湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高三数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

2023年下学期周南中学高三年级入学考试数学试题时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得复数，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数，所以复数的虚部为.故选：D.2.已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC；结合集合的包含关系推理判断D作答.【详解】由是全集的两个非空真子集，，得，如图，当时，，A错误；观察图形，，BC错误；由，得，因此，D正确. 故选：D3.已知向量，，若，则实数m的值是（）A.B.C.1D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量相等的坐标关系即可求出结果．【详解】由得，所以故选：B4.设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.【详解】由，得，于是，即，而，且三个实数互不相等，因此，所以大小关系是.故选：D5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.【详解】由，得， 两边平方得，即，由，知，又，即，即有，因此，所以故选：C6.已知函数，在正项等比数列中，，则（）A.1011B.1012C.2023D.2024【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案.【详解】由题意知，由等比数列性质可得，所以，，故选：C.7.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案． 【详解】圆的圆心为，设关于直线的对称点为，所以，解得，关于直线的对称点为，由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，所以，解得：.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.8.若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.【详解】依题意，，函数的单调区间为，由，而，得，因此函数在区间上单调，因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调， 于是，则，解得，由，且，解得，又，从而或，当时，得，又，即有，当时，得，所以的取值范围是.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中，正确的命题有（）A.已知随机变量X服从正态分布且，则B.设随机变量，则C.在抛骰子试验中，事件，事件，则D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好【答案】BD【解析】【分析】根据正态分布的性质可判断A；由二项分布的方差公式可判断B；根据条件概率公式可判断C；由的意义可判断D.【详解】A：因为且，所以，所以，A错误；B：因为，所以，B正确；C：由题知，事件，所以，C错误；D：由的意义可知D正确.故选：BD10.济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗 细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.的单调递减区间为D.的最大值是【答案】AC【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值.【详解】∵，则为偶函数，A正确，B错误；又∵在R上单调递增，且则当时，则，当时，则∴的单调递减区间为，单调递增区间为，C正确；则，即的最小值为a，D错误；故选：AC.11.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.若点，则的最小值为5C.无论过点的直线在什么位置，总有D.若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得 【答案】ACD【解析】【分析】A选项，当直线与抛物线相切时，角度最大，设出直线方程，与抛物线方程联立，由根的判别式等于0得到答案；B选项，由抛物线定义转化为只需取得最小值，数形结合得到答案；C选项，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设直线方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到答案；D选项，先得到，即三点共线，进而得到D正确.【详解】A选项，不妨设点在轴上方，当直线与抛物线相切时，取得最大值，由题意得，设直线方程为，联立与得，由，解得，这里取，由于，故的最大值为，A正确；B选项，过点作准线于点，连接，则有抛物线定义可知，则，要想取得最小值，则只需取得最小值，过点作准线于点，与抛物线交于点，此时的值即为的最小值，，则的最小值为，B错误； C选项，显然当过点的直线斜率不存在时，，当过点的直线斜率存在且不为0时，与抛物线交于两点，设直线方程，联立与得，设，则，则，所以，综上：无论过点的直线在什么位置，总有，C正确；D选项，设，则点坐标为，过点的直线斜率不为0，设直线方程为，联立抛物线方程，得到，则，则，， 故三点共线，则有，变形得到，即，令，则，若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得，D正确.故选：ACD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A.若为线段上任一点，则与所成角的范围为B.若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为C.若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为D.若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆【答案】ABD【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；判断轨迹形状并求出长度判断B；求出三棱锥外接球半径计算判断C；求出满足两个条件的点分别形成的图形，再结合圆锥曲线的意义判断D作答.【详解】对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图，由平面，平面，得，有，显然， 则为与所成的角，，当与重合时，，当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大，因此，，当与点重合时，有，，所以与所成角的范围为，A正确；对于B，由平面，得是直角三角形，，如图，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为，B正确；对于C，连接，连接，如图，显然分别为中点，则，因此点是三棱锥外接球球心，球半径为，体积为，C错误；对于D，连接，如图，，面积， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积为，得，解得，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，于是，同理，又平面，从而平面，同理平面，则平面平面，三棱锥的体积，于是点到平面距离为，同理点到平面距离为，又，即平面与平面的距离为，因此点在平面上或在过点与平面平行的平面上，令与平面交于点，连接，有，，于是直线与平面所成角的余弦，即直线与平面所成角大于，则点在平面上，由，得点在以直线为轴，为顶点，轴截面顶角为的圆锥侧面上（除顶点外），显然点P的轨迹是平面与上述圆锥侧面的交线，所以平面截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.