湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

2023-2024-1长沙市第一中学高二入学考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得或，即或，由有意义得，解得，即，所以或.故选：C2.若,则的共轭复数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则化简复数得，由共轭复数的定义即可求解.【详解】，故，故选：B.3.设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分、先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案. 【详解】解：当时，由x＞|y|可得；当时，由x＞|y|可得；故充分性满足；当时，由可得；当时，由，x＞0，不可得，如，但，故必要性不满足；所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，因为是上的增函数，所以有，故选：B5.已知，且，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和角的余弦公式求解作答. 详解】由，得，又，则，而，，则，所以故选：A6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（）A.B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，用表示出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式求解作答.【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得，从而圆锥的高，因此圆锥的体积，解得.故选：C7.在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.【详解】由余弦定理可得：，，代入中， 得，等式两边同乘得：，移项合并得：，整理得：，即，可得或，则三角形为等腰三角形或直角三角形，故选：D.8.已知，，，则的最小值为（）A.7B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造齐次式结合基本不等式计算即可.【详解】∵，，，∴，当且仅当，即时取得等号.故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（） A.周岁人群参保总费用最少B.30周岁以上参保人群约占参保总人群的C.54周岁以上的参保人数最少D.丁险种更受参保人青睐【答案】ACD【解析】【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断.【详解】对于A：由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为，其余年龄段的参保人数均比周岁人群参保人数多.由第二个图可得，因为，所以周岁人群参保总费用最少，故A对.对于B：由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的，故B错.对于C：由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的，所以C对.对于D：由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的，所以最受青睐，所以D对.故选：ACD.10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（）A.B.平面BEF C.直线AB交平面EFC于点P，则D.点到平面BEF的距离为【答案】BCD【解析】【分析】对于ABD，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可，对于C，延长交于点，连接交于点，然后利用三角形相似可求得结果.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为E，F，G分别为棱，，CD的中点，所以，对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，即，因为，平面，所以平面，所以B正确，对于C，延长交于点，连接交于点，因为F为棱的中点，所以，因为，所以，所以，因为‖，所以，所以,因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以点到平面BEF的距离为，所以D正确，故选：BCD11.下列各式中，值为的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】依据三角恒等变换及特殊角的函数值一一计算即可.【详解】A项，，错误；B项，，正确；C项， ，错误；D项，，正确.故选：BD.12.若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（）A.B.，，的最大值为4C.的单调递增区间为，D.若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】探讨函数的周期和对称性，结合条件③，求出的值判断A；求出函数的最值判断B；分析函数在上的单调性判断C；利用数形结合列不等式求解判断D作答.【详解】由，得，则函数是以4为周期的周期函数，由，得的图象关于直线对称，又当时，，所以，A错误；函数在上单调递增，则当时， ，由对称性和周期性知，，，所以，，B正确；由于函数在上单调递增，而的周期为4，所以的单调递增区间为，，C正确；因为曲线恒过定点，且关于对称，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，观察图象知，曲线与的图象有6个不同的交点，当且仅当，解得，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则的值为________．【答案】##【解析】【分析】将代入结合指数、对数的运算化简求解即可.【详解】因为，所以＝＋.故答案为：.14.如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________． 【答案】##【解析】【分析】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点A为坐标原点，，的方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，则，因为，所以，即的最大值为．故答案为：．15.甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】甲队以4∶1获胜包含的情况有:①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜， ④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4∶1获胜的概率.【详解】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，则甲队以4：1获胜的概率为：.故答案为：0.3216.已知的边，且，则的面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，由可得，整理得，∴，∵，∴，∴，由正弦定理可得，∴，则有. 故的面积.∵，∴，当时，的面积取得最大值.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．（1）若，求在的单调区间；（2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围．【答案】（1）在上的递增区间为和，递减区间为（2）【解析】【分析】(1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将化简成正弦型函数，再利用正弦型函数的单调性求解；（2）转化为的最小值为，由可得答案．【小问1详解】，令，解得，在上的递增区间为， 当时，得到，当时，得到，故函数在上的递增区间为和，递减区间为．【小问2详解】由，得，∵在上的最小值为，∴的最小值为，故，解得．18.如图，在直三棱柱中，，D是AC的中点，．（1）求证：平面；（2）若异面直线AC和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用中位线定理证明平面．（2）利用几何法求出异面直线和所成角的余弦，结合正弦定理及三角形面积公式求得，再利用割补法求出体积作答.【小问1详解】 在直三棱柱中，连接，交于点，连接，四边形为平行四边形，则为的中点，又为的中点，于是，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】在直三棱柱中，由，知为锐角，显然，则为异面直线和所成角，即，由，得，，，直三棱柱的体积，，所以.19.某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在分以上（包括分，满分分）共有人，分成、、、、五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到）；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任取人，求此人分数都在的概率．【答案】（1）平均数为，中位数约为（2）【解析】【分析】（1）根据所有直方图的面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（2）计算出分层抽样抽取的人中，数学成绩位于的有人，记为、，数学成绩位于的有人，记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】由，解得，这次数学竞赛成绩的平均数为，前组的频率和为，前组的频率和为，所以中位数为．【小问2详解】分层抽样抽取的人中，数学成绩位于的有人，记为、．数学成绩位于的有人，记为、、、，从人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，其中人分数都在的有、、、，共种，所以从人中任取人，分数都在的概率为.20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，． （1）求的面积；（2）若，求c．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得，再求出，即可求出，最后由面积公式计算可得.（2）由正弦定理求出，即可得解.【小问1详解】依题意，，，，则，即，由余弦定理得，即，有，又，则，，所以的面积.【小问2详解】由正弦定理得，因此，而，解得，所以.21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面；（2）在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答.（2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答.【小问1详解】由侧面是正三角形，M是的中点，得，由正方形，得，而平面平面，平面平面，且平面，则平面，又平面，于是，而平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接， 于是，由正方形，得，则，令，显然是正的中心，，，又平面平面，平面平面，则平面，平面，即有，而平面，则平面，平面，在平面内过作交于，显然，而平面，因此平面，连接并延长交于，连接，于是平面平面，过作，则有，，，，，则，又，，从而点是线段的中点，，过作交于，于是，即，显然，因此，所以在棱上存在点N使平面平面成立，.22.已知函数的图象经过点和点，．（1）求函数的解析式； （2）设，若对于任意，都有，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据所给条件得到关于a，b的方程组，求解即可；（2）首先得到且，再求出在上的最大值，依题意只需，即，设，判断函数的单调性，结合，即可求出m的取值范围．【小问1详解】依题意可，解得，所以．【小问2详解】因为且，所以且，因为，所以在的最大值可能是或，因为所以，只需，即，设， 因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又，∴，即，所以．所以的取值范围是．