数:23
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文章作者:随遇而安

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