现有7个大小与形状完全相同､质地均匀小球，球上标有数字．从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为__________． 【答案】【解析】【分析】先求出7个球任取3个所有可能数及数字的最小值为2的情况数，再利用古典概型的概率公式求解即可【详解】因为7个球任取3个有种，其中所取出的小球上的数字的最小值为2的有种，所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为，故答案为：14.已知函数，若有四个解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，借助对勾函数性质及二次函数对称性求解作答.【详解】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，显然函数在上的图象关于直线对称，如图，方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为，显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即，所以的取值范围是.故答案为：15.如图，棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则球被平面截得的截面面积为__________．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，求出线段MN长及点O到平面的距离作答.【详解】在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，由分别为棱的中点，得，而平面，则平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，则， 球半径，，从而，球被平面截得的截面圆半径，所以球被平面截得的截面面积.故答案为：16.已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且为的中点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与双曲线的渐近线求出两点的坐标，即可用表示出中点的坐标，由直线与圆相切可得，再联立直线与圆，即可用表示出的坐标，再消即可得出的值，再利用求出答案.【详解】双曲线的两条渐近线为，由解得，由解得，线段的中点坐标为，设点，即有，又，则，即点在第一象限，直线的纵截距为正，即， 又直线与圆相切，则有，解得，则直线，由解得，有，于是，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知在锐角中，分别为内角的对边，若．（1）求；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可求出角作答.（2）由（1）及正弦定理求出三角形的周长表达式，再利用三角函数变换及正弦函数的性质求解作答.【小问1详解】在锐角中，由及正弦定理，得，由余弦定理得，则， 而锐角，所以.【小问2详解】由（1）知，由正弦定理得，因此的周长，由是锐角三角形，得，，即有，，于是，则，即，所以周长的取值范围为.18.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，平面平面，，四棱锥的体积为.（1）求长；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，求出，过点作，由面面垂直得到线面垂直，并求出四棱锥的高，利用体积列出方程，求出的长；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【小问1详解】取中点，连，，∴，由勾股定理得：，∴，过点作为垂足，平面平面，平面平面，平面，平面，，解得：；【小问2详解】如图，以为原点，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系. ∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面，故，，，设平面的法向量为，，取得：，，设直线与平面所成角为，则19.英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，.现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.0525（2）分布列见解析，期望为32（分钟）【解析】【分析】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，根据题设确定对应事件的概率，进而应用全概率公式求概率即可；（2）由题设知，利用贝叶斯公式求对应值的概率，写出分布列，进而求期望.【小问1详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，则，且两两互斥.根据题意，.由全概率公式，得.【小问2详解】由题意知，则，同理得，所以加工这个零件耗时的分布列为：353230（分钟）.20.正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．（1）求的通项公式； （2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.【小问1详解】成等差数列，成等比数列，，，数列为正数数列，，当时，，，，且，则，，，，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，当时，满足上式，，当时，，当时，满足上式，.【小问2详解】证明： 当时，；当时，；当时，.综上所述，对一切正整数，有.21.已知，函数，.（1）证明：函数，都恰有一个零点；（2）设函数的零点为，的零点为，证明.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】函数的定义域为，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递减增，时，，，，函数恰有一个零点. 函数的定义域为，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，时，，，令（表示中最大的数），，函数恰有一个零点；【小问2详解】由（1）得函数的零点为，且，的零点为，且，则有，，，，，在上单调递增，由（1）可得，，，，，，，.原式得证.【点睛】关键点睛：根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解是解题的关键.22.已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记，（O为坐标原点）的面积分别为，，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据和求出和可得结果；（2）设直线：，代入椭圆方程，求出的中点的坐标，再求出直线的方程，得的坐标，再求出，然后换元，利用导数得单调性，根据单调性可求出取值范围.【小问1详解】设，当时，，，，依题意得，又，，解得，，所以C的方程为.【小问2详解】由（1）知，，由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线：，，，因为，所以为的中点，联立，消去并整理得，恒成立，，，所以，所以， 则直线的方程为，令，得，即，令，得，即，则，，由题意得与相似，所以，所以，所以，设，因为，所以，令，，，所以为上的增函数，所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：设直线：，利用表示的坐标，进而表示，再根据函数的单调性求取值范围是解题关键.